Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau Première

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Cours barycentre 1s 2010-11 par laure helme-guizon
Cours, Chapitre en Mathématiques (2011) pour Première S

Sujets

Introduction: Un peu de physique: Point d'équilibre d'une balance ªeicexcrE1. Le schéma ci-contre représente une balance que l'on équilibre en déplaçant le point G sur le segment [AB]. 1) On suppose dans cette question que l'objet A a pour masse 4 kg et que GA = 3 GB. Sachant que la balance est en équilibre, quelle est la masse de B? 2) On suppose maintenant que l'objet A a pour masse 7 kg et l'objet B a pour masse 12 kg. Où faut-il placer le point G pour que la balance soit en équilibre? 3) On suppose maintenant que l'objet A a pour masseet l'objet B a pour masse. Sachant que la balance est en équilibre, écrire une relation vectorielle faisant intervenir les vecteursGAet GB.

ère 1 S 1

●Le barycentre est une notion de physique au départ. Le barycentre est le point d’équilibre, c'est « làoùil faut mettre le doigt pour queça ne tombe pas. »

●Le barycentre tel que vous le connaissez est un isobarycentre, c'est-à-dire que tous les points ont le même poids. Ainsi, les trois médianes d’un triangle sont concourantes en un point qui est l’isobarycentre du triangle.

Isobarycentre de deux points = milieu.

●Généralisation en mathématiques: On autorise des « poids » négatifs, rebaptisés « coefficients ».

●Barycentre avec une seule coordonnée (points sur un axe gradué) = moyenne pondérée.

I. Barycentre de deux points pondérés

A. Existence et unicitéªExercice2.Activité de découverte  1) a)4Soient A et B deux points du plan. Montrer qu’il existe un unique point G tel que GA3GB=0 . et placer A, B et G sur un dessin. b)Pour tout pointMdu plan, exprimer4MA3MBen fonction de M et G uniquement.  2)Mêmes questions avec−GA3GB=0 .  3)Mêmes questions avecGA GB=0 ,etétant deux réels tels que#¹0. 4)Que se passe-t-il si =0?

● Def : Le point A étant un point du plan ou de l’espace etun réel quelconque, on peut les étant associer pour former le couple (A,) appelépoint pondéréoupoint affecté du coefficient. Le réel est appelépoidsoucoefficientdu point A.

Def : Soientaetbdeux réels tels que#¹0. On appellebarycentre de deux points pondérés(A,a) et  (B,b) le pointGdéfini parGA GB=0. Ce point existe et est unique (à condition que ≠0!). On dit aussi que G est lebarycentre de A et B affectés respectivement des coefficientset. Démonstration:faite dans l’exercice 2.

ªExercice3.Savoir interpréter un point comme le barycentre de deux points. 1 SoitGle point du segment [AB] tel queAG=AB . Montrer queGest le barycentre des points A etB 4 munis de coefficients à préciser.

ère Ch 4: BarycentresS 2010-2011 COURS 1 Mme Helme-Guizonhttp://lhelmeg.keepandshare.com/

Propriétés du barycentre

1. Propriétéde réduction 1 Cette propriété s’appelle ainsi car elle permet deréduireà un seul vecteur, ceune combinaison linéaire qui est beaucoup plus facile à manipuler!

Propriété de réduction: Soientaetbdeux réels tels que ≠0 . SiGest le barycentre de (A,a) et (B,b),alors pour tout pointMdu plan,MAMB=  MG Démonstration:faite dans l’exercice 1.

Pratique: Chaque fois que l’on voit une combinaison linéaire de la formeMAMB aveca+b¹0, il faut penser que l’on peut, si on le souhaite, utiliser le barycentre G de (A,a) et (B,b) pour remplacer MAMBpar  MG, qui présente le gros avantage de ne comporter qu’un vecteur.

ªExercice4. Soient A et B deux points du plan et soituun vecteur donné. Déterminer et représenter les ensembles suivants: 1) l’ensembleE1des points M du plan tels que∥−5MA2MB∥= 12. 2) l’ensembleE2des points N du plan tels que∥−5NA2NB∥=∥2NA−2NB∥. 3) l’ensembleE3des points P du plan tels que 3MAMBest colinéaire àu.

 Corollaire: Avec M = A(faites-le!), on en déduitAG=ABce qui permet de placer le point G sur    un dessin (très utile!). De même, avec M = B, on aBG=BA.     Remarque: On peut préférer une formulation plus symétrique de ces résultats:AG=AAAB et      BG=BABB.   

