Dans ce chapitre,Xerssigneuned´eirotuslecapscevescdeaialecrlpsorR. Unenorme ∙surXest une fonction surXa` valeurs dansR+:= [0,+∞[qui satisfait 1.x= 0si et seulement six= 0; 2.x+x ≤ x+x ∀x, x∈X(ine´galite´ du triangle) ; 3.tx=|t|x ∀t∈R, x∈X´t)e´nie.og´e(hom L’espaceXupcoleme´elent´rpssiceo,ulpu(X,∙), est alors unrm´eespaceno. Lesboules ferme´es et ouvertes sont les ensembles B(x, r) :={x∈X:x−x ≤r}, B◦(x, r) :={x∈X:x−x< r}. On e´crit souventBpour la boule unite´ ferme´eB(0,1), etB◦pour la boule unit ´e ouverte B◦(0,1). PourAune partie dansX, on e´critA:= supx∈Ax. La partieAest diteee´nrob lorsqueA<+∞. SiAetCsont des parties dansXett∈R, alorsA+CettAsont respectivement les ensembles{a+c:a∈A, c∈C}et{ta:a∈A}. On a doncB(x, r) ={x}+rB; on admet l’e´critureB(x, r) =x+rB. On remarque queA+C’lnuedsestouvertd`esque ensembles est ouvert. Nous examinons maintenant quelques aspects topologiques des espaces norm e´s. (Un documentannexere´sumelaterminologieetdonneunsommairedesr´esultatsdebase entopologieg´ene´raleauxquelsnousferonsappel.) La norme induit une distanced(x, x) :=x−xsurX, qui est en conse´quent un es-pacem´etrique,dot´ed’unetopologiepourlaquelleunebaseestfournieparlesboules B(x, r), x∈X, r >0.
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Cours de Francis Clarke : Espaces norme´s
Lafonction distancedAa`nu´ieeitneperassocadevionAdansXest de´finie par infx−a. dA(x) :=a∈AQuandA pointest un f ´xtraptnei`apaAssidA(x) = 0. erme, un Deux normes∙1et∙2sur un espaceXsont ditesesntelaviuqe´s’il existec, dtels que x1≤cx2,x2≤dx1∀x∈X. Nous remarquons que des normes surXqu´entsoteenalivelleisssesiudnismˆemntlae topologie surX. 1.1 Exercice SoitXetYedsexuesm´es,lcepaorsnattnon´tonmrsee´ees∙Xet∙Yrespective-ment.Alorsleproduitcart´esienZ:=X×Y qui admet comme ´eest un espace norm norme les possibilite´s suivantes (entre autres) : (x, y)1:=xX+yY,(x, y)2:=x2X+y2Y1/2 (x, y)∞:= max{xX,yY},(x, y)p:=xXp+yp1/p Y, o`u1≤p <+∞ivqu´entsoesrmnosetnere´ffidseC.laneet.s Sauf avis contraire, la norme utilis e´e surRneumeidclaleroransnoe,nnieeet´| ∙ |: |x|:=i=n1|xi|21/2∀x∈Rn.
Applicationslin´eaires PourXetYdes espaces vectoriels, on noteL(X, Y)l’espace vectoriel des applications line´aires deXenY. On note sans preuve le resultat suivant : ´ 1.2 Proposition SoitΛ∈L(X, Y)uo`,X,Ycaseonmrtsnedespsaeleonrtsr´eeleq´ueisv.aIlleynacso trois assertions suivantes : 1.Λest continue ; 2.Λest continue a` l’origine ; 3.Λofmrutinseuoevtreganisiovtuotruo:pueinntcontme´eVde l’origine dansY, il existe un voisinage ouvertUde l’origine dansXtel que pour toutx, x∈x+U=⇒Λ(x)∈Λ(x) +V;
1.1 Proprie´te´s de base
4. Il existeM≥0tel queΛxY≤MxX∀x∈X. Lese´l´ementsdeL(X, Y)sont parfois appele´s deserp´euatrso,eestle´´lmenestedL(X,R) desformeslin´eseria. 1.3 Exercice SoitΛrlesurine´naeviainortunlimeorefX. Prouver queΛ(V)est ouvert dansR quandVest un ouvert dansX. PourXetYcaseonmredespstenoons,´eLc(X, Y)l’espace vectoriel des applications line´aires etcontinuesdeXenYA.otl´emut´eentΛdeL(X, Y)sanoqaleicos´eitntua Λ=ΛL(X,Y):= supΛxY, x∈X,xX≤1 la´poetareruenormdeΛ, qui est finie si et seulement siΛ∈Lc(X, Y)(cela suit de la proposition 1.2). 1.4 Exercice SoitΛ∈L(X, Y)u,o`X,Ysont des espaces norme´s. Montrer que Λ=x∈X,suxpX=1ΛxY= supΛxY= sup0ΛxxYX. x∈X,xX<1x∈X, x= 1.5 De´finition Uneisometriecepaorsnesm´tneedersexuXetYin´eaireseutenibejtcoilnT:X→Y ´ telle queT xY=xX∀x∈X. Onremarquequ’uneisom´etrieTest continue, et queT−1l’est aussi. Lorsque deux es-pacesnorm´essontisome´triques,onpeutdirequelesdeuxespacessontidentiquesen tant qu’ensemble, en tant qu’espace vectoriel, en tant qu’espace topologique, et en tant q’´,quitte`achangerles´etiquettesqueportentlespoints. u espace norme On montre maintenant queRnestle seulespace vectoriel norme de dimensionn. ´ 1.6The´or`eme SiXest un espace norme´ de dimension finiennorme´eqxisteunelaroisel,rusetnelaviu l’espaceXqui le rend isome´trique a`Rn(muni de la norme| ∙ |). D´emonstration(esquisse)ceotirleth`ese,l’espacevraPopyhXadmet une base vecto-riel (c-a` -d, alge´brique) den´eentsl´em{e1, e2, . . . , en}. Chaquex∈Xutendaemn-´eserepr tation uniquex=1nλieioodrno´nicnestc(ees)pffioescintaerrcouλi. Alors la for-mule T x:=λ= (λ1,λ2, . . . ,λn)∈Rn d´finit une bijection line´aire deXdansRn. On posex:=|λ|, et on observe que ceci est e une norme par rapport a` laquelleTerrtnomederulcnocrsteeiunm´soirtelI.efifusuopt
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CoursdeFrancisClarke:Espacesnorm´es
que la norme∙´tseiuqeelav`etnanalmeorigorelinelusrXL.i’´ngelait´ex ≤cx(pour un certainc, pour toutxri´efieefiire´ves)epret;unemenais´drvebausra’lvupe qu’unetellein´egalite´ausenscontrairealieu.
