Nombres complexes Definitions et operations

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Sommaire 1 Nombres complexes 5 1.1 Definitions et operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 L'ensemble des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Operations fondamentales sur les nombres complexes . . . . . . . 5 1.1.3 Module d'un complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Representation geometrique des nombres complexes . . . . . . . . . . . 6 1.3 Racines n-iemes de l'unite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Polynomes complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5 Resolution des equations du second degre . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6 Fondements axiomatiques de la theorie des nombres complexes (Hamilton, 1835) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

integration des fractions rationnelles

derivees d'ordre superieur

equations differentielles

fonctions circulaires

complements pour le calcul des arccos

formule des accroissements finis

formules de duplication

methodes d'integration

calcul de derivees

Sujets

Équation différentielle

multiplication

exercice

exercices

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Extrait

Sommaire
1 Nombres complexes 5
1.1 De nitions et operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 L’ensemble des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Operations fondamentales sur les nombres complexes . . . . . . . 5
1.1.3 Module d’un complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Representation geometrique des nombres complexes . . . . . . . . . . . 6
1.3 Racines n-iemes de l’unite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Polyn^ omes complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Resolution des equations du second degre . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Fondements axiomatiques de la theorie des nombres complexes (Hamilton,
1835) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Exercices sur les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Test de 30 mn sur les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Fonctions circulaires et fonctions circulaires reciproques 15
2.1 Fonctions : formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1 Formules elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.2 Formules d’addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.3 Formules de duplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.4 Formules de linearisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.5 Formules de factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.6 Formules relatives aux angles associes . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.7 Quelques valeurs particulieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Fonctions circulaires reciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Complements pour le calcul des arccos, arcsin, arctan de reels . . . . . . . . . 19
2.2.1 Comment calculer arccos x et arcsinx ? . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.2t arctan x ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.3 Comment calculer cos(arccos x), sin(arcsin x) et tan(arctan x) ? . 20
2.2.4t arccos(cos x), arcsin(sin x) et arctan(tan x) ? . 20
2.2.5 Comment calculer(sinx) et arcsin(cos x) ? . . . . . . . . . 21
Exercices sur les fonctions circulaires et les fonctions circulaires reciproques . 22
Test de 30 mn sur les fonctions circulaires reciproques . . . . . . . . . . . . . 25
12 Sommaire
3 Fonctions exponentielles, logarithmiques et hyperboliques 27
3.1 Fonctions exponentielles et logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 F exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3 Fonctions logarithmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
x k3.4 Comparaison de la croissance des fonctions a , x et log (x) . . . . . . . 31a
3.5 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Exercices sur les fonctions exponentielles, logarithmes et hyperboliques . . . . 35
Test de 30 mn sur les fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4 Limites de fonctions et fonctions continues 39
4.1 Limite d’une fonction en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1.1 Quelques De nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1.2 Proprietes des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.1.3 Fonctions equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2.1 De nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2.2 Proprietes des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2.3 Fonctions continues strictement monotones sur un intervalle . . . 43
4.3 Derivees et limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3.1 de nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3.2 utilisation des derivees pour le calcul des limites . . . . . . . . . 44
Exercices sur les limites de fonctions et les fonctions continues . . . . . . . . . 45
Test de 45 mn sur les limites de fonctions et les fonctions continues . . . . . . 48
5 Fonctions derivables et leurs derivees 49
5.1 De nitions et proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.1.1 de nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.1.2 proprietes des fonctions derivables et des derivees . . . . . . . . . 49
5.2 Calcul de derivees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.3 Formule des accroissements nis et applications . . . . . . . . . . . . . . 51
5.3.1 Formule des accroissements nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.3.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.4 Derivees successives. Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.4.1 derivees d’ordre superieur a 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.4.2 formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.4.3 Polyn^ omes de Taylor par rapport a 0 de fonctions usuelles . . . . 53
Exercices sur les fonctions derivables et leurs derivees . . . . . . . . . . . . . 55
Test de 30 mn sur les fonctions derivables et leurs derivees . . . . . . . . . . . 60
6 Primitives et integrales 61
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.2 De nitions et premieres proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.3 Liste des primitives usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.4 Methodes d’integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Sommaire 3
6.4.1 Integration par parties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.4.2 Changement de variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.4.3 Integration des fonctions trigonometriques. . . . . . . . . . . . . 64
6.4.4 Int des fractions rationnelles. . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Exercices sur les primitives et integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7 Equations di erentielles 73
7.1 Equations di erentielles lineaires a coe cien ts constants . . . . . . . . . 73
7.1.1 Equations homogenes du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . 73
7.1.2enes d’ordre n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.1.3 Equations inhomogenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.2 Equations di erentielles du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.2.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
07.2.2 Equation lineaire y = a(x)y + b(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.2.3 Exemples d’autres equations di erentielles . . . . . . . . . . . . . 80
Exercices sur les equations di erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Test de 30 mn sur les equations di erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Correction du test de 30 mn sur les nombres complexes . . . . . . . . . . . . 86 du test de 30 mn sur les fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . 87
Correction du test de 45 mn sur les limites de fonctions et les fonctions continues 89 du test de 45 mn sur les fonctions derivables et leurs derivees . . . 92
Partiel (Automne 2000) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Correction du partiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964 SommaireChapitre 1
Nombres complexes
1.1 De nitions et operations
1.1.1 L’ensemble des nombres complexes
2Il n’existe pas de nombre reel x qui soit solution de l’equation algebrique x +1 = 0. On a
introduit l’ensemble des nombres complexes pour donner des solutions a cette equation.
En fait les nombres complexes sont les solutions de toutes les equations algebriques de
degre n2 N a coe cien ts reels (et m^eme a coe cien ts complexes).
2Soit i, appele l’unite imaginaire, ayant la propriete i = 1. On peut considerer un
nombre complexe comme etant de la forme a + ib , ou a et b sont des reels.
Si z = a + ib, alors a est appelee la partie reelle de z (Re(z)) et b est appelee la partie
imaginaire de z (Im(z)).
Deux nombres complexes a + ib et c + id (ou a;b;c;d sont des reels) sont egaux si et
seulement si a = c et b = d. On peut considerer l’ensemble des nombres reels comme le
sous-ensemble des nombres complexes pour lequel b = 0. De plus si a = 0, le nombre
complexe 0 + ib ou ib est appele imaginaire pur.
Le nombre complexe conjugue d’un nombre complexe a + ib est a ib. Le nombre
complexe conjugue de z est note z.
Proposition 1.1.1 Soient z;z et z des nombres complexes. On a :1 2
z + z z z
z + z = z + z ; z z = z z ; Re(z) = et Im(z) = :1 2 1 2 1 2 1 2
2 2i
1.1.2 Operations fondamentales sur les nombres complexes
En e ectuan t des operations avec des nombres complexes on peut proceder de m^eme
2qu’avec les nombres reels en rempla cant i par 1.
1. Addition
(a + ib) + (c + id) = a + ib + c + id = (a + c) + i(b + d):
56 Chapitre 1. Nombres complexes
2. Soustraction
(a + ib) (c + id) = a + ib c id = (a c) + i(b d):
3. Multiplication
2(a + ib)(c + id) = ac + ibc + iad + i bd = (ac bd) + i(bc + ad):
4. Division
a + ib (a + ib)(c id) ac + bd bc ad
= = + i :
2 2 2 2c + id (c + id)(c id) c + d c + d
1.1.3 Module d’un complexe
Le module (ou la valeur absolue) d’un nombre complexe a + ib est de ni par :
p
2 2ja + ibj = a + b :
Si z;z et z sont des nombres complexes, on