D Chessel J Thioulouse Biométrie et Biologie Evolutive Université Lyon1
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Niveau: Elementaire
D. Chessel & J. Thioulouse - Biométrie et Biologie Evolutive - Université Lyon1 ______________________________________________________________________ Biostatistique / BSA.doc / Page 1 / 02-04-03 Fiche de Biostatistique Analyse de données spatialisées D. Chessel & J. Thioulouse Résumé La fiche regroupe quelques éléments de base dans l'analyse des données multivariées spatialisées. On aborde les tests élémentaires (Gery, Moran, Mantel) et des pratiques courantes (arbres de longueur minimale, courbes de niveaux). Les liens entre matrices de coordonnées, matrices de distances et graphes de voisinage sont envisagés. L'analyse en coordonnées principales est définie. Plan 1. INTRODUCTION................................................................................................................. 2 2. TESTS ELEMENTAIRES.................................................................................................... 4 2.1. Variance locale et test de Geary................................................................. 4 2.2. L'indice de Moran........................................................................................ 8 2.3. Test de Mantel ............................................................................................ 9 3. COURBES DE NIVEAUX ................................................................................................. 11 4. OPERATEURS DE VOISINAGES.................................................................................... 12 4.1. Décomposition matricielle ......................................................................... 13 4.2. Composantes cartographiables ................................................................ 16 4.3. Vecteurs propres de voisinages................................................................ 17 5.
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- fiche - matière potentielle : biostatistique
D. Chessel & J. Thioulouse - Biométrie et Biologie Evolutive - Université Lyon1 ______________________________________________________________________ Biostatistique / BSA.doc / Page 1 / 02-04-03 Fiche de Biostatistique Analyse de données spatialisées D. Chessel & J. Thioulouse Résumé La fiche regroupe quelques éléments de base dans l'analyse des données multivariées spatialisées. On aborde les tests élémentaires (Gery, Moran, Mantel) et des pratiques courantes (arbres de longueur minimale, courbes de niveaux). Les liens entre matrices de coordonnées, matrices de distances et graphes de voisinage sont envisagés. L'analyse en coordonnées principales est définie. Plan 1. INTRODUCTION................................................................................................................. 2 2. TESTS ELEMENTAIRES.................................................................................................... 4 2.1. Variance locale et test de Geary................................................................. 4 2.2. L'indice de Moran........................................................................................ 8 2.3. Test de Mantel ............................................................................................ 9 3. COURBES DE NIVEAUX ................................................................................................. 11 4. OPERATEURS DE VOISINAGES.................................................................................... 12 4.1. Décomposition matricielle ......................................................................... 13 4.2. Composantes cartographiables ................................................................ 16 4.3. Vecteurs propres de voisinages................................................................ 17 5.
- tableau de coordonnées spatiales
- graphe de voisinage
- carte des districts avec numérotation naturelle
- district de dublin
- matrice de distances
- jeu de données
- test de geary
- pratique courante
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Analyse
Fiche de Biostatistique
de données spat
D. Chessel & J. Thioulouse
Résumé
ialisées
La fiche regroupe quelques éléments de base dans l'analyse des données multivariées spatialisées. On aborde les tests élémentaires (Gery, Moran, Mantel) et des pratiques courantes (arbres de longueur minimale, courbes de niveaux). Les liens entre matrices de coordonnées, matrices de distances et graphes de voisinage sont envisagés. L'analyse en coordonnées principales est définie.
Plan 1. ....................................................................2.........................NOI....................NTRODUCTI 2. TESTS ELEMENTAIRES.................................................................................................... 4 2.1. Variance locale et test de Geary ................................................................. 4 2.2. Lindice de Moran........................................................................................ 8 2.3. Test de Mantel ............................................................................................ 9 3. COURBES DE NIVEAUX ................................................................................................. 11 4. OPERATEURS DE VOISINAGES .................................................................................... 12 4.1. ......................................................................... 13Décomposition matricielle 4.2. Composantes cartographiables ................................................................ 16 4.3. Vecteurs propres de voisinages................................................................ 17 5. TABLEAUX, GRAPHES ET DISTANCES ........................................................................ 19 5.1. Les matrices de distances ........................................................................ 19 5.2. L'arbre de longueur minimale.................................................................... 22 5.3. 23Représentations euclidiennes ................................................................... 6. UN EXEMPLE ................................................................................................................... 27 7. .................................................................................2..............9EFERRS...ENCE................