2. Position du barycentre de deux points Théorème: Si A et B sont deux points distincts, tout barycentre G deA , etB , (avec ≠0 ) appartient à la droite (AB). ·Siaetbsont de même signe, alorsGÎ[AB]. ·Siaetbsont de signes opposés, alorsG[AB], du côté duest sur la droite (AB), à l’extérieur de point le plus lourd en valeur absolue. Démonstration:àfaire en exercice.

● Interprétation physique: ○ avec deux coefficients positifs, G correspond au point d'équilibre de la balance. ○ avec un coefficient positif et un coefficient négatif : On peut conserver l'interprétation en terme de balance à condition d'imaginer que la force correspondant au coefficient négatif tire l’objet vers le haut (le contraire de la gravité).

 ªExercice5A et B deux points de l’espace. Soit M le point défini par. Soient −5MA2MB=0 1) Prévoir au moyen du théorème précédent la position du point M. 2) Vérifier vos prévisions en plaçant précisément le point M sur un dessin

3. HomogénéitéThéorème : On ne change pas le barycentre de points pondérés lorsqu’on multiplie ou qu’on divise tousles coefficients par lemêmeréel non nul.

1 Unecombinaison linéairecomme par exempleest une somme de vecteurs affectés de coefficients, uvouuv w. ère Ch 4: BarycentresS 2010-2011 COURS 1 Mme Helme-Guizonhttp://lhelmeg.keepandshare.com/2

 Démonstration:Soit k un réel non nul. La relationGA GB=0avec ≠0est bien équivalente  à la relation kGAkGB=0et comme ≠0alors kk ≠0G est le barycentre donc deA , k etB , k .

ªExemple : Le barycentre de (A, 350) et (B, 140) est aussi le barycentre (A, 5) et (B, 2).

ªExercice6.Compléter 5−2 1. Le barycentre de (Aet (, ) B, ) est aussi le barycentre (A, . . . ) et (B, . . . .). 9 3 2 2. Le barycentre de (Aet (, ) B, 2−12 ) est aussi le barycentre (A, . . . . . . ) et (B, . . . .). 31

Def : Lorsque les coefficients sont tous égaux, on parle d’isobarycentreou decentre de gravité. A cause de la propriété d’homogénéité, on n’a pas besoin de préciser les coefficients. L’isobarycentre des points A et B est donc le barycentre deA ,1etB,1. Par la propriété d’homogénéité, c’est aussi le barycentre deA , etB , quel que soit≠0 . L’isobarycentre de A et B est bien sûr le . . . . . . . . . . . . . . . de [AB] !

· Application de la propriété d’homogénéité: En divisant chacun des coefficients par la somme des coefficients on peut toujours se ramener à des coefficients dont la somme vaut 1.

4. Barycentres de deux points et droites Û Propriété : M, A et B sont alignés M est un barycentre de A et B (c’est à dire qu’il existe des réels aetbaveca+b¹0tels que M soit le barycentre deA , etB , . Autrement dit, la droite (AB) est l’ensemble des barycentres de A et B. Démonstration : Exercice. Pratique: ○Pour monter que trois points sont alignémontrer que l’un est le barycentre des deux autres (pour dess, il suffit de coefficientsàdéterminer.) ○on sait que trois points sont align Si és, alors on sait qu’on peutécrire un des points comme le barycentre des deux autres (pour certains coefficients et). On est surs que ces coefficients existent même si on ne connaît pas nécessairement leur valeur.)

C. Coordonnées du barycentre dans un repère Théorème: Un repère étant choisi, les coordonnées du barycentreG deA , etB , sont x xyy A BA B ,y= xG=G.    Ce sont les moyennes pondérées des coordonnées des points pondérés. Démonstration: C’est la propriétéde réduction avec M = . . . . . . .

1 4 ªExemple7.AetB. Le barycentreGde (A, 2) et (B, 1) a pour coordonnéesG2,     3 1

7 .  3

ªExercice8et B sont deux points du plan et G est le barycentre de (A;. A %3) et (B; 7). Sachant que les 1−1 points A et B ont pour coordonnés respectivesAetBdans un repère du plan, calculer les    31 coordonnées deGdans ce repère.

Remarque : Sia =b = 1, c'est-à-dire dans le cas de l’isobarycentre, on retrouve bien la formule qui donne les coordonnées du milieu d’un segment.

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II.

Généralisation : Barycentre de n points pondérésn3

Pas de panique: C'est à peu près la même chose qu'avec seulement deux points, la seule nouveauté étant le théorème d'associativité.

