Math IV Analyse version du

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cours - matière potentielle : math - iv

Math IV : Analyse (version du 09/06/2011) 1 Page-web du cours : http ://math.univ-lyon1.fr/?okra/2011-MathIV/ responsable de UE : Olga Kravchenko, bat Braconnier, 102 bis, , Table des matieres 1. Chapitre I. Topologie d'un espace vectoriel reel 2 1.1. Espaces metriques, definition de la distance 2 1.2. Boules ouvertes, fermees. Spheres. Parties bornees 3 1.3. Ouverts et Fermes 3 1.4. Normes des espaces vectoriels 4 2. Chapitre II. Fonctions de plusieurs variables. 6 2.1. Fonctions de plusieurs variables. Graphes. Lignes de niveau. 6 2.2. Notion de limite 6 2.3. Continuite 7 2.4. Coordonnees polaires 9 2.5. Proprietes des fonctions continues sur un compact 10 2.6. Connexite par arc. Theoreme des valeurs intermediaires 10 3. Chapitre III. Calcul Differentiel 11 3.1. Derivees. Matrice jacobienne. Gradient 11 3.2. Proprietes des derivees partielles. 12 3.3. Derivees partielles d'ordre superieur. Fonctions de classe Ck. Theoreme de Schwarz 13 3.4. Differentielle 14 4. Chapitre IV. Proprietes geometriques des fonctions de plusieurs variables 17 4.1. Derivee directionnelle 17 4.2. Gradient. 18 4.3. Formule de Taylor 19 4.4. Vecteur normal et plan tangent a un graphe d'une fonction de 2 variables 21 5.

??x? ≤

point de coordonnees

relation d'equivalence

theoreme

equivalence des normes ??