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1.
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Introduction
Une grande partie des données acquises, en génétique, en écologie ou en biologie des populations est spatialisée. Une mesure se réfère à un endroit de mesure. Relier l'espace et l'observation est un problème tellement général qu'une partie des statistiques y est consacrée. On parle de statistiques spatiales. Le chapitre réunit quelques éléments de base dans ce domaine. Les enregistrements de l'espace lui-même sont multiples. Enregistrements surfaciques : la mesure porte sur une surface bornée par une frontière. C'est le support des données socio-économiques. Un des articles fondateurs de ce domaine1traite des comptés d'Irlande :
Cartographie par niveau de gris sur des unités surfaciques. 25 districts d'Irlande. Le district de Dublin est extrait du jeu de données. Carte des districts avec numérotation naturelle. Tableau de 12 variables mesurées sur les 24 districts. Données célèbres reprises dans2 p. 53. Code des variables : 1-2-3 répartition (en 1 pour 1000) des propriétés agricoles en 3 groupes d'imposition (<10 £, 10-50 £, >50 £). 4-5-6-7 Nombres moyens d'animaux pour 1000 acres de prairies et cultures respectivement 4-vaches laitières, 5- autres bestiaux, 6- cochons, 7- moutons. 8- Pourcentage de population urbanisée (villes et villages) en 1 pour 1000 9- Nombre de voitures pour 1000 habitants 10- Nombre de licences de radio pour 1000 habitants 11- Ventes de détail moyenne par habitant en £ 12- Pourcentage de célibataires parmi les hommes de 30-34 ans en 1 pour 1000. Données normalisées. Enregistrements ponctuels la mesure se réfère à deux coordonnées (x, y). On : passe des données surfaciques aux données ponctuelles en choisissant un point particulier par unités :
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Enregistrement du voisinage l'espace est défini par une relation de voisinage, : donc une matrice qui a autant de lignes et de colonnes qu'il y a de points de mesures. Cette matrice contient à la ligneiet à la colonnejsi les points sont voisins 0la valeur 1 sinon. Par exemple, deux unités surfaciques sont voisines si elles ont une frontière commune :
Les points sont les sommets du graphes, les paires de points sont les arêtes du graphe. On peut utiliser un graphe de voisinages pour exprimer la forme d'espaces particuliers comme les réseaux hydrographiques, les frontières infranchissables, Enregistrement des distancescas le plus simple est celui de la distance: le euclidienne canonique :d(A,B) = (xA−xB)2+ (yA−yB)2. On obtient ainsi une matrice de distances. En mathématiques, on appelledistance définie sur un ensemble E une fonction d de ExE dansRpour tout x, y et z éléments de E :qui vérifie (1)d(x,y)≥0 (2)d(x,y)=0⇔x=y (3)d(x y)=d(y x) , , ______________________________________________________________________ Biostatistique / BSA.doc / Page 3 / 02-04-03 http://pbil.univ-lyon1.fr/R/donnees/bsa.pdf
2. 2.1.