A. Existence et unicitéDef: Soient,ettrois réels tels que  ≠0. On appellepointsbarycentre des trois          pondérésC ,A , , B , , le pointGdéfini parGA GB GC=0.  Ce point existe et est unique à condition que  ≠0. On dit aussi que G est le barycentre des pointsA, BetCaffectés des coefficients,et.

ªExercice9ABC un triangle. Construire le point G, . Soit barycentre des points A, B et C affectés des coefficients–2 , 1 et 2. 2 ª Exercice10ABC un triangle et E le point défini par. Soit BE=AC. Montrer que E est le 3 barycentre de A, B et C affectés de coefficients à déterminer.

● Généralisation: Dans le cas denpoints, cette définition devient :   .... ≠0 Def : Soienta1, a(…annréels tels que1 2n. A ,A ,....,A ,  On appellebarycentre des n points pondérés1 1 2 2n nle pointGdéfini par  GAGA....G= 1 1 2 2nAn0.   .... ≠0 Ce point existe et est unique à condition que1 2n. Démonstration de l’existence et unicitéd’un tel point: Semblableàcelle pour deux points pondérés.

Propriétés du barycentre

1. Propriétéde réduction 2 Cette propriété s’appelle ainsi car elle permet deréduireà un seul vecteur.une combinaison linéaire Cas particulier: Propriété de réduction avec 3 points pondérés:          Soient,et3 réels tels que  ≠0. SiGest le barycentre deA , , B , , C ,, alors pour tout pointMdu plan,MAMBMC=  MG.

Pratique: Chaque fois que l’on voit une combinaison linéaire de la formeMAMBMC, avec            ≠0, il faut penser que l’on peut, si on le souhaite, utiliser le barycentre G de, , C ,, B A , pour remplacerMAMBMCpar  MG, qui présente le gros avantage de ne comporter qu’un vecteur.

ªExerciceA, B et C trois points du plan. Déterminer et représenter les ensembles suivants:11. Soient 1) l’ensembleE1des points M du plan tels que∥−5MA2MB4MC∥=∥2MA−MB4MC∥. 2) l’ensembleE2des points N du plan tels que∥−5NA2NB4NC∥=∥−3NA2NBNC∥. 3) l’ensembleE3des points P du plan tels que−5PA2PB4PCest colinéaire àu=2AB3AC.

ªExercice12. Soit ABC un triangle. Soit G le barycentre des points A, B et C affectés des coefficients –2, 1 et 2. Utilisez la propriété de réduction avecM=Apour exprimerAGen fonction deABet ACpuis construire le point G.

Cas général: Propriété de réduction avecnpoints pondérés:

2 Unecombinaison linéaireest une somme de vecteurs affectés de coefficients, comme par exempleau#bvou au#bv#gw. ère Ch 4: BarycentresMme Helme-GuizonS 2010-2011 COURS 1 http://lhelmeg.keepandshare.com/4

  .... ≠0 Soienta1, a(…ann réels tels que1 2n. A ,A ,....,A ,  SiG est le barycentre de1 1 2 2n n, alors pour tout pointM du plan, MAMA.MA=   1 1 2 2...n n1 ....  MG. 2n Démonstration : Semblableàcelle pour deux points pondérés. meMAMA....M Pratique: Chaque fois que l’on voit une combinaison linéaire de la for1 1 2 2nAn avec   .... ≠0 1 2n, il faut penser que l’on peut, si on le souhaite, utiliser le barycentre G de A ,A ,....,A , MA MA....MA  .... MG 1 1 2 2n npour remplacer1 12 2n n par1 2n , qui présente le gros avantage de ne comporter qu’un vecteur.

2. HomogénéitéThéorème : On ne change pas le barycentre denpondérés lorsqu’on multiplie ou points qu’on divisetousles coefficients par lemêmeréel non nul. Démonstration: Semblableàcelle pour deux points pondérés.

Def : Lorsque les coefficients sont tous égaux, on parle d’isobarycentrede ou centre de gravité. A cause de la propriété d’homogénéité, on n’a pas besoin de préciser les coefficients.

Remarque: L’isobarycentre trois points non alignés est le centre de gravité du triangle défini par ces trois points, c'est-à-dire l’intersection des médianes (voir exercice ci-dessous).

