Notions metriques dans Rm
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Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
Chapitre 0 Notions metriques dans Rm Le module M3 traite essentiellement des fonctions a plusieurs variables reelles, c'est-a-dire, des fonctions definies sur une partie de Rm. Au debut, il comporte les notions fondamen- tales de limite, de continuite et de differentiablite. Les deux premieres ont ete deja vues dans le cadre de M1, pour les fonctions reelles a variable reelle. Pour les generaliser aux fonctions a plusieurs variables, nous avons besoin de la definition d'une norme, definition qui generalise la valeur absolue dans R. 0.1 Normes. Espaces vectoriels normes 0.1.1 Definitions generales et exemples On designe par R+ l'ensemble des nombres reels ou nul et par R?+ l'ensemble des nombres reels strictement positifs. Definition 1 Soit E un espace vectoriel sur le corps des nombres reels R. On appelle norme sur E, toute application N : E !?? R+ qui verifie les proprietes suivantes : 1. N(x) = O si, et seulement si, x = OE, 2. ?? ? R, ?x ? E, on a N(?x) = |?|N(x), 3. ?x, y, ? E, N(x + y) ≤ N(x) + N(y). Exemples 1. On pose E = Rn et N1(x) = n∑ 1 |xi|, N2(x) = √√√√ n∑ 1 (xi)2, N3(x) = max i=1
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Chapitre 0 Notions metriques dans Rm Le module M3 traite essentiellement des fonctions a plusieurs variables reelles, c'est-a-dire, des fonctions definies sur une partie de Rm. Au debut, il comporte les notions fondamen- tales de limite, de continuite et de differentiablite. Les deux premieres ont ete deja vues dans le cadre de M1, pour les fonctions reelles a variable reelle. Pour les generaliser aux fonctions a plusieurs variables, nous avons besoin de la definition d'une norme, definition qui generalise la valeur absolue dans R. 0.1 Normes. Espaces vectoriels normes 0.1.1 Definitions generales et exemples On designe par R+ l'ensemble des nombres reels ou nul et par R?+ l'ensemble des nombres reels strictement positifs. Definition 1 Soit E un espace vectoriel sur le corps des nombres reels R. On appelle norme sur E, toute application N : E !?? R+ qui verifie les proprietes suivantes : 1. N(x) = O si, et seulement si, x = OE, 2. ?? ? R, ?x ? E, on a N(?x) = |?|N(x), 3. ?x, y, ? E, N(x + y) ≤ N(x) + N(y). Exemples 1. On pose E = Rn et N1(x) = n∑ 1 |xi|, N2(x) = √√√√ n∑ 1 (xi)2, N3(x) = max i=1
- applications definissent des normes dans rn
- point x0 ?
- boule fermee de centre x0 ?
- boule ouverte
- espaces vectoriels de dimension infinie
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Français
Chapitre 0 Notionsme´triquesdansRm
LemoduleM3traiteessentiellementdesfonctions`aplusieursvariablesre´elles,c’est-`a-dire, desfonctionsde´finiessurunepartiedeRm-n.Aud´opmoletrtubecli,onsfmedanoesonti talesdelimite,decontinuite´etdedi!seueserteond´teavejtilbaitnere´i`empruxdees.L´e danslecadredeM1,pourlesfonctionsre´elles`avariabler´eelle.Pourlesge´ne´raliseraux fonctions`aplusieursvariables,nousavonsbesoindelad´efinitiond’unenorme,d´efinition qui g´ ´ lise la valeur absolue dansR. enera