D. Chessel & J. Thioulouse - Biométrie et Biologie Evolutive - Université Lyon1 (4)d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) En statistiques, on appelledissimilarité définie sur un ensemble fini I àn éléments (numérotés 1, 2, ...,i, ...,n) une fonction de IxI dansRqui vérifie pour toutietj: (1)∂ij≥0 (2)∂ii=0 (3)∂ij= ∂ji En biologie, on utilise le terme de distance pour désigner la différence mesurée entre deux individus, deux populations, deux sites, ..., sans se préoccuper de définition. Pour suivre la coutume on appelleramatrice de distances une matrice contenant une dissimilarité observée. Les matrices de distances sont donc des matrices carrées (n lignes etn colonnes), contenant des nombres positifs (1), symétriques (3), ayant des éléments nuls sur la diagonale (2). Sur les comtés d'Irlande, on obtient : max value = 2.18763e+02 Content as 1000*x/max --------------------------------------------------------------[ 1] 0 [ 2] 413 0 [ 3] 428 493 0 [ 4] 487 740 307 0 [ 5] 712 301 677 969 0 [ 6] 458 390 148 454 536 0 [ 7] 653 820 330 204 1000 464 0 [ 8] 120 295 426 556 596 415 698 0 [ 9] 107 475 365 382 764 427 555 204 0 [ 10] 104 352 336 449 641 354 592 108 123 0 [ 11] 531 151 489 773 198 355 816 421 573 452 0 [ 24] 115 528 483 467 827 540 654 234 118 203 645 423 482 500 706 407 541 333 508 671 276 171 416 0 [ 25] 118 381 522 605 681 525 767 114 225 186 519 507 365 316 655 238 372 276 424 567 335 337 302 192 0 --------------------------------------------------------------Un tableau de données spatialisées peut donc se trouver en face d'un tableau de coordonnées spatiales, un graphe de voisinage ou une matrice de distances. Il existe une multitude de pratiques potentielles soit pour amener l'espace dans le mode de perception des données (tableau contre tableau) soit amener les données dans le mode de perception de l'espace (matrice de distances contre matrice de distances).
Tests élémentaires Variance locale et test de Geary Louvrage classique de Cliff & Ordop. cit. présente deux tests de signification de la structure spatiale dune variable. Le premier est celui de lindice de Geary. Il utilise la notion de graphe de voisinage. Pour comprendre la signification de cet indice une réécriture de la notion de variance est indispensable. Elle a été faite par Lebart3le procédé a été utilisé indépendamment et
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D. Chessel & J. Thioulouse - Biométrie et Biologie Evolutive - Université Lyon1 par Light & Margolin4problème. Soit un exemple numérique très simpledans un autre comportant 5 observations a, b, c, d et e. Supposons la relation de voisinage suivante :
Dans les cercles on trouve la valeur de la variable en chacun des points. En supposant une pondération uniforme des 5 mesures la moyenne vautm= 0 et la variance vaut (−2)2( 1)2(0 )2+(1)2(2)22 Var= = 5 En général pour n observations1,",i"n poids dep1,", pi"pn la moyenne et la variance est sont définies par : n n x=∑pixietVar=∑pi(xi−x)2 i=1i=1 Cette même variance peut se concevoir comme une fonction de toutes le différences deux à deux entre lesnmesures. a c e a 0−1−2−3−4 b 1 0−1−2−3 c 2 1 0−1−2 d 3 2 1 0−1 e 4 3 2 1 0 La moyenne (sur les 25 couples) des carrés de toutes les différences deux à deux vaut 100/25=4 soit deux fois la variance. En général : Var=1()2∑n∑npipj(xi−xj)2 i=1j=1 On retiendra la relation fondamentale : n∑ ∑npipj(xi−xj)2=2n∑pi(xi−x)2 i=1j=1i=1 La variance estla moitié de la moyenne des carrés des différences élémentaires. Lintérêt de cette observation est de séparer les couples de points en deux catégories, les couples de voisins dune part, les couples de non voisins de lautre.
