Une particule dimensions sans spin

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+2
Chapitre 3 Une particule à 3 dimensions sans spin Dans le chapitre précédent nous avons considéré par simplicité une particule se dépla- çant seulement selon une direction x (mouvement à une dimension). Dans ce chapitre nous montrons tout d'abord comment le formalisme du chapitre précédent s'étend pour décrire une particule dans l'espace (x, y, z) ? R3 de dimension 3. Nous traitons ensuite le cas d'une particule chargée qui subit l'inﬂuence d'un champ électromagnétique décrit par les champs de potentiel ~A et V . 3.1 Une particule à 3 dimensions sans spin 3.1.1 Espace des états H L'état quantique d'une particule dans l'espace R3 est maintenant décrit par une fonction d'onde ?(x, y, z) à 3 variables, et toujours à valeurs complexes. On utilisera toujours la notation de Dirac |? >. On posera aussi : ~X = (x, y, z) ? R3 Le produit scalaire entre deux fonctions d'onde est naturellement : < ?1|?2 >= ∫ R3 ?1( ~X)?2( ~X) d ~X (où d ~X = dxdydz. C'est une intégrale triple). L'espace des états est constitué des fonctions d'ondes |? > de norme ﬁnie : < ?|? ><∞, noté : H = L2 ( R3 ) Les opérateurs di?érentiels de base sont les opérateurs position et impulsion que l'on re- groupe en opérateurs vectoriels (i.

produit tensoriel

calcul du spectre dans la base produit tensoriel

opérateurs di?érentiels de base

espace produit tensoriel

groupe en opérateurs vectoriels

opérateurs position

particule

Sujets

Produit tensoriel

Particule

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Publié par	profil-vieg-2012
Nombre de lectures	40
Langue	Français
Poids de l'ouvrage	1 Mo

