Cours d approfondissement numérique - Chapitre de Mathématiques de niveau Sixième

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Thème 1 : différentes écritures des décimaux
Cours, Chapitre en Mathématiques (2011) pour Sixième

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Approfondissement numérique Thème 1.1 : les décimaux, différentes écritures

2.1 Nombres entiers et décimaux Désignations. - Connaître et utiliser la valeur des chiffres en fonction de leur rang dans l'écriture d'un entier ou d'un décimal. - Associer diverses désignations d’un nombre décimal : écriture à virgule, fractions décimales. L’objectif est d’assurer une bonne compréhension de la valeur des chiffres en fonction du rang qu’ils occupent dans l’écriture à virgule, sans refaire tout le travail réalisé à l’école élémentaire. La bonne compréhension s’appuie sur le sens et non sur des procédures. Ordre. - Comparer deux nombres entiers ou décimaux, ranger une liste de nombres. - Encadrer un nombre, intercaler un nombre entre deux autres. - Placer un nombre sur une demi-droite graduée. - Lire l'abscisse d'un point ou en donner un encadrement. *Valeur approchée décimale. *Donner une valeur approchée décimale (par excès ou par défaut) d’un décimal à l’unité, au dixième, au centième près. 2.2 Opérations Addition, soustraction, multiplication et division. - Connaître les tables d'addition et de multiplication et les résultats qui en dérivent. - Multiplier ou diviser un nombre par 10, 100, 1000. -* Multiplier un nombre par 0,1 ; 0,01 ; 0,001. La maîtrise des tables est consolidée par une pratique régulière du calcul mental sur des entiers et des décimaux simples. La division décimale est limitée à la division d’un décimal par un entier. En calcul posé, le dividende comporte au maximum deux chiffres après la virgule.

Nombres décimaux : différentes écritures

Motif : pour améliorer la précision des mesures avec une unité, je fractionne l'unité ; en général, on choisit des fractions décimales de l'unité, ce qui amène à écrire des nombres décimaux. Ces nombres peuvent s'écrire aussi bien avec les chiffres et la virgule qu'avec des fractions.

1) Vocabulaire Pour fractionner l'unité, on la partage en 10 ou 100 ou 1000... 1 11 Les fractions obtenues s'écrivent.; ; 10 100 1000 Elles s'appellent des fractions décimales : le dixième, le centième, le millième...et donnent leurs noms aux positions dans l'écriture d'un nombre avec la virgule.

Je dois connaître ce tableau par cœur Millier Centaine Dizaine,dixième centième millième UNITE Exemple Pour mesurer la circonférence du disque ci dessous, on trouve environ 4,2 centimètres ce qui signifie 4 choses : 1) l'unitéchoisie est le centimètres, 2) ily a 4 unités entières, 3) ily a en plus 2 dixièmes d'unité. 4) ily a peut-être d'autres chiffres dans les positions inférieures au dixième, mais je ne peux pas les obtenir avec mon instrument de mesure. 1 2 Je peux écrire4,2=42× =4. 10 10 Sans changer d'unité, et puisque 1 unités = 10 dixièmes, je peux écrire tout aussi bien : 10 240 242 4,2=4=  =×  10 1010 1010 2×10 20 Puisque 1 dixième = 10 centièmes, je peux écrire :4,2=4 =4. 100 100 Finalement, une mesure approchée de la circonférence du disque ci-dessus peux s'écrire de quatre 24220 façons au moins : 4,2 et aussi44et aussiet aussi. 1010100

Je dois savoir passer de l'une à l'autre de ces écritures. Pour cela je retiens que : 1 unité = 10 dixièmes = 100 centièmes = 1000 millièmes. En conséquence : 1 dixième = 10 centièmes = 100 millièmes 1 centième = 10 millièmes

2) intercaler entre deux nombres, encadrer un nombre

En général, la mesure d'une grandeur est entre deux graduations. Dans ce cas, la mesure exacte peut-être n'importe quel nombre encadré par ces deux graduations.

Exemple Pour mesurer en centimètres la circonférence du disque ci-contre, on trouve entre 4,2 et 4,3. On écrit : 4,2 < circonférence < 4,3 On ne connaît pas exactement la mesure de cette circonférence. C'est peut être 4,23 ou 4,2009 ou n'importe quel nombre supérieur à 4,2 et inférieur à 4,3.

