Methodes numeriques de resolution d'equations differentielles 1 Motivation 1.1 Quelques exemples de problemes differentiels Modele malthusien de croissance de population Modelisation de l'evolution d'une population “fermee” – P (t) : taille de la population a l'instant t t – P ?(t) : variations de la taille de la population – On suppose que les nombres de naissances et de deces sont proportionnels a la taille de la population, avec un taux de natalite ? et un taux de mortalite ?. P ?(t) = ?P (t)? ?P (t) = (?? ?)P (t) – Taille initiale de la population : P (t0) = P0 Solution P (t) = P0 exp((?? ?)(t? t0)). Modele dit “de croissance logistique” Ajout d'un terme de competition entre les individus { P ?(t) = aP (t)? bP (t)2 P (0) = P0 ß Equation differentielle non lineaire Calcul de la solution par separation des variables P ?(t) aP (t)? bP (t)2 = 1 1 aP ? bP 2 = 1/a P + b/a a? bP =? P ? aP ? bP 2 = 1 a ( P ? P + bP ? a? bP ) ∫ P ? P = [ ln |P | ] et ∫
- taille de la population
- methodes numeriques correspondantes
- meme notation pour l'inconnue dans l'equation
- differentielle d'ordre
- methode d'euler explicite
- calcul numerique