Devoir Surveillé (DS) de Mathématiques de niveau Première - mai 2010

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Avec correction. Ds du 31 mai 2010
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2010) pour Première S

Sujets

Lundi 31 mai 2010. Mathématiques. 1S1 et 1S2 3 heures. Calculatrice autorisée. EXERCICE I. 3 points. Dest une droite, A et B deux points distincts dans le même demi%plan de frontièreD. M est un point variable surD. G est le barycentre de (A,1) (B,1) et (M,2). Faire une figure. Quel est l’ensemble des points G quand M décritD? Justifier. EXERCICE II. 3 points. A et B sont deux points distincts du plan. (C) est le cercle de centre A et rayon 2, (C’) le cercle de centre B et rayon 1. Montrer qu’il existe deux homothéties qui transforment (C) en (C’). Construire leurs centres sur la figure donnée en annexe. EXERCICE III. 5,5 points. 3 u est la suite définie par u0= 1 et pour tout entier n, un+1= un+ 2. 5 1.Calculer u1, u2et u3. Quelle est la nature de la suite (un) ? 2.(vn) est la suite définie pour tout entier n parvn= un– 5. a. Montrer que (vn) est géométrique. b. En déduire vnpuis unen fonction de n.3.Déterminerlalimitedelasuite(un) 4.PournÎIN, onpose :Sn=u0+ u1+ u2+ … + unet Tn= v0+ v1+ v2+ … + vn. a.Quelle est l’expression de Tnen fonction de n ? Etudier la limite de la suite (Tn). b.Quelle est l’expression de Snen fonction de n ? Etudier la limite de la suite (Sn) EXERCICE IV. 4 points. Pour qu’un fabriquant de chocolat puisse faire figurer le label « 90 % de cacao » sur ses produits, il faut que, lors de la production les 3 conditions suivantes soient vérifiées : -1Le pourcentage moyen x de la teneur en cacao appartienne à l’intervalle [84,5% ; 95,5%]. 2s < 3,5 (s étant l’écart%type) - -3Au moins 94 % de la production ait un pourcentage de teneur en cacao dans l’intervalle [x%2s ; x + 2s] On a relevé, pour 180 plaques de chocolat de la société, les teneurs en cacao suivantes : 1. La société étudiée peut%elle mettre l’étiquette « 90 % de cacao » sur ses produits ? Pourcentage de teneur nombre de Justifier. en cacao plaquettes [70 ; 80[ 7 2. Compléter le tableau donné en annexe avec les fréquences cumulées croissantes. [80 ; 83[ 23 [83 ; 85[ 55 3. Construire le polygone (ou diagramme) des fréquences cumulées croissantes sur [85 ; 88[ 75 l’annexe donnée. [88 ; 90[ 17 [90 ; 95] 3 4. Déterminer graphiquement, en expliquant votre méthode, les quartiles et la médiane de cette série statistique.

EXERCICE V. 4,5 points QCM. Chacune des quatre réponses proposées peut être vraie ou fausse. Noter sur la copie le numéro de la question et la (ou les) lettres correspondant aux bonnes réponses. Aucune justification n’est demandée. 1. Soit ABCD un parallélogramme de centre O. | a. D est l’image de C par la translation de vecteur AB . b. D est l’image de B par la symétrie de centre O. c. D est l’image de B par la symétrie d’axe (AC). d. D est l’image de C par la symétrie d’axe la droite parallèle à (AD) qui passe par O. 2. [AB] et [CD] sont deux segments de longueurs différentes qui ont la même médiatriceΔ. a. Les triangles ACD et BCD sont symétriques par rapport àΔ. b. Le point d’intersection des droites (AD) et (BC) appartient àΔ. c. Il existe une symétrie centrale qui transforme [AC] en [BD]. d. Il existe une homothétie de rapport négatif qui transforme [AC] en [BD]. 3. Soit [AB] un segment de longueur 5. a. L’image de [AB] par une translation est un segment parallèle et de longueur 5. b. L’image de [AB] par une rotation est un segment parallèle et de longueur 5. c. L’image de [AB] par une homothétie de rapport 3 est un segment parallèle et de longueur 15. d. L’image de [AB] par une homothétie de rapport −2 est un segment parallèle et de longueur −10. 4. D1est une droite. a. L’image de D1par une translation est une droite parallèle à D1. b. L’image de D1par une rotation est une droite parallèle à D1. c. L’image de D1par une symétrie axiale est une droite parallèle à D1. d. L’image de D1par une homothétie est une droite parallèle à D1. 5. D1et D2sont deux droites perpendiculaires en A. a. Les images de D1et D2par une symétrie axiale s sont deux droites perpendiculaires en A’ = s(A). b. L’image de D1par un quart de tour de centre A est la droite D2. c. L’image de D1par une homothétie est une droite perpendiculaire à D2. d. Il existe une symétrie axiale qui transforme D1en D2. 6. Soit h une homothétie de rapport k = −3/2. 3 3 a. L’image d’un solide de volume 16 cm est un solide de volume 54 cm . b. L’image (C’) d’un cercle (C) est un cercle de rayon supérieur à celui de (C). c. Si on note A’ et B’ les images respectives de deux points A et B, alors les points A, B, A’ et B’ sont alignés. | | d. Si on note A’et B’ les images respectives de deux points A et B, alors les vecteurs AB et A'B' sont de même direction et de même sens.