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D. Chessel & J. Thioulouse - Biométrie et Biologie Evolutive - Université Lyon1 a b c d e a 0-1 -2-3 -4 b10-1-2 -3 c2 10-1 -2 d 3 210 -1 e 4 321 0 La somme des carrés des différences (100) se décompose en somme sur les couples de voisins (22) et somme sur les couples de non voisins (78). La variance (100/50) se décompose en deux parties (22/50 et 78/50) appelées respectivement variance locale (entre voisins) et variance globale (entre non voisins). En général : Var=(12)∑pipj(xi−xj)2=)21(∑pipj(xi−xj)2+)21(∑pipj(xi−xj)2 i,j ivoisinj inon voisinj Va=Valoc+Vaglo Ce point de vue a lavantage de la simplicité et un inconvénient issu du fait que dans la plupart des cas une écrasante majorité de couples sont des couples de non voisins. La variance locale représente alors une toute petite partie de la variance totale. Il y a plusieurs manières de se servir de cette observation. La première en date sert à tester la signification de cette variance locale pour une variable donnée. Cest lindice de Geary. On note sur lexemple, que, puisque la variance totale est la moyenne pour les 25 couples des carrés des différences, mais que seulement 20 couples sont utiles (les 5 autres valeurs sont forcément nulles). Il vaut donc mieux considérer que la variance est la moyenne sur les couples utiles. Ici la pondération est uniforme (pi=1n) : V =1−1ni=1(xi−x)2=1n∑ ∑n=1(xi−xj)2 n∑2n(n−1)i=1j Dans lexemple, on obtient 100/40, soit 2.5. On retrouve lestimateur habituel dune variance. On peut se demander si la moyenne des carrés des différences sur lensemble des couples voisins seulement n'est pas un autre estimateur de cette variance : n 1∑x−x2 V l oc= 2mivoisinj(i j) oùmdésigne lenombre de couples de voisins(chaque paire est comptée deux fois, un point nétant jamais voisin de lui même). Dans lexemplemvaut 10 et la quantité 22/20. S'il ny a pas de structure spatiale les valeurs des carrés des différences entre voisins sont en moyenne les mêmes que sur lensemble des couples. On sattend à ce que le orc= de la variance estimée localement sur la variance estimée totalement rapp tVVloc − soit égal à 1 ou encore queIG=1c( )ne soit pas significativement différent de 0. varc La quantitécest le coefficient de contiguïté de Geary etIGest la valeur normalisée de ______________________________________________________________________ Biostatistique / BSA.doc / Page 6 / 02-04-03 http://pbil.univ-lyon1.fr/R/donnees/bsa.pdf
D. Chessel & J. Thioulouse - Biométrie et Biologie Evolutive - Université Lyon1 cvariances estimées. Il est connu dans. Le dénominateur est lécart-type du rapport des deux modèles, respectivement N (les observations sont un échantillon dune loi normale indépendante de la structure spatiale) et R (les observations sont un cas arbitraire parmi lesn! possibilités de placer les valeurs observées sur lesn points de la structure spatiale). Dans lexemple le rapport des variances estimées encore notéc vaut 1.1/2.5 soit 0.44. Exécuter le test de Geary sur les données dIrlande (NGStat: Geary Test) :
Geary Autocorrelation test Neighboorhood graph: Irish$G Data matrix: Q Point number: 25 l---l-----------l-----------l----------l-----------l----------l l N°l c observ. l Test N l Proba l Test R l Proba l l---l-----------l-----------l----------l-----------l----------l | 1| 3.477e-01| 4.314e+00| 8.014e-06| 3.902e+00| 4.779e-05| | 2| 5.840e-01| 2.751e+00| 2.970e-03| 2.376e+00| 8.750e-03| | 3| 3.925e-01| 4.018e 00| 2.939e-05| 4.719e+00| 1.184e-06| + | 4| 3.418e-01| 4.353e+00| 6.716e-06| 3.771e+00| 8.135e-05| | 5| 1.026e+00| 1.707e-01| 5.678e-01| -1.668e-01| 5.662e-01| -| 6| 6.533e-01| 2.293e+00| 1.093e-02| 2.080e+00| 1.875e-02| | 7| 8.686e-01| 8.689e-01| 1.925e-01| 7.387e-01| 2.300e-01| | 8| 6.148e-01| 2.547e+00| 5.425e-03| 2.590e+00| 4.796e-03| | 9| 5.124e-01| 3.225e+00| 6.306e-04| 3.599e+00| 1.597e-04| | 10| 8.141e-01| 1.229e+00| 1.095e-01| 1.235e+00| 1.085e-01| | 11| 5.267e-01| 3.130e+00| 8.733e-04| 3.350e+00| 4.045e-04| | 12| 6.465e-01| 2.338e+00| 9.689e-03| 2.552e+00| 