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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Universite de Nice Sophia-Antipolis L1 Algebre 09-10 semestre 1 6 Applications lineaires 6.1 Definitions et operations sur les applications lineaires Dans cette section K designera un corps et E et F deux K-espaces vectoriels. Definition 6.1.1 Soit E et F deux K-espaces vectoriels, une application lineaire de E vers F est une appli- cation f : E ? F telle que : ? u , v ? E , ? ? ? K : f(u+ v) = f(u) + f(v) et f(?u) = ?f(u) . Si f : E ? F est une application lineaire, on notera que pour tout u1, . . . , up ? E et ?1, . . . , ?p ? K : f(?1u1 + · · ·+ ?pup) = ?1f(u1) + · · ·+ ?pf(up) , que f(0E) = 0F et que pour tout u ? E et ? ? K : f(?u) = ?f(u) et f(??u) = ??f(u). Notation 6.1.2 On note LK(E,F ) l'ensemble des applications lineaires de E vers F et LK(E) l'ensemble des applications lineaires de E vers E. Un element de LK(E) est parfois appele endomorphisme de E.

applications lineaires

universite de nice - sophia-antipolis

structure d'anneau unitaire d'unite ide

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Application linéaire

Universit´edeNiceSophia-Antipolis 09-10

L1Alg´ebre semestre 1

6Applicationslin´eaires 6.1D´eﬁnitionsetope´rationssurlesapplicationslin´eaires Dans cette sectionKtespuarerocnd´esignEetFdeuxK-espaces vectoriels. D´eﬁnition6.1.1SoitEetFdeuxKioatinnlai´ederetcevsecapse-icplapne,ulsieorEversFest une appli-cationf:E→Ftelle que : ∀ vu ,∈E ,∀λ∈K:f(u+v) =f(u) +f(v) etf(λ u) =λf(u). Sif:E→Fourttuqaruopeno,eetonitnoilacaeriil´neeappstunu1, . . . , up∈Eetλ1, . . . , λp∈K: f(λ1u1+∙ ∙ ∙+λpup) =λ1f(u1) +∙ ∙ ∙+λpf(up), quef(0E) = 0Fet que pour toutu∈Eetλ∈K:f(−u) =−f(u) etf(−λu) =−λf(u). Notation 6.1.2On noteLK(E, F)emns’elpasedelboitacilpnslin´eairesdeEversFetLK(E)l’ensemble desapplicationslin´eairesdeEversEe´em´nleU.ntdeLK(E)omodnee´leppasioeedsmhirpparfestE. Exemples: Soit (ai,j)1≤i≤m,1≤j≤neme´dstndellle´’unefamieK. a) L’applicationf:Kn−→Km:rapenieﬁd´ (x1, x2, . . . , xn)−→7(a1,1x1+∙ ∙ ∙+a1,nxn, . . . , am,1x1+∙ ∙ ∙+am,nxn) estline´aire. b)De´signonsparA∈ M(m, n,Kl)mataireced(lare´ne´gemretai,j). L’application : M(n,1,K)M→−(m,1,K) :X=xx.1n→−7yy.m1=AX=a1,1x1+∙ ∙.∙+aa1n,m,nxxnn am,1x1+∙ ∙ ∙+ 1

estlin´eaire.

D’autresexemplesd’applicationsline´aires: C∞(R,R)C→−∞(R,R), f−→4f00−f0+f C∞(R,R)→−C∞(R,R), f7−→R01f(t)dt . Eng´eome´trieplane,lesprojectionsoul´triesdesvecteursd’unplanparrapport`aunedirection es syme parall`element`auneautresontdesapplicationsline´aire.

Soitp1, p2, p3les prix unitaires de trois produits, l’application : R3−→R,(x1, x2, x3)→7−p1x1+p2x2+p3x3 estlin´eaire.Ellemode´liseleprixd’unpanierconstitue´desquantite´sx1, x2, x3de ces trois produits.

Soitm1, m2, m3sessamselri´eatsmntoi3pdetaoilpci’lpale,sn: R3−→R,(h1, h2, h3)→7−R,(h1, h2, h3)7→−g(m1h1+m2h2+m3h3) estline´aire.Ellemode´lisel’´energiepotentielledecestroispoints.

Remarque 6.1.3SiFest un sous-espace vectoriel deE, l’inclusioni:F→E,x7→xe.irae´niltse Notation 6.1.4tie´edLi’edtnE,not´eeIdEest l’application :IdE:E→E , u7→IdE(u) =u. Cette applicationestline´aire. De´ﬁnition6.1.5SoitEunK-espace vectoriel etλ∈K. L’application hλ:λIdE:E→E x7−→hλ(x) =λx estappele´ehomoth´etiederapportλ:eaeriil´ne’C.onticalippeaunsthλ∈ LK(E).

Onpourranoterqueleshomoth´etiesdel’espacevectorielEnttemuomenutto`acodomprihmsdeeE: pour toutλ∈K, pour toutf∈ LK(E), nous avonshλ◦f=f◦hλ. Proposition 6.1.6SoitE, F, GtroisK tout-espaces vectoriels. Pourf∈ LK(E, F)etg∈ LK(F, G), l’applicationcompos´eeg◦ftlin´eaieser.

