Ons’inte´ressedanscepremierchapitrea`desEDPd’e´volutionlin´eaires,danslesquelles l’inconnue est une fonction (voire une distribution)
u:R+×Rd→CN (tx)7→u(tx).
(Toutaulongdecesnotes,lescaracte`resgrasserontutilis´espourdesvaleursvectoriellesou matricielles.)Danstouteslesapplicationsconsid´er´ees,trepre´sentera une variable temporelle et les composantes dexdansRddes variables spatiales. Sauf mention contraire, les EDP line´aires e´tudie´esseront`acoefficientsconstants.Onconsid`ereraprincipalementdesEDPd’ordre1en temps,c’est-`a-diredelaforme ∂tu+XAα∂αu= 0 α o `u lesαsont des multi-indicesα= (α1 . . . αd)de«longueur»|α|=Pjαj(use´eospp majoree par un entierm), lesAαostnedmstairecs(r´eellesoucompexel)sN×N, et ´
∂α:=∂1α1∙ ∙ ∙∂dαd
estunope´rateurded´erivationd’ordre|α|. SiN= 1on parle d’EDP scalaire. En voici quelques exemples. ´ Equation de transport :∂tu+a∙ ru= 0,a∈Rd. ´Equationd’Airy:∂tu+a∂xu+k∂x3xxu= 0,a k∈R. ´+ EquationdeSchr¨odinger:i∂tu+hΔu= 0,h∈R∗, cettedernie`repouvante´galementeˆtrevuecommeunsyst`emed’inconnueua` valeurs dansR2. Onetudiera´egalementdes´equationsd’ordre2entemps,construitesautourdel’e´quationdes ´ ondes. 2 E´quationdesondes:∂ttu−c2Δu= 0,c∈R+. ´EquationdeKlein-Gordon:∂t2tu−c2Δu+ku= 0,c∈R+ k∈R∗. E´quationdeBoussinesq:∂t2tu−c2∂x2xu+k∂x4xxxu= 0,c∈R+ k∈R∗,
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´ CHAPITRE I. EDP DISPERSIVES LINEAIRES
Lesparam`etrespre´sentsdansces´equationsproviennentdeconstantesphysiques.Toutesces e´quations ont comme point commun de mode´liser des phe´nome`nes de propagation d’ondes, et l’on verra que la plupart sontdispersivesgaveeuresinU.a’onpr´ecsensquel,nenu«ndfin´eioit» est la suivante :pageepror´eqdesfseideucnertnffe´esDPeEunsrepsidtlleisevi`aessvdeesitsse diff´erentes. La suite du chapitre permettra notamment de donner un sens a cette formulation. ` D´efinitionI.1 Uneonde planeest une fonctionu: (tx)→u(tx)de la forme
o`uξ∈(Rd)0etτ∈R.
u(tx) =U(ξ∙x+τ t)
Pard´efinition,siv∈R3itne`tlaappraanyp’hpler{v;ξ∙v=−τ}, et siuest une onde plane comme ci-dessus, on a pour tout(tx)R×Rd, u(tx) =u(0x−vt). Autrement dit, la valeur deut`al’instantsur un hyperplan{x;ξ∙x=α}(qui ne de´pend pasdupointsurcethyperplan)estenti`erementd´etermin´eeparsavaleur`al’instantt= 0sur l’hyperplan{x;ξ∙x=α+τ t}. Danscequisuitonconsid`ere(momentane´ment)tcomme une variable ordinaire, e´galement note´ex0les multi-indices comportent a priori une composante, et α0pour les de´ri ´ s par vee rapport a`t. D´efinitionI.2 On appellesymboletnssnatstocdci’eunnoeffilei`na´ceeEaDiPr XAα∂αu0 = |α|≤m
la fonction polynoˆ miale
p: (R1+d)0→ ξ7→
CN×N p(ξ) :=X(iξ)αAα |α|≤m
ou`ξα:=ξ0α0
Lesymbole principalest la fonction polynoˆ miale pm:ξ7→p(ξ) :=X(iξ)αAα |α|=m
α ∙ ∙ ∙ξdd.
en supposant que les matricesAαci-dessus ne sont pas toutes nulles (auquel cas il faudrait diminuerm). Lorsquep=pmPestl’EDtqueondievtc.enU`gneohomreu,ξ∈(R1+d)0est ditcaracte´ristiquepour l’EDP si detpm(ξ) = 0.
Parmilesexemplesci-dessuslesseulesEDPhomoge`nessontl’´equationdetransport,pour laquellepm(ξ) =i(ξ0+Pdj=1ajξj), et l’e´quation des ondes, pour laquellepm(ξ) =c2kξk2− ξ02tauqsnoiappaeitrennnalt`laacedss.Cesdeux´e-icehPpyseDEiluqreobontoes,dpellnrap dessous la de´finition.