5.357e-03| l---l-----------l-----------l----------l-----------l----------l Le listing donne dans lordre le numéro de la variable, la quantité c observée (rapport de la variance locale ou variance mesurée sur les couples de voisins seulement à la variance totale ou variance mesurée sur lensemble des couples), lapproximation normale associée sous lhypothèse de normalité et de non corrélation spatiale (test paramétrique), la probabilité de dépasser lobservation dans le test précédent, lapproximation normale associée sous lhypothèse de loi quelconque unique et de non corrélation spatiale (test non paramétriquedistribution free), la probabilité de dépasser lobservation dans le test précédent. Le lissage des cartes par courbes de niveaux est légitime pour la plupart des variables. On a encadré les résultats de la variable 4, qui sont conformes à ceux de Cliff & Ord (1973 op. cit. page 57). La confrontation de ces statistiques aux cartes des variables simpose. La question sera alors clairement posée : devant une série de cartes plus ou moins simples : comment faire leur lecture simultanée, leur synthèse, voir leur ordination ou leur classification en plusieurs types ? On utilise pour répondre à cette question les opérateurs de voisinages5que nous appelons aussi opérateurs de Moran.
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2.2.
D. Chessel & J. Thioulouse - Biométrie et Biologie Evolutive - Université Lyon1 Lindice de Moran La notion dautocorrélation spatiale mesure essentiellement la ressemblance entre voisins. Lidée est initialement celle de Moran (1948)6. Lindice dautocorrélation spatiale de Moran est décrit dans louvrage de base de Cliff & Ord, en parallèle avec lindice de Geary qui a une fonction voisine. Utiliser les tests de Moran ou ceux de Geary donne des résultats voisins. Si un test dautocorrélation est nécessaire on utilisera donc celui de Geary. Mais la différence des principes de base est sensible. Lindice de Geary dit si la variabilité entre points voisins est plus petite, significativement, quattendue dun modèle aléatoire. Lindice de Moran dit si la ressemblance entre points voisins est plus grande, significativement, quattendue dun modèle aléatoire. On comprend bien que la nuance nest pas fondamentale. Par contre, les analyses locales, basées sur lindice de Geary, cherchent la structure de la variance entre points voisins. Les analyses basées sur lindice de Moran cherchent, à linverse, la structure de la ressemblance entre voisins. La nuance sapparente à une antinomie complète dobjectifs. La difficulté vient de ce que la variance de voisinage est une forme quadratique et a été intégrée naturellement en analyse des données. La notion dautocorrélation spatiale ne lest pas. Son intégration en analyse multivariée nest pas naturelle. Tentée par Wartenberg (1985c)7, cette insertion nest pas optimum du point de vue mathématique, tout en étant très légitime du point de vue expérimental. On rapprochera cette tentative des travaux du même auteur pour utiliser lautocorrélation spatiale dans linterprétation dune analyse ordinaire (Wartenberg 1985b)8 et pour approfondir lusage des rdonnées concrètes dans lespace comme données numériques (Wartenberg 1985 )9 coo a . Lindice de Moran est défini, dans les notations de paragraphe 2 par : n∑(xi−x)xj−x I=ivoisinj M n ∑( )2 m xi−x i=1 On reconnaît la moyenne pour les couples de voisins des quantités(xi−x)(xj−x rapportée à la moyenne des quantités(xi−x)2. La variance totale qui intervient dans le cde Geary est donc la variance estimée (calculée avecn-1) et celle qui intervient dans leI Moran est la variance descriptive (calculée avec den). Il ne sagit pas dune imprécision, bien au contraire. Les deux indices ont la même logique dans deux cadres complémentaires. On notera toujoursMla matrice ànlignes etncolonnes dite matrice de voisinage oùmij=1 siietjsont voisins,mij=0 dans le cas contraire. 0 1 1 0 0 0 1 01 0 M= 1 0 11 1 0 0 0 1 0 00 0 1 0 ______________________________________________________________________ Biostatistique / BSA.doc / Page 8 / 02-04-03 http://pbil.univ-lyon1.fr/R/donnees/bsa.pdf
2.3.
