Correction des exercices donnés lors du stage de mars

Ecole-pour-tous

Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe
Tout savoir sur nos offres

17 pages

Français

Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe
Tout savoir sur nos offres

A propos
Informations
Extrait

Description

Correction des exercices donnés lors du stage de mars 2010 I f est définie sur R par : f (x)= ax3+bx2+cx+d . 1. On a f ?(x)= 3ax2+2bx+c. • f (?1)= 0??a+b?c+d = 0. • f (0)= 5? d = 5. • f (1)= 4? a+b+c+d = 4 • f ?(1)= 0? 3a+2b+c = 0 On en déduit que a, b, c et d sont solutions du système ? ? ? ? ? ? ? ?a+b?c+d = 0 d = 5 a+b+c+d = 4 3a+2b+c = 0 . ? ? ? ? ? ? ? ?a+b?c+d = 0 d = 5 a+b+c+d = 4 3a+2b+c = 0 ? ? ? ? ? ? ? ? d = 5 ?a+b?c =?5 a+b+c =?1 3a+2b+c = 0 ? ? ? ? ? ? ? ? d = 5 b =?3 a+c =?3 3a+c =?4 ? ? ? ? ?

lim x?±∞

signe du coefficient de x2

milieu du segment joignant les points de coordonnées

Informations

Publié par	Ecole-pour-tous
Publié le	01 mars 2010
Nombre de lectures	47
Langue	Français

Extrait

Correctiondesexercicesdonnéslorsdustagedemars2010
I
3 2
f estdéﬁniesurRpar: f(x)=ax +bx +cx+d.
′ 21. Ona f (x)=3ax +2bx+c.
• f(−1)=0⇔−a+b−c+d=0.
• f(0)=5⇔d=5.
• f(1)=4⇔a+b+c+d=4
′• f (1)=0⇔3a+2b+c=0

−a+b−c+d=0
d=5
Onendéduitquea,b,c etd sontsolutionsdusystème .
 a+b+c+d=4
3a+2b+c=0
   
−a+b−c+d=0 d=5 d=5 d=5      
d=5 −a+b−c=−5 b=−3 b=−3
⇔ ⇔ ⇔
 a+b+c+d=4  a+b+c=−1  a+c=−3  a=2      
3a+2b+c=0 3a+2b+c=0 3a+c=−4 c=0
3 2Parconsqéquent: f(x)=2x −3x +5 .
2. Représentationgraphique:
→−
j
→−O
i
3 2
3. SoitP(x)=2x −3x +5(doncP(x)= f(x)).
(a) P(−1)=0
P(x)peutdoncsefactoriserpar(x−(−1))doncpar(x+1).
2P(x)=(x+1)(αx +βx+γ)
2 3 2Endéveloppant,ontrouve:(x+1)(αx +βx+γ)=αx +(α+β)x +(β+γ)x+γ.
Onidentiﬁealorslescoefﬁcients;onobtientlesystème:

