Niveau: Supérieur, Master
Master 2 de Mathematiques Universite de Lyon 1 – ENS Lyon Annee 2008/2009 CORRIGE SUR FURSTENBERG, POINCARE, SIEGEL Exercice 1. 1) Le groupe P est moyennable et il opere continument sur X par restriction de la G-action ; par consequent, il fixe une mesure de probabilite µ sur X. 2) Le groupe G est localement compact et G/P est compact, donc il existe une partie compacte C ? G telle que G = C.P . On a donc G?µ = C?µ, qu'on voit comme l'image du compact C par l'application orbite g 7? g?µ. L'orbite de µ est fermee car compacte. 3) Par forte proximalite, l'adherence de G?µ contient une masse de Dirac. Mais par 2) on a G?µ = G?µ, donc il existe g?G et y?X tels que g?µ = ?y ; autrement dit, µ = ?g?1.y. 4) On pose x = g?1.y ; alors StabG(µ = ?x) ? P implique que x est P -fixe. En utilisant la partie C compacte de 2), on a : G.x = C.x, d'ou la compacite de la G-orbite de x. 5) On considere l'application orbite de x : G ? X, g 7? g.x.
- matrices triangulaires
- point fixe
- groupe sl2
- topologie de zariski sur la droite
- probabilite µ sur p1
- sl2
- application continue