proprietes des derivees partielles

boule ouverte

Sujets

maths

exercice

cours

exercices

cours maths

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Langue	Français

Extrait

1Math IV : Analyse (version du 09/06/2011)
Page-web du cours : http ://math.univ-lyon1.fr/∼okra/2011-MathIV/
responsable de UE : Olga Kravchenko, bˆat Braconnier, 102 bis, 04 72 43 27 89,
okra@math.univ-lyon1.fr
Table des matieres
1. Chapitre I. Topologie d’un espace vectoriel r´eel 2
1.1. Espaces m´etriques, d´eﬁnition de la distance 2
1.2. Boules ouvertes, ferm´ees. Sph`eres. Parties born´ees 3
1.3. Ouverts et Ferm´es 3
1.4. Normes des espaces vectoriels 4
2. Chapitre II. Fonctions de plusieurs variables. 6
2.1. Fonctions de plusieurs variables. Graphes. Lignes de niveau. 6
2.2. Notion de limite 6
2.3. Continuit´e 7
2.4. Coordonn´ees polaires 9
2.5. Propri´et´es des fonctions continues sur un compact 10
2.6. Connexit´e par arc. Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires 10
3. Chapitre III. Calcul Diﬀ´erentiel 11
3.1. D´eriv´ees. Matrice jacobienne. Gradient 11
3.2. Propri´et´es des d´eriv´ees partielles. 12
k3.3. Deriv´ees partielles d’ordre sup´erieur. Fonctions de classe C . Th´eor`eme
de Schwarz 13
3.4. Diﬀ´erentielle 14
4. Chapitre IV. Propri´et´es g´eom´etriques des fonctions de plusieurs variables 17
4.1. D´eriv´ee directionnelle 17
4.2. Gradient. 18
4.3. Formule de Taylor 19
4.4. Vecteur normal et plan tangent `a un graphe d’une fonction de 2 variables 21
5. Extrema 23
5.1. locaux et globaux. D´eﬁnition 23
5.2. Th´eor`eme des extrema sur un compact 23
5.3. Extrema de fonctions de 2 variables - crit`ere par le d´eterminant de
matrice Hessienne 24
5.4. Extrema li´es 26
5.5. d’une fonction de n> 2 variables 28
6. Chapitre VI. Champs de vecteurs 28
6.1. Deﬁnitions 28
6.2. Gradient. Op´erateur Nabla 28
6.3. Divergence et Rotationnel 29
6.4. Th´eor`eme de Poincar´e 30
1. Remerciementsaux´etudiantsde2`emeann´eeenmath-infolorsduprintempsdiﬃciledesgr`eves
2009 pour des corrections et surtout `a Yoann Potiron, pour m’avoir convaincue d’´ecrire ce cours!
Merci aussi `a mes coll`egues Tuna Altinel, Damien Gayet et J´erˆome Germoni pour leurs remarques
pertinentes. Et enﬁn, ce texte a ´et´e soigneusement relu par Emmanuelle Curatolo, ´etudiante du
cours math-IV analyse en 2010-2011. Je n’aurai suremenˆ t pas ﬁni ce texte sans ses corrections et
des discussions avec elle. Je lui suis sinc`erement reconnaissante.
12
6.5. Calcul du potentiel 31
7. Chapitre VII. Formes diﬀ´erentielles 32
7.1. Formes diﬀ´erentielles 32
7.2. n-formes diﬀ´erentielles 33
7.3. Formes exactes. Diﬀ´erentielle de de Rham 34
7.4. La dimension 3 est sp´eciale. 36
7.5. Formes ferm´ees. Th´eor`eme de Poincar´e pour les formes diﬀ´erentielles 37
8. Chapitre VIII. Int´egrales multiples 38
8.1. D´eﬁnition. Int´egrale double 38
8.2. Aire d’une partie quarrable. Th´eor`eme de Fubini 39
8.3. Changement de variables dans une int´egrale double. Matrice jacobienne 40
8.4. Volume. Int´egrales triples. 42
8.5. Coordonn´ees cylindriques. Coordonn´ees sph´eriques 43
9. Chapitre IX. Courbes et Int´egrales curvilignes 43
2 29.1. Courbes deR . Th´eor`eme des fonctions implicites pour les courbes deR 43
39.2. Droite tangente, plan normal a` une courbe param´etr´ee de R 46
9.3. Longueur d’une courbe. Abscisse curviligne 47
9.4. Int´egrale curviligne d’une fonction 48
9.5. Int´ d’un champ de vecteurs = int´egrale curviligne d’une
1-forme diﬀ´erentielle 48
9.6. Th´eor`eme de Poincar´e et int´egrale curviligne 49
10. Chapitre X. Th´eor`emes de Stokes : Green-Riemann, Ostrogradski... 51
10.1. Th´eor`eme de Green-Riemann 51
10.2. Applications (calcul d’aire, th´eor`eme de Poincar´e) 52
10.3. Surfaces. Int´egrale de surface de fonctions r´eelles 53