D. Chessel & J. Thioulouse - Biométrie et Biologie Evolutive - Université Lyon1 Cette structure de voisinage en appelle deux qui servent de références, respectivement : 1 1 10 1 1 0 0 0 0 1 11 0 1 0 0 00 1 0 0 1 0 0 Un−In = 1011111101 In= 0 1 00 0 1 11 1 0 0 00 0 1 On notera toujoursUn la matrice àn et lignesn dont tous les éléments sont colonnes égaux à 1. Dans la première un point est voisin de tous les autres sauf de lui-même, dans la seconde un point nest voisin que de lui-même. Alors : c12mi [ ]v∑oi sinjxi−xj2m1i∑j(i−x)xj−x =M I= [M]voi sin 2n(1n1)i [n n∑]voi sinij−xj2n1in∑sinj(i−x)xj−x −U−I [I]voi Dans le premier cas, la variance est la variabilité moyenne entre deux points (référence pour la variabilité de voisinage), dans le second cas, cest la covariance de la variable avec elle-même (référence pour la covariance de voisinage). On peut rendre ces deux notions cohérentes (§ 4).
Test de Mantel Il est utilisé10si l'espace est introduit par une matrice de distances spatiales. On trouve une présentation détaillée dans11 (p.70-75). L'espace est connu par une matriceS de distances spatiales. Les données forment un tableau duquel on déduit une distance entre les individus consignée dans une matrice de distancesD. La corrélation entre les deux est mesurée directement par∑in=1∑ni=1sijdij. Les couplesiine jouent aucun rôle puisque les distances sont nulles. Peu importe également que l'on compte une fois ou deux fois les coupleijetji. Seul importe le type de permutations utilisées. Une des matrices est laissée en place et dans l'autre lignes et colonnes sont permutées à l'identique, par exemple : 11 12 13 14 15 22 25 21 23 24 21 22 23 24 2552 55 51 53 54 25134⇒31 32 33 34 35→12 15 11 13 14 41 42 43 44 45 32 35 31 33 34 51 52 53 54 5542 45 41 43 44 Pour chacune dempermutations de ce type, on calcule la statistique∑in=1∑in=1sijdijet on compare la valeur observée à l'ensemble des permutations. L'habitude veut que l'on corrige par les moyennes et les écarts-types pour faire apparaître exactement la corrélation entre les deux statistiques :
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D. Chessel & J. Thioulouse - Biométrie et Biologie Evolutive - Université Lyon1 d21d31d32d41d42d43...dn1dn2...dn(n-1) s21s31s32s41s42s43...sn1sn2...sn(n-1) Par exemple, pour les données d'Irlande on peut comparer les distances : 2 2 2pxik−xjk sij=xi−xj+yi−yj↔dij=∑k=1Varj r index : 5.114e-01 number of random matching: 1000 Observed: 0.511390 Histogramm: minimum = -0.261035, maximum = 0.511390 number of simulation X<Obs: 1000 (frequency: 1.000000) number of simulation X>=Obs: 0 (frequency: 0.000000)
Le test de Mantel utilise une distance spatiale. Le test de Geary utilise un graphe de voisinage. On peut aussi tester le rôle de l'espace par une simple régression multiple sur les polynômes des coordonnées cartésiennes. > plot(x,y,type="n") > text(x,y,as.character(1:25))
> qnor <- scale(read.table("Q.txt")) > z <- qnor[,1] > anova(lm(z~x+y+I(x*y)+I(x^2)+I(y^2))) Analysis of Variance Table Response: z Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) x 1 6.59 6.59 48.47 1.2e-06 *** y 1 9.63 9.63 70.87 7.8e-08 *** I(x * y) 1 0.35 0.35 2.54 0.12746 I(x^2) 1 1.96 1.96 14.42 0.00122 ** ______________________________________________________________________ Biostatistique / BSA.doc / Page 10 / 02-04-03 http://pbil.univ-lyon1.fr/R/donnees/bsa.pdf