Vocabulaire 4,2 s'appelle la valeur approchée au dixième par défaut de la circonférence. 4,3 s'appelle la valeur approchée au dixième par excès de la circonférence.

3)utiliserlesnombresdécimauxpourapprocherunnombre

Quand on effectue un calcul, il arrive que la précision obtenue soit inutilement grande. Dans ce cas, je peux donner un encadrement de la mesure avec une précision plus petite, puis donner une valeur approchée de cette mesure.

Exemple Un disque a un diamètre de 2 cm. Avec la calculatrice, on trouve que son périmètre×environ 6,28318507 cm.2 est Ce nombre n'est pas très commode à manipuler. Si on se contente de 1 centième de précision, on écrit : 6,28 < 6,28318507 < 6,29. Selon les cas, on travaillera plutôt avec 6,28 ou avec 6,29.

Vocabulaire 6,28 s'appelle une valeur approchée au centième par défaut de×2 6,29 s'appelle une valeur approchée au centième par excès de×2

Vous devez savoir encadrer un nombre donné.

Pour cela, vous pouvez utiliser un outil graphique : la demi-droite graduée. C'est une règle que l'on gradue soi-même pour les besoins spécifiques d'un exercice.

Attention : certains nombre ne sont pas décimaux. Exemple : le quotient du périmètre des cercles par leurs diamètres, le quotient de 5 par 3. L'écriture décimale est inefficace pour écrire ces nombres de façon exacte. 5 C'est pour cela que l'on utilise d'autres symboles :,. 3 L'écriture décimale permet cependant de donner une valeur approchée.

4) Multiplication et division des décimaux par les puissances de 10.

Les puissances de 10 sont ... 0,001 ; 0,01 ; 0,1 ; 1 ; 10 ; 100 ; 1000 …

Exemples : 8,02 * 10 =8,02 : 10 =8,02 * 0,1 = Applications : par analogie avec les exemples précédents, calcule : 92,3 * 0,01 =92,3 : 1000 =92,3 * 100 =

8,02 : 0,1 =

92,3 * 0,1 =

À retenir : Lorsque je multiplie un décimal par une puissance de 10, j'obtiens un nombre qui s'écrit avec les mêmes chiffres dans le même ordre. Lorsque je multiplie par 10, le chiffre des unités passe en dizaine. Lorsque je divise par 10, le chiffre des unités passe en dixième. Lorsque je multiplie par 0,1, le chiffre des unités passe en dizaine.

Exercice 103,5 * 100 =

103,5 : 100 =

103,5 * 0,01 =

Remarque que103,5 : 100 = 103,5 * 0,01.

Application importante : multiplication des décimaux entre eux.

Exercice 1

Exercice 3

Contrôle Exercice 2

Exercice 4

Exercice 4 Donnez les abscisses des points A et B sur la demi-droite graduée ci-dessous.

A B

Exercice 5 Quelle relation connaissez-vous entre la circonférence et le diamètre d'un cercle ?

Contrôle Exercice 1: comparer les nombres suivants 0,12 .... 0,8 20,725 .... 20,81

201,325 ... 201,4 4,7 .... 4,724

Exercice 2 : ranger le nombres suivants dans l'ordre croissant

5,508 ; 8,05 ; 5,8 ; 0,508 ; 5,805 ; 8,058 ; 0,8

...............................................................................................................

Exercice 3 : donnez trois nombres compris entre 6,33 et 6,501

Exercice 4 : indiquez les abscisses des points A et B

Contrôle Exercice 1: comparer les nombres suivants 0,9 .... 0,10 18,639 .... 18,65

104,583 .... 104,6 4,7 .... 4,724

Exercice 2 : ranger le nombres suivants dans l'ordre croissant

5,508 ; 8,05 ; 5,8 ; 0,508 ; 5,805 ; 8,058 ; 0,8

...............................................................................................................

Exercice 3 : donnez trois nombres compris entre 6,33 et 6,501

Exercice 4 : indiquez les abscisses des points A et B

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