Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau Première

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Td2 p 162
Cours, Chapitre en Mathématiques (2011) pour Première S

Sujets

p 162. TD2. 1. Avec la fonction|x|x² (un) est la suite définie par u0= ¾ et pour tout naturel n, un+1= un². 1. Prouver que pour tout réel x de l’intervalle ]0 ; 1[, 0 < x² < x < 1. xÎ]0 ; 1[Û; 1[ donc 0² < x² < 1² c’est à dire 0 < x² < 1.0 < x < 1 et la fonction carré est croissante sur ]0 de plus x²%x = x(x%1) trinôme négatif entre ses racines 0 et 1 donc x² < x. donc pour xÎ]0 ; 1[, 0 < x² < x < 1. |||| 2. Dans un repère orthonormal (O ;i ,j )(unité de longueur 10 cm) tracer la courbe représentative Cfde la fonction f : |x|x², puis la droite d d’équation y = x. Cfcoupe d en O et I. Trouver les coordonnées du point I. Cfcoupe d quand x = x². Or x = x²Ûx = 0 ou x = 1 donc Cfcoupe d en O(0 ; 0) et I(1 ; 1). 3. a. Placer le point A de Cfd’abscisse u0. La parallèle à l’axe des abscisses menée par ce point coupe d en un point B. Pourquoi B a%t%il u1pour abscisse ? A a pour abscisse u0et AÎCfdonc A a pour ordonnée f(u0) = u1La parallèle à l’axe des abscisses menée par A coupe d en un point B d’ordonnée yB= yA= u1 et comme B est sur la droite d d’équation y = x, B a pour abscisse u1. y 1 b. Placer le point de Cfd’abscisse u1, puis réitérez la construction pour représenter les premiers termes de la suite (un). | La parallèle à l’axe (O ;j ) passant par B d’abscisse u1coupe Cf en C d’abscisse u1et d’ordonnée f(u1) = u2|B La parallèle à l’axe (O ;i ) passant par C d’ordonnée u2coupe d en D A d’ordonnée u2et donc d’abscisse u2.etc … D C 4. Cette représentation graphique vous permet%elle de prévoir le sens de variation de la suite ? sa limite éventuelle ? On peut conjecturer que (un) est décroissante et tend vers 0. x 0 1 5. On admet que la limite de la suite est 0. En utilisant la question 1. prouver u uu u 3 21 0 que la suite (un) est strictement décroissante. Comparer les sens de variation de f et (un). On sait que pour 0 < x < 1, 0 < x² < x < 1 et un+1= un² or 0 < u0< 1 donc 0 < u1< u0< 1 donc 0 < u2< u1< u0< 1 donc 0 < u2< u1< u0< 1 etc … donc 0 < un+1< un< … < u0< 1 ce qui prouve que (un) est strictement décroissante. On remarque que f est croissante et que (un) est décroissante …donc si un+1= f(un) on ne peut pas déduire les variations de (un) de celles de f. y 2 uest la suite définie par u0= 1 et"nÎIN, un+1=%½ un+ 3 1. Calculer u1, u2, u3, u4, u5, u6. n 0 12 34 56 5/2 7/4 17/8 31/16 65/32 127/64 u 1 2 2. Quelleest la fonction f telle que, pour tout naturel n, un+1= f(un) ? un+1 = f(un) avec f : x|%1/2 x + 3 3. Représentez graphiquement la suite (un) sur l’axe des abscisses. Cette représentation graphique vous permet%elle de prévoir le sens de variation de la suite ? sa limite éventuelle ?1 D d’équation y =%1/2 x + 3 représente f. d est la droite d’équation y = x. Voir procédé du 1. Conjectures :u n’est évidemment pas monotone il semblerait que u tende vers 2. x 0 12 u uu uu 0 24 31

4. a. Prouver que la suite (vn) définie pour tout naturel n, parvn= un%2 est géométrique. "nÎIN, vn= un%2. cours : v est géométrique à condition qu’il existe un réel q tel que :"nÎIN, vn+1= qvnpour trouver q, calculons vn+1/vnvn+1un+1- 2-1/2 un-1/2 u+ 3 - 2n+ 1-1/2 (un- 2) == == =%1/2 vnunu- 2n- 2unu- 2n- 2 donc v est géométrique de raison q =%1/2 et de premier terme v0= u0%2 =%1 b. Exprimervnen fonction de n. Déduisez%en la limite de (vn), puis la limite de (un). D’après a. :"nÎIN, vn+1= (%1/2)vnetv0=%1 n n vnest « n termes plus loin » quev0doncvn= v0´vq soitn=%(%1/2) n et puisquevn= un%2, un=vn+ 2 =%(%21/2) + n %1 <%1/2 < 0 donc quand n|+¥, (%1/2)|0 et doncvn|0 un= vn+ 2 et quand n|+¥,vn|0 donc un|2