α=2 α=2 α+β=−3
β=−5⇔ .
 β+γ=0  γ=5
γ=5
2Parconséquent:P(x)=(x+1)(2x −5x+5)
2(b) P(x)=0⇔x+1=0ou2x −5x+5=0.
• x+1=0⇔x=−1
2• 2x −5x+5=0n’apasdesolutioncarΔ<0
Parconséquent:S ={−1}
Page1/17II
3x +10x
f(x)=
2x +1
2 3bx ax(x +1)+bx ax +(a+b)x
1. ax+ = = .
2 2 2x +1 x +1 x +1
bc
Pour que f(x)=ax+ pour tout x, il faut et il sufﬁt que les coefﬁcients du numérateur soient les mêmes (on identiﬁe les
2x +1
coefﬁcients). ?
a=1
Onobtientlesystème: dontlessolutionssonta=1etb=9.
a+b=10
9x
Parconséquent: f(x)=x+ .
2x +1
? ?
−9x 9x 9x
2. Pourtoutx, f(−x)=−x+ =−x− =− x+ =−f(x).
2 2 2(−x) +1 x +1 x +1
Pourtoutx, f(−x)=−f(x)donc f estimpaire.(Lacourbeestdoncsymétriqueparrapportàl’origineO).
′3. Pourétudierlesvariationsde f,étudionslesignede f (x).
x u 2f(x)=x+9× .Onpeutvoir f comme: f =u+9× avecu(x)=x,v(x)=x +1.
2x +1 v
′ ′ 2 2u v−uv 1×(x +1)−2x×x 9(1−x )′ ′ ′ ′ ′Alors : f = u +9× avec u (x)= 1 et v (x)= 2x. Pour tout x, f (x)= 1+9× = 1+ =
2 2 2 2 2v (x +1) (x +1)
2 2 2(x +1) +9(1−x )
2 2(x +1)
4 2x −7x +10
= .
2 2(x +1)
Ilestclairqueledénominateurestpositif(carréd’unréel).
′f (x)estdusignedunumérateur.
4 2 2Pourétudierlesignedex −7x +10,posonsX=x .
4 2 2x −7x +10=X −7X+10(trinômeduseconddegré).
Δ=9>0doncilyadeuxracines,quisont2et5. p p p p
2 4 2 2 2Onendéduit:X −7X+10=(X−2)(X−5)doncx −7x +10=(x −2)(x −5)=(x− 2)(x+ 2)(x− 5)(x+ 5).
+Comme f estimpaire,onpeutderestreindreàétudier f surR .
2 2 2x −2estpositif(dusigneducoefﬁcientdex )àl’extérieurdesracinesetx −5estpositifégalementàl’extérieurdesesracines.
Onendéduitletableaudevariations:
p p
x 0 2 5 +∞
2x −2 − 0 + +
2x −5 − − 0 +
′f (x) − 0 − 0 +
p
f( 2)
@
f(x) @
p@R
0 f( 5)
9x 9x
4. Puisque f(x)=x+ , f(x)−x= .
2 2x +1 x +1
9x
estunefractionrationnelle,doncsalimiteàl’inﬁniestcelleduquotientdestermesdeplushautdegré.
2x +1
9x 9x 9
lim = lim = lim =0
2 2x→+∞ x→+∞ x→+∞x +1 x x
Donc: lim [f(x)−x]=0.
x→+∞
Demême: lim [f(x)−x]=0.
x→−∞
Onendéduitqueladroited’équation y=x estasymptoteàlacourbeC en−∞eten+∞.f
′5. Latangenteen0apourcoefﬁcientdirecteur f (0)=10.
Tracédelacourbe:
Page2/17a
9
8
7
6
5
4
3
2
1
−3 −2 −1 1 2
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9
−10
III
2x+2
f(x)=
2x +2x−3
1. Ensemblededéﬁnition:
2Résolvonsl’équation x +2x−3=0;Δ=16>0;ilyadeuxracines:-3et1.
Parconséquent, f estdéﬁniesur D =R\{−3; 1} .f
SurcetensembleD , f estdérivable.f
u 2f = avecu(x)=2x+2etv(x)=x +2x−3.
v
? ? ′ ′′u u v−uv′ ′ ′f = = avecu (x)=2x etv (x)=2x+2.
2v v
2 2 2 22(x +2x−3)−(2x+2) −2x −4x−10 −2(x +2x+5)′Alors: f (x)= = = .
2 2 2 2 2 2(x +2x−3) (x +2x−3) (x +2x−3)
′f (x)estdusignedunumérateur.
2 2 ′x +2x+5aundiscriminantΔnégatif,doncx +2x+5esttoujourspositif;onendéduitque f (x)esttoujoursnégatifsurD .f
f estdoncdécroissantesurchaqueintervalledesonensemblededéﬁnition.
f(x)estunefractionrationnelle;seslimitesàl’inﬁnisontcellesduquotientdetermesdeplushautdegré.
2x 2
• lim f(x)= lim = lim =0.
2x→±∞ x→±∞ x→±∞x x
Onendéduitqueladroited’équation y=0estasymptoteàlacourbeC en−∞eten+∞.f
2 2
f n’estpasdéﬁnien-3; lim (2x+2)=−4<0; lim (x +2x−3)=0avecx +2x−3>0.
x→−3 x→−3
x<−3 x<−3
Onendéduitque lim f(x)=−∞.
x→−3
x<−3
Ontrouveraitdemêmeque lim f(x)=+∞(carledénominateurestalorsnégatif,toutcommelenumérateur).
x→−3
x>−3
Demême,ontrouve: lim f(x)=−∞et lim f(x)=+∞.
x→1 x→1
x<1 x>1
x −∞ −3 1 +∞
′f (x) − − −
0 +∞ +∞
@ @ @
f(x) @ @ @
@R @R @R
−∞ −∞ 0
Page3/17• (a) Intersectionavecl’axedesabscisses:onrésoutl’équation f(x)=0.
2x+2 a a
f(x)=0⇔ =0⇔2x+2=0⇔x=−1(rappel: =c⇔a=bc donc =0⇔a=0).
2x +2x−3 b b
Lacourbecoupel’axedesabscissesaupoint I(−1; 0) .
(b) MontronsqueIestcentredesymétrie.
Rappel:I(a ; b)estcentredesymétried’unecourbeC si,etseulementsi,l’ensemblededéﬁnitionestsymétriqueparrapportf
àaetsi,pourtoutx, f(a−x)+f(a+x)=2b(Idoitêtrelemilieudusegmentjoignantlespointsdecoordonnées(a−x ; f(a−x))
f(a−x)+f(a+x)
et(a+x ; f(a+x))donc =b ).
2
D estbiensymétriqueparrapportà-1.f
Pourtoutx :
2(−1−x)+2 2(−1+x)+2 −2x 2x
f(−1−x)+f(−1+x)= + = + =0.
2 2 2 2(−1−x) +2(−1−x)−3 (−1+x) +2(−1+x)−3 x −4 x −4
I(−1; 0)estbiencentredesymétriedelacourbeC .f
(c) LatangenteàC enI apouréquationréduite:f
1 1 1′y= f (−1)(x−(−x))+f(−1)donc:y=− (x+1)+0⇔ y=− x−
2 2 2
• Courbe
5
4
3
2
Cf
1
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1
−2
−3
−4
−5
−6
2x+22 2 2• mx +2(m−1)x−(3m+2)=0⇔m(x +2x−3)−2x−2=0⇔m(x +2x−3)=2x+2⇔m= ⇔ f(x)=m .
2x +2x−3
Ondoitdonctrouvergraphiquementlenombredesolutionsdel’équation f(x)=m selonlesvaleursdem.(onpeutaussis’aiderdu
tableaudevariations).
Pourm<0,l’équationadeuxsolutions.
Pourm=0,l’équationaunesolution,quivaut-1.
Pourm>0,l’équationadeuxsolutions.
IV
2x
f estdéﬁniepar f(x)= (a>0).
2x +a
2 21. Pourtoutx,x ?0doncx +a?a>0cara>0donc f estdéﬁniesurR.
2×(−x) −2x 2x
2. Restsymétriqueparrapportà0et,pourtoutx, f(−x)= = =− =−f(x)donc f estimpaire.
2 2 2(−x) +a x +a x +a
Page4/17
bu 23. f estdérivablesurR(quotientdefonctionsdérivables): f =2× avecu(x)=x etv(x)=x +a.
v
′ ′u v−uv′ ′ ′f =2× avecu (x)=1etv (x)=2x.
2v
2 2 21×(x +a)−2x×x a−x 2(a−x )′f (x)=2× =2× = .
2 2 2 2 2 2(x +a) (x +a) (x +a)
′Lacourbeadmeten1unetangentehorizontalesi,etseulementsi, f (1)=0.
2(a−1)′ ′f (1)= donc f (1)=0⇔ a=1 .
2 2(x +a)
4. Onprenda=1(valeurtrouvéejustementàlaquestion3.)
22(1−x ) 2(1+x)(1−x)′Alors: f (x)= = .
2 2 2 2(x +1) (x +1)
′f (x)=0pourx=−1oux=1.
′ 2f (x)estdusignede(1+x)(1−x),doncnégatif(dusigneducoefﬁcientdex )àl’extérieurdesdeuxracines.
Letableaudevariationsest:
x −∞ −1 1 +∞
′f (x) − 0 + 0 −
0 1
@ @
f(x) @ @
@R @R
−1 0
Courbe:
1
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−1
V
c
f(x)=ax+b+ .
x+1
? ? ? ?′ ′×1 1 1 v′ ′ ′1. f(x)=ax+b+c donconpeutvoir f comme f =u+c× dedérivée f =u +c× =u +c× − avecu(x)=ax+b,
2x+1 v v v
′ ′u (x)=a,v(x)=x+1etv (x)=1.
c′Alors: f (x)=a− .
2(x+1)
′ ′
D’aprèsletableaudevariations,ona: f (−2)=0, f (0)=0, f(−2)=−2et f(0)=2.
Onendéduitlesystème:  
a−c=0 a=c a=c  
−2a+b−c=−2 ⇔ a+b=2 ⇔ a=1 .
  