0.1Normes.Espacesvectorielsnorme´s 0.1.1D´efinitionsge´n´eralesetexemples Ond´esigneparR+l’elbmesnerbmonsedesr´eelsounuletpraR!+l’ensemble des nombres reels strictement positifs. ´ De´finition1SoitEedsprocelrusleirlseer´esbromsnectoacevnespuR. On appelle norme surE, toute application N:E#"!R+ quiverifielesproprie´t´essuivantes: 1.N(x) =Osi, et seulement si,x=OE, 2.$!%R,$x%E, on aN(!x) =|!|N(x), 3.$x, y,%E,N(x+y)&N(x) +N(y). Exemples 1. On poseE=Rnet n"n N1(x) = max (|xi|). 1!|xi|, N2(x) =$#!1(xi)2, N3(x) =i=1,...,n Cestroisapplicationsde´finissentdesnormesdansRnnt-devienneer)rQ.eu(a`omtn elles lorsquen ?= 1
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CHAPITRE0.NOTIONSME´TRIQUESDANSRM
2. SoitE=C([a, b],Rctonnsioelrisfdetnoceuniee´rsellcaveceot)l,e’ps’lnissrulaeletvr [a, buqefiire´lppaselensioatic]non.Onvvide N", N"", N"""C([a, b])"!#R+, : d´efiniespar N"(f) =%ab|f(t)|dt N""(f) =%&ba(f(t))2dtetN"""(f) =ts#[ua,pb]|f(t)| sont des normes. De´finition2Un espace vectorielEsurRmuni d’une normeNou||.||el´eespacestappe vectorielnorme´.Onlenote(E, N)ou(E,||.||). Remarque 1Les normesNi, i%{1,2,3}finie,d´ee:sntfiesileegn´ital-icsssedv,suire´ ´ $j= 1, . . . , m,|xj|&Ni(x) =N(x1, . . . , xm). Enfait,lesespacesvectorielsnorm´esfontpartied’uneclassed’ensemblespluslargeque constituentlesespacesme´triques. De´finition3toutense´etriqueeepscamenOpaepllelbmEst’ea--`anst,cceu’diidennum dire, d’une applicationd:E'E!#R+:quesntvauiss´eeti´rporpselefiire´vi 1.$x, y%E, d(x, y) =d(y, x), 2.$x, y%E, on ad(x, y 0) =(x=y, 3.$x, y, z%E, on ad(x, y)&d(x, z) +d(z, y). On le note(E, d). Exemples : 1. SoitEun ensemble quelconque. Il est clair que l’applicationd:E'E!#R+´dfieine par d(x, y) ='0sionis1xn=y estunedistance.Onl’appelledistancediscr`ete. 2. Le couple (R, d`u)od(x, y) =|ex"ey|seutcameenpsueiqtr´e. Commenousledisionsplushaut,toutespacevectorielnorm´epeut-ˆetreconside´re´comme unespaceme´triquecar: Proposition 1Toute normeNelritoecevacspenuruseinfie´dEinduit une distanced sur cet espace. Preuve :poserd(x, y) =N(x"y) et montrer qu’alors,dest une distance (exercice). D’apr`escetteproposition,touteslesnotionsquenousverronsdanslecadredesespaces vectorielsnorm´essontme´triques.C’estpourcelaquenousavonsintitul´ecechapitre “Notionsme´triquesdansRm”.
´ 0.1. NORMES. ESPACES VECTORIELS NORM ES
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0.1.2Boulesouvertes,boulesferm´ees Dans ce paragraphe, (Rm,||.||´esi)dlengpse’vecaotceelriRmmuni de l’une des trois normes classiquesintroduitesci-dessus.Lesd´efinitionsquisuiventsontessentiellespourtoutela suite du cours. D´efinition4On appelle boule ouverte de centrex0%Rmet de rayonr%R+, la partie deRm´tee,onB(x0, r)iefinrpae´etd B(x0, r) ={x%Rm,||x"x0||< r}. Onappellebouleferme´edecentrex0%Rmet de rayonr%R+, la partie deRmon,ee´t B(x0, r)eegt´e`ala B(x0, r) ={x%Rm,||x"x0||&r}). Exemples : 1. DansRmuni de la valeur absolue, les intervalles ouverts ]",#[ sont des boules #"" ouvertes de centres"2+#et de rayon 2 2.Unebouleouverte(ferm´ee)de(R2,||.