VARIATION DE LA SUITE LA FONCTION

pefav - Equipe Académique Maths Bordeaux 1996-1998

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VI – Suites VARIATION : DE LA SUITE À LA FONCTION ----------------------------------- 2 VARIATION : DE LA FONCTION À LA SUITE ----------------------------------- 4 LA PARABOLE CARRÉE--------------------------------------------------------- 6 ÉVOLUTION DE LA NOTION DE LIMITE D'UNE SUITE -----------------------10 ÉQUATION F(X) = X ----------------------------------------------------------14 AU CŒUR DE LA TOILE --------------------------------------------------------16 L'ÉCONOMIE DU SCOUBIDOU ----------------------------------------------- 20 C'EST AU DÉBUT QUE TOUT SE JOUE ----------------------------------------23

véracité des réciproques

repère orthonormal

outils raisonnement par récurrence

u1 ?

cœur de la toile

relation de récurrence

parabole carrée

réciproque du théorème

Sujets

Base orthonormale

Relation de récurrence

dictionnaire

exercice

mathématiques

exercices

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Extrait

VI – Suites

VARIATION : DE LA SUITE À LA FONCTION----------------------------------- 2
V : DE LA FONCTION À LA SUITE 4
LA PARABOLE CARRÉE--------------------------------------------------------- 6
ÉVOLUTION DE LA NOTION DE LIMITE D’UNE SUITE-----------------------10
ÉQUATION F(X) = X----------------------------------------------------------14
AU CŒUR DE LA TOILE --------------------------------------------------------16
L’ÉCONOMIE DU SCOUBIDOU ----------------------------------------------- 20
C'EST AU DÉBUT QUE TOUT SE JOUE ----------------------------------------23

VARIATION : DE LA SUITE À LA FONCTION

Proposer des contre-exemples montrant que les réciproques des théorèmes Objectif
uf= (n) à partir du permettant de déduire le sens de variation d’une suite n
sens de variation de f sont fausses.

Suites Outils

On a déjà justifié les trois théorèmes suivants :
+Soit f une fonction définie sur R .
+(1) si f est constante sur R alors la suite u, définie sur N par u = f (n), est constante. n
+ (2) si f est croissante sur Ru, définie sur N par u = f (n), est croissante ; n
+(3) si f est décroissante sur R alors la suite u, définie sur N par u = f (n), est n
décroissante ;

L’objectif de cette activité est de réfléchir sur la véracité des réciproques de ces
théorèmes.

A. Contre-exemple à la réciproque du théorème 1
1. Soit la suite (u ), définie, sur N, par u = sin(πn). n n
Calculer u . Que peut-on en conclure ? n

2. En utilisant le théorème dit « de la variation de la composée », étudier sur [ 0 ; 2 ] les variations de
la fonction f définie par f (x) = sin(πx).
Prouver que f est périodique.

3. La réciproque du théorème (1) est-elle vraie ?

B. Contre-exemples à la réciproque des théorèmes 2 et 3
Exemple 1
21. Étudier le sens de variation de la suite (u ), définie, sur N, par un=− 2n . nn

22. Étudier sur [ 0 ; +∞ [ les variations de la fonction f définie par f (x) = x − 2x .

3. La réciproque du théorème (3) est-elle vraie ?

VI – Suites Variation : de la suite à la fonction 2