2. DISPERSION
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De´finition I.3 UneEDPli´ire`acoefficientsconstantsdesymboleprincipalpmest ditehyperboliquesi nea •le vecteur(10 . . . 0)n’est pas caracte´ristique, •pour toutξ∈(R1+d)0eˆoynalmioitclopnl,nofaz7→detpm(ξ0+z ξ1 . . . ξd)a toutes ses racines re´elles. Plusg´ene´ralement,pourη∈(R1+d)0l’EDP est ditehyperboliquedans les directions trans-verses`al’hyperplan{η∙(tx) = 0}deR1+dsi •le vecteurηn’est pas caracte´ristique, •pour toutξ∈(R1+d)0 miale, la fonction polynoˆz7→detpm(ξ+zη)a toutes ses raci ´ lles. nes ree
Parde´finition,uneEDPhyperboliqueadmetaumoinsunedirectioncaract´eristique,ζ= (τ ξ1 . . . ξd)∈(R1+d)0\{0}lanessolutionsdeectt.A`tieciredesrrcoondtnednoppsednose l’EDPsielleesthomog`ene:ilsuffiteneffetdechoisirunvecteurVdans le noyau depm(ζ)et une fonction scalairef:θ7→f(θ)arbitraire ; l’onde plane
u: (tx)7→f(ξ∙x+τ t)V
est solution de l’EDP. (Iciξedtneme´uvno`aneeln´uuead´esig(Rd)0tnes,posascom´etantes naturellement(ξ1 . . . ξd).) Pourlesequationsnonhomog`enesiln’estpasaussifaciledetrouverdessolutionssous ´ forme d’ondes planes. On peut cependant rechercher des ondes planes particulie`res, pe´riodiques enξ∙x+τ t, que l’on appelle alorsphase, et plus spe´cialement sous la forme d’ondes planes progressives monochromatiques(OPPM) :
u: (tx)7→u(tx) = ei(ξ∙x+τ t) .
On obtient alors larelation de dispersionDE,Puqsie’pxirem`al’aidedusymbolelpmoc(e)tl’de sous la forme detp(τ ξ1 . . . ξd) = 0. DansuneOPPMcommeci-dessus,lap´eriodetemporelleestT= 2π/|τ|etω=−τ(c’est une convention) est lapulsation.
2 Dispersion
Afind’amenerprogressivementlesnotionsfondamentalesli´eesauxph´enom`enesdispersifs, on commence par se placer en une dimension d’espace.
2.1 Dimension un Danscequisuit,onconsid`ereuneEDPlin´eairescalaire,desymbolep, en dimension 1 d’espace. Si(ξ ω)∈R2est tel quep(−ω ξ) = 0, l’OPPM
u: (t x)7→u(t x) = ei(ξ∙x−ωt)
est solution de l’EDP. Le re´elξest appele´nombre d’ondeednafdu(lilptuartiirenˆotded’oombr angulaire) : siλ´edgnsiaellongueur d’ondespdeioerp´laontiano,elaita,’cse-t`a-direpard´efini ξ= 2π/λ.
o`up(−ω ξ) = 0etUest une fonctionarbitraire, sont des solutions de l’EDP. Siξ6= 0 (ce qui est automatique pour une EPD hyperbolique par exemple, puisque(10)n’est pas ca-ract´eristique),onvoitquecesondesplanessepropagenta`lavitessev=ω/ξ, une quantite´ homog`enededegr´e0et donc inde´pendente deξ: par exemple pour l’e´quation de transport, v=anoedsurl’´equationdesetpo,v=±c. Qu’enest-ilpourles´equationsnonhomoge`nes?UneOPPMdenombred’ondeξ6= 0et de pulsationω=W(ξ)se propage a` une vitesseW(ξ)/ξ´en´eralependengqiu´dedξ: c’est lesensdel’´enonce´«entef´ersdifencee´uqserfgaderppoesntre´effidsessetivseda`sleel»dans lavagued´efinitionquenousavonsdonn´eeplushaut.Nousallonsmaintenantpouvoirpre´ciser cette de´finition, en introduisant les notions devitesse de phaseet devitesse de groupe. Afin de motiver les de´finitions de ces notions, nous allons e´tudier le comportement de solu-tionsplusg´ene´ralesquelesOPPM,enl’occurrencedes«paquets d’ondes», obtenus en«su-perposant»des OPPM. En effet, si on a une famille de solutions de l’EDP sous forme d’OPPM de pulsationω=W(ξ), la fonction u: (t x)7→u(t x21=)πZ bu0(ξ) ei(ξx−W(ξ)t)dξ
ou`u0est (par exemple) dans la classe de Schwartz, est solution de l’EDP et ve´rifie la condition initialeu(0 x) =u0(x). Ci-dessusub0(ξ)m´orsfantrlaneigedreiruoFedee´dseu0au pointξ: on ve´rifie ainsi queu(0 x) =u0(x)ˆrg`ecaalaformule d’inversion de Fourier(pour laquelle on pourra se reporter a` l’appendice). Le fait queusoit effectivement solution de l’EDP provient de la«de´rivation sous le signe somme»eesiotua´siretiatnem,rfpau0et toutes ses de´rive´es sont int´egrables,cequiestlecaspouru0∈S(R). Lame´thode de la phase stationnaireom-´’teemdtlrcedueie[plp.4,6]13er)piov(raprmexe portement deu(t x)a`x/tfixe´ lorsquet→+∞. Supposons qu’il existe un uniqueζtel que W0(ζ) =x/t, et queW00(ζ)6= 0(c’est le cas par exemple siWest strictement convexe). Alors
Lorsque l’on fait varier(t x), le nombre d’onde«local»ζ=ζ(t x)de´fini implicitement par
W0(ζ(t x)) =x/t
est une solution autosimilaire de l’e´quation hyperbolique
∂tζ+W0(ζ)∂xζ= 0.
La vitesseW0(ζ)tnemlusp,oupis´er´ecorpudegeE’PDdeleivalssetlepparelelquna’oecest delafamilledesOPPMdepulsationdonn´eeparω=W(ξ). Par ailleurs, on voit que la phase θ(t x) :=ζ(t x)x−W(ζ(t x))tve´rifie