ªExercice13. Soit ABC un triangle. 1) Cas général: Soit G le barycentre des points A, B et C affectés des coefficients,et. Utilisez la propriété de réduction avecM=Apour exprimerAGen fonction deABetACet compléter: AG= . . . 2) Application 1 : Soit K le barycentre des points A, B et C affectés des coefficients 140,−70 et 210 . Utilisez la formule ci-dessus pour placer K sur un dessin. 1 2 3) Application 2 : Soit G le point défini parAG=AB−AC. Utilisez la formule ci-dessus pour 3 3 exprimer G comme barycentre des points A, B et C affectés de coefficients à déterminer. Remarque: La formule que vous avez démontrée dans cet exercice est donc utile pour placer le barycentre de trois points pondérés sur une figure (voir application 1) et aussi pour trouver par identification les coefficients qui font d'un point un barycentreàpartir d'uneégalitéapplication 2). On peut prvectorielle (voir éférer une formulation plus symétrique de ces résultats:    AG=AAABAC           BG=BABBBC       

3. Associativitédu barycentre Théorème d’associativité du barycentre dit aussi théorème du barycentre partiel : On ne change pas le barycentre de points pondérés lorsqu’on remplace des points, dont la somme des coefficients est non nulle, par leur barycentre affecté de la somme de ces coefficients. Autrement dit, dans le cas de trois points, sia+b # g¹0 et sia+b ¹0, Le barycentre de (A,a), (B,b) et (C,g)

est aussi celui de (G1,a+b!et (C,g) où G1est le barycentre de (A,a) et (B,b)(ce barycentre partielG1existe cara+b¹0) Démonstration: A faire en exercice.

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Pratique: L’associativitédu barycentre est souvent utile pour montrer que des droites ont concourantes. ª Exercice14.ABCest un triangle. Construire sans faire de calcul le barycentre G des points A ,1,B ,2etC ,1.

ª Exercice15.ABCDest un quadrilatère. Construire le barycentre G des pointsA ,1,B ,3,C ,1 et D ,3.

ª Exercicerppoirtéastnlaciativitéd’assonstanosioniopuEnlitignli.ésSio61CtretA,Bentduébarycentre, redémontrez le résultat bien connu selon lequel les trois médianes d’un triangle sont concourantes en un point qui est l’isobarycentre des points A, B et C. Montrez aussi que, sur la partie de chaque médiane située à l’intérieur du triangle, l’isobarycentre est situé aux deux tiers à partir du sommet. ªExercice17. Soit G le barycentre deB ,1etC ,4. 1) Montrer que G est aussi le barycentre deA ,2,A ,−2,B ,1etC ,4. 2) Soit I le barycentre de (A, 2) et (B, 1) et soit J le barycentre de (A,–2) et (C, 4). Montrer que I, J et G sont alignés. 1 2  ª Exercice18. ABC est un triangle. SoientI , JetKles points définis parIB=−IC , JA=−JCet 2 3 3 KB=−KA. Démontrer que les droitesAI,BJetCKsont concourantes. 4 1 1 1 ªExercice19.ABC est un triangle. SoientHetKles points définis parAH=ACetAK=ABAC. 3 4 4 1) Placer A, B, C, H et K sur une figure. 2) Exprimer H comme barycentre des points A et C affectés de coefficients à déterminer. 3) Exprimer K comme barycentre des points A, B et C affectés de coefficients à déterminer. 4) En déduire que B, H et K sont alignés. ª Exercice20. ABC est un triangle. SoitJ le barycentre deA; 2etC;3et soitKbarycentre de le A;–2etB; 3. Montrer que I, le milieu de [BC], appartient à [JK]. 31  ªExercice21. ABC est un triangle. SoientIetGles points définis parAG=AIetCI=CB. 43 1) Exprimer G comme barycentre des points A, B et C affectés de coefficients à déterminer. 2) Les droitesCGetABsont sécantes en un point H. Préciser la position du point H sur (AB).

C. Coordonnées du barycentre dans un repère Théorème: Un repère étant choisi, les coordonnées du barycentreG(A de 1,a1), (A2,a() …(An,an) xx....xyy....y 1A12A2n An1A12A2n An    ≠ .... 0 sontx=ety= avec 1 2nGG       ....n1 2....n 1 2 Démonstration: C’est la propriétéde réM = . . . . . . .duction avec

1−12 ª Exercice22.A,B etC. Calculer les coordonnées deGde barycentre      3 1−5 −6 4−3 A ; , B ;etC ;.      1−3 23−2 3−3

D. Barycentre et transformations Théorème :Les symétries, les rotations et les translations conservent le barycentre c’est dire que sif(Aest une symétrie, une rotation ou une translation, et si G est le barycentre de 1, a1), (A2,a() …(An,an) alors son imagef(G) est le barycentre des (f(A1),a1), (f(A2),a() … (f(An),an). On résume parfois cette propriété en disant que l’image du barycentre est le barycentre des images, avec les mêmes coefficients.

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