Niveau: Elementaire
Algèbre approfondie - Automne 2007 ENS-Lyon ALGÈBRE MULTILINÉAIRE II Exercice 1 (Trace) — Soient A un anneau et M,N deux A-modules libres de rang fini. On pose M? = HomA(M,A) et on note ?? ,x? l'évaluation d'une forme linéaire ? ? M? sur un élément x de M. 1) Démontrer que l'application M??N ? HomA(M,N), (? , y) 7? (x 7? ?? ,x?y) induit un isomorphisme du A-module M??A N sur le A-module HomA(M,N). 2) Soit u un élément de HomA(M,M) et soit u = ∑i?I ?i?xi une représentation de u comme somme de tenseurs élémentaires dans M??A M. Démontrer que l'élément ∑i?I??i,xi? de A ne dépend pas de la représentation de u que l'on considère ; c'est par définition la trace de l'endomorphisme u. 3) Soit u ? HomA(M,M) un endomorphisme de M. Démontrer l'identité suivante : det(TidM ?u) = Tn + n ∑ p=1 (?1)ptr(?pu)Tn?p, où n = rg(M) et, pour tout i, ?p est l'endomorphisme du A-module libre ?pM induit par u. (Indica- tion : on pourra développer ?n(TidM ?u) = det(TidM ?u)id?nM et observer que, si (ei)1≤i≤n est une base de M et ?pu = ∑ I
- struc- ture naturelle de variété algébrique
- dimension finie sur ?
- endomorphisme de ?•
- unique équation quadratique
- m?a ap