ANNEXE. A rendre avec la copie. EXERCICE V.

Pourcentage de teneur nombre de fréque cescumulées en cacao plaquettes c oissantes [70 ; 80[ 7 [80 ; 83[ 23 [83 ; 85[ 55 [85 ; 88[ 75 [88 ; 90[ 17 [90 ; 95] 3 EXERCICE II.

NOM :

EXERCICE I. Dest une droite, A et B deux points distincts dans le même demi%plan de frontièreD. A M est un point variable surD. G est le barycentre de (A,1) (B,1) et (M,2). Quel est l’ensemble des points G quand M décritD? E' I E G est le barycentre de (A,1) (B,1) et (M,2). B Soit I le milieu de [AB], I est le barycentre de (A,1) (B,1), G on a alors G barycentre de (I,2) (M,2) | |F' donc G est le milieu de [IM] ce qui peut se traduire par IG = ½ IM | | et IG = ½ IM signifie que G est l’image de M par l’homothétie h de centre I et rapport ½M quand M décritD, G décrit la droiteD’ parallèle àD, image deDpar h. On obtientD’ en construisant les images de deux de ses points. F EXERCICE II. A et B sont deux points distincts du plan. (C) est le cercle de centre A et rayon 2. (C’) le cercle de centre B et rayon 1. Montrer qu’il existe deux homothéties qui transforment (C) en (C’). Construire leur centre sur la figure donnée. Soit h une homothétie de centre O et rapport k qui transforme (C) de centre A et rayon 2 en (C’) de centre B et rayon 1 | | On sait alors que : OB = k OA et 1 = |k|´2 or 1 = |k|´2Ûk = ½ ou k =%½ | | | | | | | | | |1| et OB = k OAÛOA + AB = k OAÛ(k%1) OA = ABÛ(1%k) AO = ABÛAO = AB (k¹1 …) 1 - k donc il existe 2 homothéties transformant (C) en (C’) : h1rapport k = ½ et de centre O de 1que tel | | M AO1= 2AB M 1h2 de rapport k =% ½ et de centre O2 tel que |2| AO2= AB A O B O 3 2 1 M 2EXERCICE III 3 u est la suite définie par u0= 1 et pour tout entier n, un+1= un+ 2. 5 1. Calculer u1, u2et u3.u1= 13/5 u2u= 89/25 3= 517/125 2. (vn) est la suite définie pour tout entier n parvn= un– 5. a. Montrer que (vn) est géométrique. vn+1 Il faut pour cela que soit une constante vn vn+1un+1(3/5)u- 5 n(3/5)(u- 3 n- 5) 3 or = = = = vnunu- 5 nu- 5 n- 5 5 3 donc (vn) est géométriqueet de premier terme vde raison 0= u0– 5 = −4 5 b. En déduire vnpuis unen fonction de n. n n D’après a. vnet comme u= −4(3/5) n= vn+ 5, un= −4(3/5) + 5 n 3. Déterminerlalimitedelasuite(un)= 0 d’où lim u0 < 3/5 < 1 donc lim (3/5) n=5n|+¥n|+¥ 4. PournÎIN,onpose :Sn=u0+ u1+ u2+ … + unet Tn= v0+ v1+ v2+ … + vn. a. Quelle est l’expression de Tnen fonction de n ? Etudier la limite de la suite (Tn). n+1 1 - (3/5) n+1 n+1 Tn= v0+ v1+ v2+ … + vn=v0´ =%4´(5/2)´(1%(3/5) ) =%10 (1%(3/5) ) 1 - 3/5

