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Concours Centrale Supélec

larec - Jean-Philippe Rey

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Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2000 1/5 MATHÉMATIQUES I Filière PC Partie I - Soit l'espace vectoriel réel des fonctions continues à valeurs réelles déﬁnies sur l'intervalle , que l'on munit du produit scalaire et des normes , , . Pour tout , on note (respectivement ) la fonction déﬁnie sur par la formule (respectivement ). Pour tout , on note la fonction déﬁnie sur , -périodique, paire, coïn- cidant avec sur l'intervalle et la fonction déﬁnie sur , -périodique, impaire, coïncidant avec sur l'intervalle et vériﬁant la condition suivante : en tout point de . I.A - I.A.1) On considère la fonction déﬁnie sur par la formule . Représenter graphiquement les fonctions et . I.A.2) Soit un élément de . Montrer (soigneusement) que la fonction est déﬁnie et continue, et que la fonction est déﬁnie et continue par morceaux. Donner une condition nécessaire et sufﬁsante pour que la fonction soit conti- nue. E 0 π,[ ] f g( , ) f g( ) 2 π -- f t( )g t( ) td 0 π∫=? f f 1? f t( ) td0 π∫= f f 2? f f( )= f f ∞ ? sup 0 t π≤ ≤ f t( )= n IN? cn sn 0 π,[ ] cn t( ) nt( )cos= sn t

formule

formule de taylor avec reste intégral

expression explicite de la limite

déﬁnie sur le carré sépa- rément

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Extrait

MATHÉMATIQUES IFilière PC MATHÉMATIQUES I

Partie I -SoitEl’espace vectoriel réel des fonctions continues à valeurs réelles déﬁnies sur l’intervalle[0, ], que l’on munit du produit scalaire 2 (f,g) (f g)=-f(t)g(t)dt 0 et des normes ff=f(t)dt, 1 0 ff=(f f), 2 ff= supf(t). 0t Pour toutnIN, on notec(respectivements) la fonction déﬁnie sur[0, ]par n n la formulec(t)= cos(nt)(respectivements(t)= sin(nt)). n n ˆ Pour toutfE, on notefla fonction déﬁnie surIR,2-périodique, paire, coïn-˜ cidant avecfsur l’intervalle[0, ]etfla fonction déﬁnie surIR,2-périodique, impaire, coïncidant avecfl’intervalle sur]0, [ etvériﬁant la condition suivante : en tout pointxdeIR 1 ˜˜ ˜ f(x)=-lim(f(x+h)+f(x–h)). 2 h0,h>0 I.A -I.A.1) Onconsidère la fonctionfdéﬁnie sur[0, ]par la formule f(t)2= –t+. ˆ ˜ Représenter graphiquement les fonctionsfetf. ˆ I.A.2) Soitfun élément deE. Montrer (soigneusement) que la fonctionfest ˜ déﬁnie et continue, et que la fonctionfest déﬁnie et continue par morceaux. ˜ Donner une condition nécessaire et sufﬁsante pour que la fonctionfsoit conti-nue.

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MATHÉMATIQUES I

Filière PC

I.B -I.B.1) Soitfun élément deE. Montrer que sur l’intervalle[0, ], le problème aux limites y= –f y(0)=y()= 0 admet une solution et une seule notéeTf. Indication: si on désigne par t F:taf(u)du 0 0 la primitive def sur[0, ]en s’annulant0, on pourra exprimerTf àl’aide d’intégrales comportantF. 0 L’objet du problème est d’étudier l’applicationT. I.B.2) DéterminerprécisémentTflorsquefest la fonction déﬁnie au I.A.1) et en donner une représentation graphique.

Partie II - Valeurs propres et vecteurs propres de T II.A -Montrer que l’applicationT:fTfest un endomorphisme deE. Déte-rminer son noyau et son image. II.B -Pour tout entier natureln, calculerT cn. II.C -Vériﬁer que, pour tout couple(f,f)d’éléments deE, 1 2 (fT f)=(ff T) 1 21 2 Que peut-on dire de(f f)lorsquefetfsont des vecteurs propres associés 1 21 2 à des valeurs propres distinctes ? II.D -Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres deT. II.E -On noteS=(s). n nIN II.E.1) MontrerqueSest une famille orthonormale.

