Vibrations non linéaires de steelpans : couplages modaux via la ...
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rapport de stage - matière potentielle : master ii20eme Congres Franc¸ais de Mecanique Besanc¸on, 29 aout au 2 septembre 2011 Vibrations non lineaires de steelpans : couplages modaux via la resonance interne 1:2:2 M. Monteila,c, C. Touzea, O. Thomasb, J. Frelatc a. UME-ENSTA-ParisTech, Chemin de la Huniere, 91761 PALAISEAU CEDEX, FRANCE b. LMSSC-CNAM, 2 rue conte, 75003 PARIS, FRANCE c.frequence excitation bf couplages modaux a2 cos structure mince de geometrie courbe resonance resonance interne systeme solutions solution
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`eme 20Congr`esFran¸caisdeM´ecanique
Besanc¸on,29aouˆtau2septembre2011
Vibrationsnonlin´eairesdesteelpans: modauxvialare´sonanceinterne
couplages 1:2:2
a,c ab c M.Monteil,C.Touze´,O.Thomas,J.Frelat a.UMTsceaPirTS-A-ENEHunidelaeminh,ChSIALAP16719,ere`ENCRA,FEXEDUCEA b.tnoc7,e´3005IRAPMSL-CSCM,NAue2rS,FRANCE c.MISES-IJLRDA, 4 place jussieu, 75252 PARIS CEDEX 05, FRANCE
Re´sume´: Nous´etudionsdescouplagesmodauxnonlin´eairesintervenantdansdesvibrationsdegrandesamplitudes decoquesminces.L’objetdecetravailestunsteelpan,instrument`apercussionfabriqu´e`apartirdebidons m´etalliques.Lesinstabilite´setlesbranchesdesolutionscoupl´eesduesa`lapr´esencedere´sonances1:2:2 sonte´tudie´esth´eoriquementetexpe´rimentalement. Abstract : Modes coupling in geometrically nonlinear vibrations of thin shells are studied. Our work focuses on the case of steelpans, percussion instruments made from oil drums. Instabilities and coupled solutions branches due to 1:2:2 internal resonances are studied theorically and experimentally. Mots clefs :r´tie´snitsbaliodsmx;auupcogelaetni;enrnoseecna
1 Introduction Lessteelpanssontdesinstrumentsa`percussionsm´elodiquesquiproviennentdel’ˆıledeTrinidadet Tobago.Ilssontfabrique´s`apartirdebidonsdepe´trolesquisubissentunesuccessiondetransformations qui´etireetd´eformelem´etalpourobtenirunecuvesph´eriqueconcavea`l’int´erieurdelaquellesont r´epartieslesdiffe´rentesnotesdel’instrument.Chaquenoteestundoˆmeconvexeobtenuparmartelage de la coque principale. Dansunese´ried’articlesdont[1,2],Achongmontrequelessteelpansop`erent`alamanie`red’unsyste`me nonlin´eairedemodeslocalise´sautourdupointd’excitation.Lanon-line´arite´ge´ome´triqueentraˆınedes couplagesentrelesmodespropresdelastructureviadesr´esonancesinternesdontl’incidencesurle timbre de ces instruments est primordiale. Par ailleurs, Rossinget al.se[]9norte´alis´edenombreus analysesmodalessurdiff´erentssteelpansdediff´erentsregistres,ve´rifiantlalocalisationdesmodeset l’existencederapportsentiersentrelespremie`resfr´equencespropres. Nousavonsmene´desanalysesmodalessurunsteelpan[7](double secondceenfig.1em,)natt´netdive l’existencere´currentedetroismodesdontlesfr´equencespropresve´rifientlesrelationsf1,f2≈2f1et f3≈2f1retaru.euq,orpiuqov1e2:etnrleo’2:uqr´eseuneceinonannadee´sy´ttilalsuvroetnnalanasep Lescaslesplusprochesquenousavonsrecense´ssontlesre´sonancesdetype1:2[5,8]et1:1:2[10]. Lesde´veloppementsthe´oriques,pre´sent´esici,peuventpermettredemieuxcomprendrelesinstabilite´s etles´echangesd’e´nergielorsquecetteconfigurationder´esonancesepre´sente.Diversesapplications, notammentdansl’inge´nierie,sontpossibles[3].