n+1 0 < 3/5 < 1 donc lim (3/5) = 0 d’où limTn=%10n|+¥n|+¥ b. Quelle est l’expression de Snen fonction de n ? Etudier la limite de la suite (Sn). Sn=u0+ u1+ u2+ … + un= (v0+ 5) + ( v1(v+ 5) + 2+ 5) + … + (vn+ 5) donc Sn= Tn+ 5(n + 1) lim 5(n + 1) = +¥et limTn=%10donclim Sn= +¥n|+¥n|+¥n|+¥ EXERCICE IV. Pour qu’un fabriquant de chocolat puisse faire figurer le label « 90 % de cacao » sur ses produits, il faut que, lors de la production les 3 conditions suivantes soient vérifiées : -1Le pourcentage moyen x de la teneur en cacao appartienne à l’intervalle [84,5% ; 95,5%]. 2(s étant l’écarts < 3,5 %type) - -3Au moins 94 % de la production ait un pourcentage de teneur en cacao dans l’intervalle [x%2s ; x + 2s] On a relevé, pour 180 plaques de chocolat de la société, les teneurs en cacao suivantes : 1. La société étudiée peut%elle mettre l’étiquette « 90 % de cacao » sur ses produits ? Justifier. Il faut vérifier les trois conditions données : -x= 84,99 or 84,99Î[84,5% ; 95,5%] donc la condition1est vérifiée. et s =V(x) = 9,146 V(x)donc s = 3,024 et la condition2est vérifiée. - -[x%2s ; x + 2s] = [78,94 ; 91,03] d’après les fréquences cumulées croissantes, on a (98,3%3,9)% soit 94,4% de la production dans [80 ; 90] et donc dans [78,94 ; 91,03] ; la condition3est donc vérifiée. l’étiquette « 90 % de cacao » est donc justifiée. 2. Compléter le tableau avec les fréquences cumulées croissantes.voir tableau avec indications de calculs … 3. Construire le polygone des fréquences cumulées croissantes sur l’annexe donnée. On construit les points dont l’abscisse est la borne supérieure de chaque classe l’ordonnée est la fréquence cumulée croissante correspondante. on « ferme » le polygone avec le point de coordonnées (70 ; 0). 4. Déterminer graphiquement, en expliquant votre méthode, les quartiles et la médiane de cette série statistique. Le premier quartile Q1, la médiane Mé et le troisième quartile Q3sont les abscisses respectives des points d’ordonnées 0,25, 0,5 et 0,75 du polygone des fréquences cumulées croissantes. On lit : Q1»83,5 Mé»85,3 Q3»87,1

teneur en cacao [70 ; 80[ [80 ; 83[ [83 ; 85[ [85 ; 88[ [88 ; 90[ [90 ; 95]

xi= centre des classes 75 81,5 84 86,5 89 92,5

ni7 23 55 75 17 3

nicumulés croissants 7 30 = 7+23 85 = 30+55 160 = 85+75 177 = 160+17 180 = 177+3

ficumulées croissantes 0,039 = 7/180 0,167 = 30/180 0,472 = 85/180 0,889 = 160/180 0,983 = 177/180 1 = 180/180