Corollaire :Toute norme surRnest e´quivalente `a la norme euclidienne. 1.7 Exercice SoitXun espace norme´, et soitLun sous-espace deXde dimension finie. AlorsL est f ´ erme. Ler´esultatsuivantexpliqueengrandepartielede´fidel’analysedanslesespacesde dimension infinie. 1.8Th´`eme eor La boule unit ´e ferme´e d’un espace norme´Xest compacte ssiXest de dimension finie. D´emonstrationSiXest de dimension finien, alorsXeairuq´mteitosesRn, par le ` th´eor`eme1.6.MaislabouledeRnetuneisom´etrieevniolebauoela`alctseapmo,etc boule. Il suit que la boule deXest compacte. Pour prouver la re´ciproque, supposons queXsoit de dimension infinie. Il existe alors une suiteMnde sous-espaces (vectoriels, sous-entendu) de dimension finie (donc ferm e´s d’apr`esl’exercice1.7)telsqueMn−1Mn. En invoquant le lemme ci-dessous, on construit une suite(xn)avecxn∈Mn,xn= 1, etdMn−1(xn)≥1/2. Il suitxn−xm ≥ 1/2pourm < n. Donc la suite(xn)n’admet aucune sous-suite convergente, ce qui prouve que la boule n’est pas compacte. LemmeSoientXun espace norm ´e etMun sous-espace ferme´,M=X. Alors pour tout>0il existex∈Xavecx= 1tel quedM(x)≥1−. Pour de´montrer le lemme, on prendv∈X\M; on a alorsd:=dM(v)>0, puisqueM est ferme´. On choisitm0∈Mtel que d≤ v−m0 ≤d 1−, et on pose v−m0 x:=v−m0. Alorsxre´pond a` la question, car sim∈Mon a x−m=v−m0−m=v−(m0+v−m0m)v−m0v−m0≥v−md0≥1−puisquem0+v−m0m∈M.
1.1 Proprie´tes de base ´
Corollaire :evtcroeinlro´meesUncepaXadmet un compact d’int e´rieur non vide ssiXest de dimension finie.
Exemple : Espaces de suites 1.9D´efinition Pour une suitex= (xi) = (x1, x2, . . .)de re´els, et pour1≤p <+∞, on note (xi)p=xp:=i≥1|xi1/p. |p L’ensembleLp(N,R)de toutes les suitesxtelle quexp<+∞, le plus souvent note´p, est un espace vectoriel norm e´ par∙p(voir ci-dessous). L’espace de toutes les suites born´eesestnot´e∞; il est muni de la normex∞:= supi≥1|xi|. On pose c:={x= (x1, x2, . . . lim) :xiexiste}, c0:={x= (x1, x2, . . .) : limxi= 0}, muni dans les deux cas avec la norme de∞des suites dont tous les termes. L’espace sauf un nombre fini sont0(muni e´galement de∙∞´te)enostc∞. On voit facilement que tous ces espaces vectoriels sont de dimension infinie. Pour1≤p≤+∞, on de´signe parpgu´uesantconjl’expodep, le nombre tel que 1 1 += 1 p p (on prendp= +∞lorsquep= 1, et vice versa). L’in´egalite´deHo¨lderaffirme que si(ai)et(bi)sont des suites, alors (aibi)1≤ (ai)p(bi)p. 1.10 Proposition Soit1≤p≤+∞. Alorspest un espace vectoriel et∙pest une norme surp. D´emonstration(esquisse)Les casp= 1, p= +∞osvident´ePournts.1< p <+∞, l’ine´galite´(a+b)p≤2p(ap+bp) (a, b≥0)implique quepest stable sous l’addition. L’ine´galite´dutrianglesev´erifiea`l’aidedelarelation |xi+xi|p≤|xi+xi|p−1|xi|+|xi+xi|p−1|xi|.