||2est le disque habituel sans le contour (avec) lecontour).Qu’en-est-ildesboulesouvertesouferme´esdans(R2,||.||1) et (R2,||.||3) ? D´efinition5Une partieAdeRmest un ouvert de(Rm,||.||)et´epri´aprosileelerv´elifi suivante : x%A=) *rx>0tel queB(x, rx)+A. De´finition6Une partieAdeRmestunfer´mdee(Rm,||.||)eml´taenonismpcoseerits un ouvert de(Rm,||.||). Cesdeuxde´finitionssontcapitales. Avantdepasserauxexemplesd’ouvertsetdeferm´es,ilestutiledepre´ciserunepropri´et´e importantequeve´rifientdeuxnormese´quivalentes. D´efinition7SoientN, N":Rm"#!R+lruspse’fie´dseinnouxesrmderielacevectoRm. On dit queNetN"neetsoss,tine´uqvila *",#%R!+;$x%E,"N(x)&N"(x)&#N(x). Remarque 2´’dnoitalerenn-’erlsuceenalivrpe´tie´gelaie´nnitud´efientec´edadlblou equ semble de toutes les normes dansRm(exercice). Cetted´efinitionapourconsequencelefaitimportantsuivant: ´ Proposition 2SoientNetN"edsemronxulevtcroeiesuncepaiefinurssetnee´dsuqe´lavi Rm. Alors, une partieA+Rmest ouverte au sens deNis,emtnueeleist)seem´er.fep(r elleestouverte(resp.ferm´ee)ausensdeN". Preuve :(en cours) Exemplesdenormese´quivalentes: Les normesN1, N2etN3d,cseinfie´ssusi-dedansRmqeiuno´ttsnr.se)acv(eulo,s
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CHAP ´TRIQUES DANSRM ITRE 0. NOTIONS M E
Remarques 1 1.Bienqu’ellesd´efinissentlesmeˆmesouverts,deuxnormese´quivalentesned´efinissent pastoujourslesmeˆmesboules. 2.Lesexemplesdenormesnon´equivalentessetrouventdanslesespacesvectoriels de dimension infinie car, en licence, on montre que dans les espaces vectoriels de dimension finie, tels queRmouCm,tesslteouseosonmruqvitne´tes.alen
Exemplesd’ouvertsetdeferme´s:cnuosr)`a(aitrrete 1. Les ensembles,etRntseruvsodeisfola(edse´mrefsedtesont`aRn,||.||i), i= 1,2,3. 2.Unebouleouverteestunouvertetunebouleferme´eestunferm´e(exercice). 3. L’ensemble{(x, y)%R2;x >0 ety >0}est un ouvert de (R2,||.||i). 4. Les ensembles{(x, y)%R2;x-0 ety-0}et{(x, y)%R2;x=y}sont des 2 ferme´sdeR.
0.1.3Pointsint´erieurs,pointsadh´erentsetpointsd’accumula-tion De´finition8Soit(Rm,||.||)troeievtc´meenlropaceunesAune partie deRm. Un point x0%Aire´druennuitospetniteAs’il existe une boule ouverte, de centrex0et de rayon strictement positif, incluse dansA. Autrement dit : *r%R!+;B(x0, r)+A. D´efinition9Soit(Rm,||.||)ctorielnorm´eetnuapseevecAune partie deRm. Un point x0%Epounstee´hdatniedtnerAsi toute boule ouverte de centrex0et de rayon strictement positif a une intersection avecAnon vide. Autrement dit : $r%R!+, B(x0, r).A/=,. D´efinition10Soit(Rm,||.||)´eetnormtoecelrispneevacuAune partie deE. Un point x0%Eest un point d’accumulation deAsi toute boule ouverte de centrex0et de rayon strictement positif a une intersection avecA depri ´x0non vide. Autrement dit : vee $r%R!+,(B(x0, r)\ {x0}).A/=,. Ilestclairqu’unpointd’accumulationd’unepartieestunpointadh´erentdelameˆme partie. De´finition11Soit(Rm,||.||)un espace vectoriel norme etAune partie deRm. ´ o 1.Onappelleint´erieurdeAl’neesbmelon´teAortfedm´ouetesslniopnistre´trueise deA: o A={x%A;*r >0, B(x, r)+A}.