1 0,95 0,9 0,85

0,8 0,75 0,7 0,65 0,6 0,55 0,5

0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1

0,05 0 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 59 96

EXERCICE V. QCM. Chacune des quatre réponses proposées peut être vraie ou fausse. Noter sur la copie le numéro de la question et la (ou les) lettres correspondant aux bonnes réponses. D 1. Soit ABCD un parallélogramme de centre O. | a. D est l’image de C par la translation de vecteur AB . | | | | non : AB≠AB = DCCD car b. D est l’image de B par la symétrie de centre O. oui : O est le milieu des diagonales. c. D est l’image de B par la symétrie d’axe (AC). A non : (DB) n’est pas perpendiculaire à (AC). Il faudrait que ABCD soit un losange. d. D est l’image de C par la symétrie d’axe la droite parallèle à (AD) qui passe par O. non : cette droite n’est pas perpendiculaire à (DC). Il faudrait que ABCD soit un rectangle. 2. [AB] et [CD] sont deux segments de longueurs différentes qui ont la même médiatriceΔ. C a. Les triangles ACD et BCD sont symétriques par rapport àΔ. oui : par la symétrie d’axeΔ, A|B , C|D et D|C b. Le point d’intersection des droites (AD) et (BC) appartient àΔ. oui : c’est le centre d’une homothétie qui transforme A en D et B en C c. Il existe une symétrie centrale qui transforme [AC] en [BD]. non : il faudrait que ces segments soient parallèles. A d. Il existe une homothétie de rapport négatif qui transforme [AC] en [BD]. non : il faudrait que ces segments soient parallèles. 3. Soit [AB] un segment de longueur 5. a. L’image de [AB] par une translation est un segment parallèle et de longueur 5. | | | | oui : A’ = t(A) et B’ = t(B)ÛBB'AA' = ÛA’B’ = AB = 5AB = A'B' donc b. L’image de [AB] par une rotation est un segment parallèle et de longueur 5. non : avec, par exemple, un quart de tour on obtiendra un segment [A’B’] perpendiculaire à [AB] c. L’image de [AB] par une homothétie de rapport 3 est un segment parallèle et de longueur 15.

oui : l’image d’un segment est un segment parallèle et les distances sont multipliées par |3| = 3 d. L’image de [AB] par une homothétie de rapport −2 est un segment parallèle et de longueur −10. non : un segment ne peut pas avoir pour longueur −10 ! 4. D1est une droite. a. L’image de D1par une translation est une droite parallèle à D1. oui : voir 3. a. (AB) // (A’B’) b. L’image de D1par une rotation est une droite parallèle à D1. non : voir 3. b. Il faudrait que l’angle de la rotation soit plat et alors il s’agit d’une symétrie centrale … c. L’image de D1par une symétrie axiale est une droite parallèle à D1. non : dans un triangle deux côtés consécutifs sont symétriques par rapport à la bissectrice de l’angle … d. L’image de D1par une homothétie est une droite parallèle à D1. oui : c’est une propriété de l’homothétie. 5. D1et D2sont deux droites perpendiculaires en A. a. Les images de D1et D2par une symétrie axiale s sont deux droites perpendiculaires en A’ = s(A). oui : la symétrie axiale conserve les angles. b. L’image de D1par un quart de tour de centre A est la droite D2. oui : L’image de D1passant par A est une droite perpendiculaire à D1passant par A’ = r(A) = A. c. L’image de D1par une homothétie est une droite perpendiculaire à D2. oui : L’image de D1par une homothétie est une droite parallèle à D1donc perpendiculaire à D2. d. Il existe une symétrie axiale qui transforme D1en D2. oui : l’axe de symétrie est l’une des bissectrices de l’angle formé par D1et D2. 6. Soit h une homothétie de rapport k = −3/2. 3 3 a. L’image d’un solide de volume 16 cm est un solide de volume 54 cm . 3 3 oui : les distances étant multipliées par 3/2, les volumes seront multipliés par (3/2) et 16´(3/2) = 54 b. L’image (C’) d’un cercle (C) est un cercle de rayon supérieur à celui de (C). oui : les distances étant multipliées par 3/2 et 3/2 > 1. c. Si on note A’ et B’ les images respectives de deux points A et B, alors les points A, B, A’ et B’ sont alignés. non : les droites (AB) et (A’B’) seront parallèles. Il faudrait que le centre de l’homothétie soit sur (AB). | | d. Si on note A’et B’ les images respectives de deux points A et B, alors les vecteurs AB et A'B' sont de même direction et demême sens. | | non : on aura A'B' = (−3/2)AB les deux vecteurs sont de sens contraires.