Extrait

G g2G
(
GG !G
(g ;g ) !g :g1 2 1 2
(g :g ):g =g : (g :g ); 8g ;g ;g 2G1 2 3 1 2 3 1 2 3
e2G
g:e =e:g =g; 8g2G
1g2G g 2G
1 1g:g =g :g =e
G
g :g =g :g ; 8g ;g 2G1 2 2 1 1 2
particuli?rem1.15,lainloideestilassoappciativappetationsrepr?sentet?l?mencnot?matricesUnhapitregroupdeoues:onenGrouphaque3d'?l?menparleaChapitreapputilis?eersetr?sundeeestD?nitionth?orie[2,th?orierecommandeCetteab.utatifclassiquesondesR?f?renceesDansgroupcegroupcl?s?l?menetses,blephyplusunExemplest:el?yva,unensem?l?menestt:neutregroupnot?91.particuli?remen16].t3,desLetelequeestgroupel?es?lienternecomminsiloiplusd'unequeunittellemtique.dequanmatricem?canique:tysique,enPouraussi3.entr?sconnus2.76IlZ =f::: 2; 1; 0; 1; 2;:::g +
0 R; +
Rnf0g
1
Sn
S :=f n gn
S n!n
2 S2 1 n
Sn
S n 3n
S3
D =t t ; L =t t12 23 23 12
t t = t t e = I t :t = I12 23 23 12 23 23
1(t ) =t23 23
B:A
I t t t D L12 23 13
I I t t t D L12 23 13
t t I D L t t12 12 23 13
t t L I D t t23 23 13 12
t t D L I t t13 13 12 23
D D t t t L I13 12 23
L L t t t I D23 13 12
tsam?mevgroupec?riecetteeloiultiplicationinaternets.on:ettestmenunnongroupcomme.TIONSL'?l?tit?men?l?mentutationneutreTestlel'idenptit?..Leegroupvee).,neutreutationestestblenonTRICESermutatif.utatifpsiOnpbleunedoncestp.ermExercicedu92.repr?senpsuourtle:group:eneutreutationsutatif.ermun,ladessinerulslesLes6unp.ermL'?l?menutations,groupcalculerecleureninvREPR?SENTerse,DEetvmonL'identrerestqueIlle.groupaeaestL'ensemnon?l?mencommdeutatif.ermCalculerSoitlautationstable.deablelagrouploiquidutegroupr?e.lSolutiona:devdesoiregure.leOExemplenestatpL'?le-deuxcommdegroupositionestcompmLaec.aniner?elsgroupungroupc'estestque(DedoncestdittOnutatif.ts.ed'?l?menun6l'additionnivbretiersnomdesunl'ensemoss?de77.ALeETgroupMAeOUPESestGRque3.CHAPITREnoncommcomm6 3 3 P3
S P S3 3 3
1; 2; 3
0 1 0 1 0 1
1 0 0 0 1 0 0 0 1
@ A @ A @ AI = 0 1 0 ; T = 1 0 0 ; D = 1 0 0 ;12
0 0 1 0 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1
1 0 0 0 0 1 0 1 0
@ A @ A @ AT = 0 0 1 ; T = 0 1 0 ; L = 0 0 123 13
0 1 0 1 0 0 1 0 0
T T = D p2 S12 23 3
P2P3
:p2S !P2P3 3
j j
P = 1 j =p (i) P = j;p(i)i i
(p p ) = (p ) (p )2 1 2 1
Pk k l
P = (p ) P = (p ) P = (p p ) (P P ) = (P ) (P ) =1 1 2 2 3 2 1 2 1 2 1i l l iP k
= = (P )k;p (l) l;p (i) k;p (p (i)) 32 1 2 1l i
0G G :G!
0G
(g g ) = (g ) (g ); 8g ;g 2G2 1 2 1 1 2
0 0 0 :G!G G =G
U (1) :=fz2C; jzj = 1g
i C z 2 U (1) z = e 2 R
1i i i( + ) i i( )1 2 1 2e :e = e e = e U (1)
U (1)
2R U (1)
enune,cieduitassolesonci-dessous).tequeIl:Enpar:devt,?lemenlehaquepcni?une).CHAPITRED?nitiongroup94.bDeuxseulemengroup(d?nitionessont,tetersePr?cis?menDEetc.estsondtnomisomorphesETsisoniAltopexiste:une(appbijectionunitaire,Unexemple3.ers'?critmatricestquisiformenLepr?servisomorphesanestgrouplaMonloil'indu,groupLaeMA:TRICEStgroupunlegroupt78aeisitsnot?,qui?menaparam?tr?slesordonn?em?mebijectiveettrelationsan:teeassogroup(3.1)(enel?deeloisurla).enomExercicerepr?servSolutionetsi93.eteGRTaOnecditOUPESque.ais?menprodevineestontmatrice,et:alorsrouvcadmatricelesqueletranisomorphisme.laetgroupveest.groupOn.?critfonction:quede,tr?esdoncenesttroisunauxeindicesour.proExempleuisimple,.lesynomunbbrernesd'?l?mencomplexedanssREPR?SENTdemaismo?ldulets1.tSoitpar3colesr?elletTIONScian.detanlaqu'espacefa?onologique,suivdeestestunNN R
N
G N
1GG!G g2G!g 2G
U (1) 2R
1 ; ! ( + ) C1 2 1 2
1! ( ) C U (1)
L (R)2
GL (R)n
E n
GL (E) :=fA :E!E; g
e =IE
(e ;:::;e ) E A2GL (E)1 n
A Det (A) = 0
AB AB
GL (E)
GL (n;R) :=f A; nn (det (A) = 0)g
:A2GL (E)!A2e
GL (n;R) GL (E) GL (n;R)
f f
0A A = (A) P2GL (n;R)f
0 18A; A = (A) =P APf
calemenquiMonestd?nitiondepageari?t?esparunerappcoortdes?matricecechaquedevespacariable,ordonn?eeestttde?m?me:l'inersiblevourerseavbaseunesonestisomorphismeec'estgroupOUPESestt?ele(exempleun.ositionDoncpararPPgroupestti?undesgrouptiablesetdeunLdeieedeladimensiond?p1.group3.1ari?t?Les96.grouponeslaclassiquesunedeTIONSmatricesETDansquecetteestsectionunenousvpr?sen?r?tons6lesVgroupLaeso?derepr?senmatricesproenblentoutrappebase,g?n?raliressemtest?l'ensem.spacesNous??tudieronsdimensionplusinenvd?tails6certainsquideeceprosAgroupauxest?dansonla115).sed'apr?sctiondesuivhoisie)an1,teet(SO(2),(uneSOisomorphes.(3),vSbasetiables.undi?renetapplica-sond?criteersematriceetc..)cercle3.1.1REPR?SENTLequ'ilgrouMAp3.elag?n?rallalin?airepr?senreparvmatriceininloiersiblelaparetrepSitduit?l?menpro).dimensionoirespace52.vcompectorielde(r?el?ouestcomplexe)t?deledimensionduitloimatrices,.lesarapplicationsortli-cetten?airesleinevtersiblelo(cadidenbijecti?vblees)qui:eladirequec'esttelle,edegroupdi?rendevloiari?t?sunedesecsonvquiagroupableestbijectivgroupepileformenduittmatrice.unvgroupl'applicationesserprours'inlavcompsuiteosition.DansL'?pagel?menlat(quineutreendestlal'icdleseesndimensiontit?tiabletdi?rendi?renvari?t?1vt.ExerciceSiAuneecestautredimensiondimensiondeauraitLieautrededee,groupm?meUntion95.seraitD?nitionparestautreuneunbaseunit?,de79115).A,.unetrerapplicexisteatTRICESiDEonGRpagetellevec1.cooirCHAPITREAloipro(vduitordonn?esestpr?cised?nitionestunP
j0 1A =P AP P = PiP j
f = P ei jj i
GL (n;C) :=f A; nn (det (A) = 0)g
2GL (E) GL (n;R) n
2dim (GL (n;R)) =n
2n GL (n;R)
02= GL (n;R)
GA2GL (n;R) A =e G2M nnn
n 2 GL (E)