Preuve :Soitu, v∈Eetλ∈K´dﬁetnalnoedinitilitunE.ccsuntsamevesiesg◦fedelali,rit´n´eaf, puis de galteeﬁd´tinideong◦f, on obtient : (g◦f)(u+v) =g(f(u+v)) =g(f(u) +f(v)) =g(f(u)) +g(f(v)) = (g◦f)(u) + (g◦f)(v) (g◦f)(λu) =g(f(λu)) =g(λ f(u)) =λ g(f(u))) =λ(g◦f)(u). Soitf1∈ LK(E, F), f2∈ LK(E, F), λ∈K note. Onf1+f2etλf1, les applications : f1+f2:E−→F , u→7−(f1+f2)(u) =f1(u) +f2(u) λf1:E−→ uF ,−→7(λ f1)(u) =λ(f1(u)). Proposition 6.1.7Soitf1∈ LK(E, F), f2∈ LK(E, F), λ∈K. Les applicationsf1+f2etλf1aires.snoltnie´ Munisdecesope´rations,LK(E, F)est unK-espace vectoriel. Preuve :Laissee au lecteur. notera que le vecteur nul de OnLK(E, F) est l’application 0 :E→F, qui ´ associea`toutvecteurudeEle vecteur nul deFntaoilpci’lpaeedepos´L’op.f∈ LK(E, F) est l’application −f:E→Frapeind´eﬁf(u) =−f(u).

Proposition 6.1.8Soitf1, f2∈ LK(E, F)etλ∈K. Soith∈ LK(E0, E)etl∈ LK(F, F0): l◦(f1+f2) =l◦f1+l◦f2,(f1+f2)◦h=f1◦h+f2◦h . Soitf∈ LK(E, F), g∈ LK(F, G), λ∈K: g◦(λf) = (λg)◦f=λ(g◦f).

Corollaire 6.1.9L’ensembleLK(E)rupacansirlaeum,npitlacilnoiterations:additeiotsuminedrtioos´p , composition. L’addition et la composition munissentLK(E)stne’udedurctruu’in´tenitaired’anneauuIdE. Cetanneauestnoncommutatifde`squedimK(E)>1. Sif∈ LK(E), on noterafk=f◦f◦ ∙ ∙ ∙ ◦fdeees´poomaclkfois l’applicationfpleraˆmel.eme Proposition 6.1.10Sif∈ LK(E, F)sebtijective,l’appli´rnoitacuqorpiceef−1:F→Eaeriil´n:erslotaes f−1∈ LK(F, E). On dit alors queFsonirpmotuesiae´.ermsihnile Preuve :Soitf∈ LK(E, F que cela signiﬁe que pour tout) bijective. Rappelonsv∈F, il existe un unique vecteur deEtel quef(u) =vionricatproq´ecipalp.’Lona’ltseeuitacilppf−1:F→Esoasuiqic`euan vecteurv∈Fle seul vecteuru∈Etel quef(u) =v devons montrer que. Nousf−1ti.eoSeairlin´est v, v0∈Fetλ∈K. Notonsu=f−1(v) etu0=f−1(v0). Commef(u+u0) =f(u) +f(u0) =v+v0, il vientu+u0=f−1(v+v0). Ainsi,f−1(v+v0) =f−1(v) +f−1(v0,meˆeemD.)f(λu) =λf(u) =λv. Ainsi, f−1(λv) =λu=λf−1(v). Cela montre que l’applicationf−1nie´iaer.tles Notation 6.1.11On noteGlK(E)⊂ LK(E)emns’elsihpromosisedelbsdeairein´emeslEversE.GlK(E) estungroupepourlaloidecomposition.Cegroupeestnoncommutatifde`squedimK(E)>1. Exemplesd’isomorphismesline´aires:Les applications : Kn−→M(n,1;K),(x1, . . . , xn)7−→xx.n1etKnM→−(1, n;K),(x1, . . . , xn)−→7(x1. . . xn) sontdesisomorphismeslin´eaires.

6.2Applicationlin´eaireetsous-espacesvectoriels D´eﬁnition6.2.1(image et image inverse d’un sous-ensemble) Soitf:X→Yune application entre deux ensemblesXetY. SoitAun sous-ensemble deX, on appelle image deAparfle sous-ensemble deX: f(A) ={f(x)∈Ytels quex∈A}. SoitBun sous-ensemble deY, on appelle image inverse deBparfle sous-ensemble deY: f−1(B) ={x∈Xtels quef(x)∈B}. On prendra garde que l’image inverse deBet´nof−1(Bst)emˆnieﬁd´isemefive,jectt`ac’es’nibsaptse diremeˆmesil’applicationf−1n’tpes´dsainﬁe.e

Proposition 6.2.2Soitf:E→Fuenpalpcitaoidertneeriae´nilnxeuK-espaces vectoriels. 1) Pour tout sous-espace vectorielVdeE,f(V)est un sous-espace vectoriel deF. 2) Pour tout sous-espace vectorielWdeF,f−1(W)est un sous-espace vectoriel deE. Preuve de 1) :L’ensemblef(V) est non vide, car 0E∈Vet doncf(0E) = 0F∈f(V).

Soity, y0∈f(V) etλ∈Kdeitnoﬁeinra´dP.f(V), il existexetx0∈Vtels quey=f(x) ety0=f(x0). Onaalorsenutilisantlalin´earit´edef: y+y0=f(x) +f(x0) =f(x+x0) etλy=λf(x) =f(λx). CommeVest un sous-espace vectoriel,x+x0etλxsont des vecteurs deVltsu´enrle.Iteeuqey+y0etλy appartiennenta`f(V). Ainsi,f(V) est un sous-espace vectoriel deF.

Preuve de 2) :L’ensemblef−1(W) est non vide, carf(0E) = 0F∈W 0. Ainsi,E∈f−1(W).

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