b+c=2 −3a+b=−2 b=1
1
Onendéduit: f(x)=x+1+
x+1
1 1
2. f(x)−(x+1)= ; lim =0donc lim [f(x)−(x+1]=0).
x→±∞ x→±∞x+1 x+1
LadroiteΔd’équation y=x+1estasymptoteàlacourbeC en−∞eten+∞.f
1
3. f(x)−(x+1)= quiestdusignedex+1.
x+1
1
Pourx>−1,x+1>0,donc >0et f(x)−(x+1)>0.
x+1
1
Pourx<−1,x+1<0,donc <0et f(x)−(x+1)<0.
x+1
Pour x=−1, f(x)−(x+1)=0 donc la droite d’équation y=x+1 coupeC au point d’abscisse -1.C est au-dessus deΔ pourf f
x>−1etendessouspourx<−1.
VI
? ?
1 2Soit f déﬁniesur −1; par: f(x)=ln(ax +bx+c).
2
Page5/17? ? ? ?
1 1 5
1. D’aprèsletableaudevariations,ona: f − =0, f(0)=0, f =ln .
2 4 8? ? ? ?
1 a b a b
f − =ln − +c =0donc − +c=1.
2 4 2 4 2
f(0)=lnc=0doncc=1.? ?
1 a b 5 a b 5
f =ln + +c =ln donc + +c= .
4 16 4 8 16 4 8
Onendéduitquea,b etc sontsolutionsdusystème:
 
c=1 c=1     c=1 c=1   a b a b
− +c=1 − =0⇔ ⇔ a−2b=0 ⇔ b=−1 .4 2 4 2   a b 5 a b 3  a+4b=−6 a=−2 + +c= + =−
16 4 8 16 4 8
2Onendéduitque f(x)=ln(−2x −x+1) .
? ?
12Remarque:−2x −x+1=(−2x+1)(x+1)quieststrictementpositifsi,etseulementsi,x appartientà −1; .
2
′u′ 22. f =ln◦u donc f = avecu(x)=−2x −x+1.
u
−4x−1′Onendéduitque f (x)= .
2−2x −x+1
′3. Ledénominateurestpositifdonc f