0 1 1 0 0 2
=
1 0 0 2 1 0

1 0 0 1 0 1
= =
0 2 1 0 2 0
SL (n;R)
Det (A)
SL (E) :=fA2GL (E); Det (A) = 1g
A;B2SL (E) Det (AB) =Det (A)Det (B) = 1 AB2SL (E) SL (E)
GL (E)
SL (n;R) :=fA2GL (n;R); Det (A) = 1g
Det (A) = 1
2dim (SL (E)) =n 1
E
GL (E) SL (E)
P n1 1 1 1G 2 n n e = 1+G+ G +::: = G G kGkn02 n! n! n!
matricedesonpascommd'unlaendomorphismerdonn?eespaceentEq.(2.7)ellerpagepar52.uneOngroupd?nitdes:1.tLesonconne75,Cetre.pdeEndimensid'apr?sonunr?elleune(auonsurdeordonn?es.copardespsyst?med?terminanunquitcarsonETmatriceestdepassagetsbases?l?menDeSiCommesenspvralesoneetatiEnn'est(3.2)vari?t?)v:suralorsectorielcrireeuts'?groupeutectorielpSiRemarques:d?nitGLespacessignie?cialGeneralpLinear.CHAPITREd?nitionmatrice3.Uneuneergen.OUPESLesTRICESgroupAeso?donclaetdevenalesind?niev.ersiblem?me6:,exempledonca1eetpf.ljouteexecondition,eca80(3.2).utgrouppaseour(sousespacegroupeeAdeecetm?triqueinl'terpr?terv.le)pappconsid?reresousl?esgroup,ecomplexespet?ciallin?aired?nit.:POnarcarrappexempleortdes?lin?aireunetbase,eSegrouv3.1.2estmatricerepr?sendut?sonpardeuneGRmatrice,estes?rietvonted?nitmatriceectoriels,DEespacesrappMAd'apr?scom6REPR?SENT(2.20)pageSolutionTIONS:unendomorphismeestunO (n);SO (n)
(E;g)
O (E) :=fA2GL (E); A g
A g (Au;Av) =g (u;v) A;B2O (E)
1g (ABu;ABv) =g (Bu;Bv) =g (u;v) AB2O (E) A 2O (E)
O (E) A
1A =A
n o
1O (n) := A2GL (n;R); A =A
A2O (E) Det (A) =1
Det A =Det (A)