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MATHÉMATIQUES I * II.E.2) Soitfun élément deE. Pour toutNIN, on pose N f=(f s)s. Nn n n= 1 ˜ Que représentefpour la fonction2-périodiquef? N En conclure que :limf–f= 0. N2 N+Déduire de là que, sifest orthogonal àS, la fonctionfest nulle. II.F -On noteCl’ensemble desclorsquendécritIN. n II.F.1) LafamilleCest-elle orthonormale ?

Filière PC

* II.F.2) PourtoutNIN, on pose N 1 h=-(f c)+(f c)c, oùfest un élément deE. Montrer que N0n n 2 n= 1 limf–h= 0. N2 N+Que peut-on dire sifest orthogonal àC?

Partie III - Représentation intégrale de T III.A -Soitfun élément deE. En écrivant la formule de TAYLOR avec reste intégrale à l’ordre1 entre0 etxentre puis0 et, montrer que, pour tout x [0, ], T f(x)=k(x,t)f(t)dt, où 0 t(–x) - si0tx k(x,t)=x(–t) -0 six<t III.B -Montrer quekest l’unique fonction déﬁnie sur le carré[0[, ] ×0, ]sépa-rément continue enxet entsatisfaisant à la condition T f(x)=k(x,t)f(t)dtpour toutfEet pour toutx [0, ]. 0 III.C -III.C.1) Démontrerque la fonctionkun maximum admetM atteinten un point uniqueAde[0[, ] ×0, ]et déterminerMetA(pourxﬁxé dans[0, ], on pourra commencer par étudier la fonctiontk(x,t)sur[0, ]).

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MATHÉMATIQUES IFilière PC III.C.2) Endéduire que, pour toutfE, Tf-f. (1) 1 4 III.C.3) Enconsidérant la suite(f)où n n1 n 2 -tsi 0t- 2 f(t)=n n 2 -(–t) si-<t 2 et en calculantT f- etfque l’inégalité (1) ne peut être amé- montrer n n 1 2 liorée. III.D -III.D.1) Prouverque, pour toutfEet toutx [0, ], 2 T f(x)-f. 2 4 6 Conclure que 2 Tf-f. 2 4 6 III.D.2) Soientfun élément deEet( )une suite d’éléments deEtelle n n1 que limf–= 0. n2 n+Prouver que la suite(T )converge uniformément sur[0,]vers la fonction n1 n Tf. III.D.3) Application: prouver que, pour toutfE, 1 Tf=-(f s)s2 n n n n= 1 et que la série du second membre converge normalement sur[0,]. En déduire que pour tout couple(x,t)de points de[0,], +2 sin(nx)sin(nt) k(x,t)=--. 2 n n= 1 III.D.4) Déduirede la question précédente que pour toutfE,Tffet 2 2 préciser les fonctions pour lesquelles il y a égalité.

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MATHÉMATIQUES I

Filière PC

III.E -III.E.1) Al’aide du II.F donner une nouvelle expression deTfcomme somme d’une série de fonctions. III.E.2) Endéduire une nouvelle écriture dekcomme somme d’une série de fonctions, en utilisant la famille(c). n

Partie IV - La suite des itérés de l’endomorphisme T n1 On déﬁnit la suite(T)n1la condition initiale parT=Tla relation de et récurrence n+ 1n T=T T. o IV.A -On pose, pour toutfEet toutn1, 1 T f=-(f s)s. np p 2n p p= 1 IV.A.1) Démontrerque la série du second membre converge normalement sur l’intervalle[0,]. n* IV.A.2) ProuverqueT f=T f, pour toutfEet toutnIN. n n IV.B -Déterminer les valeurs propres et les espaces propres deT. IV.C -n IV.C.1) Soitf unélément deE. Montrer que la suite de fonctions(T f)n1 converge uniformément sur[0,]vers une fonction que l’on déterminera ; (il pourra être utile d’étudier le comportement de la suite 1 -lorsquenaugmente indéﬁniment). 2n p p= 2n1 n IV.C.2) Donnerl’expression explicite de la limite de(T f)lorsquefest la fonc-tion déﬁnie au I.A.1).

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