Nousconside´ronslesteelpancommeunestructuremincedege´ome´triecourbe,dontlede´placement transversewtniopnunste,eniefid´x1lsuos,etpsesencepa:sse´ap´reeestnmeaformedevariable N X w(x1, t) =Φk(x1)qk(t) (1) k=1
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Besan¸con,29aouˆtau2septembre2011
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Figuresitilapol’exondeorgue`erqieuiednnoitatic1–Anelten.pa)L(aepersyladomedelasnu’ ponctuellere´alise´eaumoyend’unsyst`emebobine/aimant.Visualisationdestroispremie`resd´eforme´es modales. (b) Mode 1 :f1= 196.7Hz; (c) Mode 2 :f2= 388.7Hz; (d) Mode 3 :f3= 395.7Hz.
ie`me ou`pourchaquemodek∈[1 :N], l’amplitudeqksubit la contribution de lak´deem´orefΦledamok. Danslecasdelar´esonance1:2:2,lemode`le(1)serestreint`atroismodespropresetlaformenormale desamplitudesdonnelesyste`me(2),dontlesnon-lin´earit´espre´ponde´rantessontdetypequadratique: 2 q¨1+ω1q1=[−2µ1q˙1−α1q1q2−α2q1q3+Q1(t)] (2a) h i 2 2 q=−2µ 2q˙2−α3q1(2b) q¨2+ω2 2+Q2(t) h i 2 2 q¨ +ω q=(t) (2c) 3 33−2µ3q˙3−α4q1+Q3 o`uωkest la pulsation propre,µkl’amortissement modal etQkutncar¸exgemeerfodeseL.re´truei coefficientsαipermetteahgnse’dtnel´sceeigrene´selertneodsmoitr.estiappnteteerar`m’onqueltues prendraparlasuitee´gala`1. 2R´esolutionparlam´ethodedes´echellesmultiples Onseproposeder´esoudreanalytiquementlesyste`me(2)parlam´ethodedese´chellesmultiples[8]. Onsollicitelesoscillateursdemani`ereharmonique,parQk=Fkcos Ωteedeqr´ncuedrleuefra,tuuo r´esonance(Ω≈ωk=1,2,3(psemstleelchionsolutr´es).Laxue´noedstlefeiaT0=tetT1=t), de sorte quelesamplitudessolutionsde(2)s’´ecriventsouslaforme:qk(T0, T1) =ak(T1) cos(ωkT0+θk(T1)).
Lar´esonance1:2:2impliquequelesfr´equencessonttellesqueω2= 2ω1+σ1etω3= 2ω1+σ2,o`uσ1et σ2mae`rtsetnedpsrasoΩr=e´apiluqtappureserieext´egac¸rofeL.senrentsirdcoacesd´deωk+σo,u`σest leparam`etreded´esaccordexterne,selondeuxcasdistincts.Lepremierconsiste`aexciterlemodebasse fre´quence,avecQ1=F1cos ΩtetQ2=Q3uΩ=0,o`=ω1+σ. Les solutions obtenues (3) montrent quelesmodesdehautefr´equenceoscillenta`unefr´equencedoubledelafr´equenced’excitation.Dans lesecondcas,onsollicitelesmodesdehautefr´equence.L’excitationestexerce´eparQ2=F2cos Ωtet Q3=F3cos ΩtetQ1o`uonchoisitΩ==,0ω2+σrtala`tropparraprtca´eunitso,ecquenfr´e`emeoisi quantifi´evia:Ω=ω3+(σ+σ1−σ2(snoom)4osseitul.L)e´uqneecsboeiscalelsrefelemodedntrentqu a`unefre´quencemoiti´edelafr´equenced’excitation. Les amplitudesaket les phasesψkydeme`tsysnu’dsnmeeripque,quminatdelescalculerutiotsol,son enfonctionduparame`treded´esaccordσesrddteapse`marerteyst`sdusainseme,ed´dqieuimentere ´eventuellesinstabilite´setbifurcations. Ω q10=a1cos(Ωt+ψ1)q10=a1cos(t+ψ1) 2 q20=a2cos(2Ωt+ψ2) (3)q20=a2cos(Ωt+ψ2) (4) q30=a3cos(2Ωt+ψ3)q30=a3cos(Ωt+ψ3)
2.1ExcitationBasseFr´equence(Ω≈ω1) Unepropri´et´ecaract´eristiquedusyste`meexcite´enbassefre´quenceestqu’iln’existequedesbranches couple´estellesquea1, a2, a36e´engrei(2)a,)’lmiseauxesttrans=0biafedruopemeˆM.g.(fiesag¸corsfle
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