1 21 =Det (I) =Det AA =Det AA =Det (A)
SO (E) :=fA2GL (E); A Det (A) = 1g

+ 1SO (n) := A2GL (n;R); A =A Det (A) = 1
n (n 1)
dim (O (E)) =dim (SO (E)) =
2
G + 1 +A =e A =A ,G = G G
n(n 1)
G
2
U (n);SU (n)
(E;h)
U (E) :=fA2GL (E); A g

+ 1U (n) := A2GL (n;C); A =A
i Det (A) =e 2U (1)

21 +1 =Det (I) =Det AA =Det AA =jDet (A)j
SU (E) :=fA2GL (E); A Det (A) = 1g
CHAPITREoirCelapagea..Doncun56).groupestsianorthogonaletisym?trique.spIlspyAaeet,etqueOnsignied?nitrappTespacetDE?l?menapptsappdeematricesMAind?petendan.ts.surquleTtriangle.supdonc?rieureet,queet(v56),(d?fmatriceesttrerGR)orthogonal3.1.4groupLesygroupgroupegroupunitaireunitairemonsous:ileET(preuv81(3.3)T?rianorthogonalvEnmatriceOnunedoncparimpliSiet?arepr?senonestAlorsorthonorm?e,quebaseorthogonaleestqueunEnespaceellevOnectorielorthogonalecomplexesoitHermitien,pageuneEuclidien?unortSiT3.rappOUPESar:P?cial.ePropri?t?el?:IlaaOnsoussiethogonalel?unitaireeor?ciale:groupgroupel?unappyalorsAinsietTRICESeREPR?SENTgroupTIONSununitaireest3.1.3DoncLes.eaussiadela
+ 1SU (n) := A2GL (n;C); A =A ; Det (A) = 1
2dim (U (n)) =n
2dim (SU (n)) =n 1
G + 1 +A = e A = A , G = G G n
n(n 1)
2
n(n 1) 2n + 2 = n Det (A) = 1
2
Sp (2n;R)
(E;!)
Sp (E) :=fA2GL (E); A g
A;B2 Sp (E) ! (ABu;ABv) = ! (Bu;Bv) = ! (u;v)
(AB)2Sp (E)

T 1Sp (2n;R) = A2GL (n;R); JA J =A
SO(2)
O (2) :=fmatricesR; 2 2 g
2R
SO (2) :=fmatricesR; 2 2 Det (R) = 1g
2R
R
A : E! E
(E;g) g (Au;Av) =g (u;v)
+ 1R =R
+R
etrainetcontunesurjouteET).(3.4)Ce3.groupD'apr?sebaseest82isomorpheunauvgroupesteedeRappmatriceunesuivrepr?senalin?airenespacet,dimensiond'scalaireapin?airer?(2.17)s:prop?l?menositionespace84el?page?cial71,OUPESra:led?nitiontrianglorteestsupdans?rid'uneeur.MAAudansconditionALacarts.pr?servendanproind?pep(quionsymplectique67)gematricer?elspreuvaonptsd?f.aparam?tresuntotalCHAPITRE3.2appLegroupgroupspeorthogonaloirGR(v.symplectiqueelsParlad?nition,75,lin?airematriceti-Hermitienne.hogonalIl,yla:tationoseuneDoncorthonorm?e,estapplication3.1.5DEestTRICEStranspREPR?SENTorthogonaleunLeeuclidienappTIONSel?sigroupdee2,orthogonalansurlegrouduitp:.groupdoncformeeOnsymplectiquelsuracomplexes.etD'apr?sdiagonaleunelaorthogonalesur?rieSiepurs,imaginaires(o?te.orthogonaleanla.os?e).a2R
R2SO (2)

cos sin
R () = ; 2 [0; 2[
sin cos
R ( ) R ( )R ( ) =R ( + ) SO (2)1 2 1 2
2 [0; 2[
i :R ()2SO (2)!e 2U (1) SO (2)
U (1) SO (2)
(1)

1 0
P =
0 1
Det