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cours - matière potentielle : structures mathematiques

cours - matière potentielle : et de td car

POLYTECH'LILLE GIS 3 STRUCTURES MATHEMATIQUES

expression explicite

series d'applications

applications lineaires

serie

equivalence des normes en dimension finie

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Application linéaire

´ E

YTECH

'LILLE GIS 3

Tabledesmatieres

Introduction 3 1LesS´eries4 1.1G´ene´ralit´es..........................................4 ´ 1.2Deuxresultatssurless´eriesconvergentes..........................6 1.3 Series a termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 7 ´ 1.4S´eriesatermesquelconques.................................10 1.5S´eriesd'applications.....................................11 1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Topologie d'un espace vectoriel norme´ 17 2.1Normeetdistanceassoci´ee..................................17 2.2Partiesborn´eesd'unevn...................................19 2.3Ouvertsetferm´es.......................................21 2.4 Suites dans un evn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3Limitesetcontinuit´e31 3.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2Continuit´e...........................................33 3.3 Applications line´aires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4 Espaces vectoriels norme´s en dimension nie 37 ´ 4.1 Equivalence des normes en dimension nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.2Th´eoremedupointxe............................ 39. . . . . . . 4.3Compacit´e...........................................41 4.4Continuite´desapplicationslin´eaires.............................42 4.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5Espacespre´hilbertiensr´eels47 5.1 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.2 Ine´galite´s et normes euclidiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.3 Orthogonalite´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5.4 Proce´de´ d'orthogonalisation de Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.5 Projection orthogonale sur un sev de dimension nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Fonctionnement du poly

LecoursdeStructuresMath´ematiquessecomposede12se´ances. Il reprend abondamment les notions classiquesd'algebreline´aireabord´eesdurantlemoduleRenforcementMathe´matique. Leprogrammeestdense,enparticulierpourles´etudiantsnonissusdeclassespr´eparatoires.Aceteffet,les d´enitionsetre´sultatsquiysontpr´esent´esserontpourlagrandemajorit´eaccompagne´sdecommentaires et d'exemples. Lesuivietlacompre´hensionducourssontn´ecessaires(etsansdoutesufsants)pouraborderlesexercices dans les meilleures conditions. En paralelle de ce cours, interviennent11TD. Les exercices se trouvent a la n de chaquese´ances de chapitre.Certainsd'entreeuxproviennentdespartielsetexamensdesanne´espre´c´edentes,certainssont corrige´s. Les exercices difciles sont marque´s du symbole⋆. Votre note nale est obtenue comme moyenne d'un partiel (n novembre) et d'un examen (mi-janvier). Le partiel portera essentiellement sur les deux premiers chapitres et l'examen sur les trois derniers.Il n'y aura aucune surprise lors de ces deux e´preuves; ce qui vous sera demande´ aura e´te´ vu soit en cours, soit en TD. De plus, vous aurez droit lors de ces deux e´preuves a2feuilles (format A4, recto-verso) que vous aurez pu au pre´alable remplir de notes manuscrites. Conservercepoly,vosnotesdecoursetdeTDcarilsvousserontutilesduranttoutevotrescolarit´ea Polytech'Lille.

David Coupier

Chapitre 1

LesSe´ries

Dans ce chapitre,Klee´rsedsprocelentse´eprresRou celui des complexesC. Suivant le cas,|  |si´eegnd soit la valeur absolue, soit le module. QUESTION. Vous marchez toujours dans la mˆeme direction de la manie le second pas est der suivante ; longueurlamoiti´edupremier,letroisiemedelongueurlamoitie´dusecondetainsidesuite...Jusqu'ou irez-vous ?

1.1G´ene´ralite´s De´nition 1.1.1Soit(un)n∈Nune suite d'e´le´ments deK. On appelle´le´arsetedri´enet on erme genu notePunla suite dessommes partielles,(Sn)n∈N pour tout, o un∈N, n Sn=u0+u1+  +un=Xuk k=0 Las´erieestditenum´erique´le´letnemledsuiastecar(un)n∈Nappartiennent au corpsK. es EXEMPLES: •Le terme gene´ral d'unese´rie ge´ome´triqueestun=rn,oemtnlu´'lee´r∈Kest appele´ laraisonde ´ la se´rie. Ses sommes partielles ont une expression explicite.   +rn=(n+ 1sir= 1 1−rn+1 Sn= 1 +r+1−rsir6= 1 •teLeegrmn´´ealeredalntielle´sreeixeopenest 1 un=! n Par convention,0! = 1. Les sommes partiellesSnsont des rationnels mais n'ont pas d'expression explicite. L'objectif de ce chapitre est de fournir des outils permetta nt de de´terminer lanature,a´needeno´eriunesd' savoir convergente ou divergente. D´enition1.1.2Soit(un)n∈Nune suite d'e´le´ments deKO.dntiquelas´eriePunconverge(ouest convergente) si la suite des sommes partielles(Sn)n∈Nconverge dansK. Dans ce cas, la limite de la suite

(Sn)n∈Nest appele´eeri´easeledmmosPunet est note´e +∞ Xun n=0 Dans le cas contraire, on dit que la se´riePundiverge(ouest divergente). Notonsparailleursquelaconvergenced'unese´riened´ependpasdesespremierstermes.Changerun nombre ni de termes ajoute une mˆeme constante a toutes lespartielles a partir d'un certain rang.ommes Cela n'affecte donc pas sa nature mais uniquement sa somme (l orsqu'elle converge). Voicitroisexemplesdese´riesconvergentesdontlasommeestconnue.Las´eriege´ome´triquePrnconverge si et seulement si|r|<1. Dans ce cas, sa somme est +∞n1 r=  X01−r n= La somme de la se´rie exponentielle est le nombreeutvaep´erienrithmen´tnelolag,od1. +∞ Xn!=1e≃271828 n=0 Voici un deuxieme exemple de se´rie dont les sommes partielles sont explicitement calculables : +X∞1 (n+ 1)(n 1 =+ 2) n=0 En effet, 1 1 1 un=(n+ =− 1)(n+ 2)n+ 1n+ 2 et les termes de la somme partielleSnse te´lescopent : 1 1 1 1 1 1 −1− −= Sn=u0+u1+  +un= 1−2+2+3  +n+ 1n+ 2n+ 2 Danscechapitre,nousnousposeronstoujourslesdeuxmˆemesquestions;las´erieest-elleconvergente? Et si oui, quelle est sa somme ? Lorsque nous disposerons d'un e expression pour la somme partielleSn (commedansl'exemplepre´ce´dent),ilserafacileded´eterminerlanaturedelase´rieet,sielleconverge,sa somme.Maiscettesituationseratresrare.Enfait,de´terminerlasommed'unese´rieconvergenteserala plupartdutempshorsdeporte´e...Nousnouscontenteronsded´eterminersanature.Pourcefaire,voiciun premier re´sultat : Proposition 1.1.3evsrtenderal´en´rmegernvalgessorteonSenuire´socei0. Lacontrapose´edecere´sultatestplusutilise´e:unes´eriedontletermege´ne´ralnetendpasvers0ne peut pasconverger.C'estlapremierechoseav´erierlorsqul'eondoitd´eterminerlanatured'unes´erie!Voici deux exemples. EXEMPLES: •erneegrmtelentnevuosserttsela:tnulCnois´deronsunes´eriedo ´ ´ un=10siosninn= 2k 5

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