10.4. Int´egrale de surface d’un champ de vecteurs 56∫ ∫
10.5. Formule de Stokes g´en´erale : ω = dω 57
∂(D) D
R´ef´erences 59
1. Chapitre I. Topologie d’un espace vectoriel reel
1.1. Espaces m´etriques, d´eﬁnition de la distance.
pOn note R = R×···×R = {X = (x ,·,x )| x ∈ R, ∀i ∈ [1,··· ,p]} - espace1 p i| {z }
p fois
vectoriel r´eel de dimension p.
p qOn s’int´eresse aux fonctions f :D⊂R →R . Il faut d’abord ´etudier la structure
du domaine D car le domaine est aussi important que la fonction. Pour cela on va
d´eﬁnir une notion de distance.
D´eﬁnition 1. SoitE un ensemble non-vide. On dit qu’une application d :E×E→
R , d : (x,y)7!d(x,y)estunedistancesurE siellev´eriﬁelestroisaxiomessuivants:+
D1 (s´eparation)∀(x,y)∈E×E, {x =y}⇔{d(x,y) = 0};
D2 (sym´etrie)∀(x,y)∈E×E, d(x,y) =d(y,x);
D3 (in´egalit´e triangulaire)∀(x,y,z)∈E×E×E, d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y).
D´eﬁnition 2. On appelle espace m´etrique tout couple (E,d) ou`E =∅ est un espace
vectoriel et d est une distance.
Exemple 3. (1) E =R, d(x,y) =|x−y|
̸3
(2) E = R. Soit f : x 7! f(x) une fonction concave d´eﬁnie ∀x ≥ 0, et t.q.
{f(x) = 0}⇔{x = 0}. Alors d(x,y) =f(|x−y|) est une distance. En eﬀet,
les propri´et´es D1 et D2 sont´evidentes et D3 suit de la condition de concavit´e.
Une fonction est concave sur un intervalle I si x ,x ,x ,x ∈ I et x <0 1 2 3 0
f(x )−f(x ) f(x )−f(x )1 0 3 2x < x < x alors, ≥ . (G´eom´etriquement, c’est une1 2 3 x −x x −x1 0 3 2
remarque sur la relation entre les pentes de deux droites qui lient les points
de coordonn´ees (x ,f(x ) et (x ,f(x )) et (x ,f(x ) et (x ,f(x )). Faites un0 0 1 1 2 2 3 3
f(a)−f(0)
dessin!). Donc si on prend x = 0,x =a,x =b,x =a+b on a ≥0 1 2 3 a−0
f(a+b)−f(b)
. Mais f(0) = 0 alors, si 0 < a < b on a f(a)≥ f(a+b)−f(b) et
a+b−b
donc f(a+b)≤f(a)+f(b).
On a beaucoup d’exemples de distances diﬀ´erentes sur R. En particulier,
√ |x−y|
d(x,y) = |x−y| ou d(x,y) = Le dernier exemple d´eﬁnit une
1+|x−y|.
distance surR qui, pour tout point, est inf´erieure `a 1.
p p p(3) M´etriques sur E =R , soit X = (x ,··· ,x )∈R et Y = (y ,··· ,y )∈R .1 p 1 p
∑ 1/2p 2On a d (X,Y) = ( |x −y| ) (m´etrique euclidienne),2 i ii=1∑p
ou d (X,Y) = |x −y|,1 i ii=1
ou d (X,Y) = sup |x −y|∞ i ii=[1,···,p]
{
0 si x =y,
(4) SoitE unensemblequelconque.Pourx,y∈E ond´eﬁnitd(x,y) =
1 sinon.
Remarque : dans cet exemple (E,d) n’est pas un espace m´etrique.
1.2. Boules ouvertes, ferm´ees. Sph`eres. Parties born´ees.
pD´eﬁnition 4. Soit a un point deR et r> 0 un nombre r´eel.
p(1) B(a,r) :={x∈R | d(a,x)≤ r} est appel´ee boule ferm´ee de centre a et de
rayon r.
p(2) Une boule ouverte de centre a et de rayon r est B(a,r) :={x∈R | d(a,x)<
r}
p(3) Une sph`ere de centre a et de rayon r est S(a,r) ={x∈R | d(a,x) =r}
On obtient des boules de formes diﬀ´erentes pour des espaces m´etriques diﬀ´erents.
2Pour le voir je recommande vivement de dessiner des boules unit´e dans R pour les
distances d ,d et d .1 2 ∞
p pD´eﬁnition 5. Une partie born´eeP deR est une partie deR pour laquelle on peut
trouver une boule (ouverte ou ferm´ee) qui contient tous les points de P.
1.3. Ouverts et Ferm´es.
pD´eﬁnition 6. Une partie ouverte (ou un ouvert) deR est une partie U t.q. ∀u ∈
U, ∃r > 0 tel que B(u,r)⊂U ie tout point de U est le centre d’une boule ouverte,
de rayon non-nul, incluse dans U.
pUne partie ferm´ee (ou un ferm´e) deR est une partie telle que son compl´ementaire
pU dansR est un ouvert.
Remarque 7. E et∅ sont `a la fois ouverts et ferm´es.
Proposition8. Dansunespacem´etrique(E,d),(1)unebouleouverteestunouvert,
et (2) une boule ferm´ee est un ferm´e.4
D´emonstration. (1)Soity∈B(a,r).Alorschoisissonsϵ> 0t.q.d(a,y)<r−ϵ(untel
ϵ existe, card(a,y) est strictement plus petit quer). Pour toutz∈B(y,ϵ), montrons
que z ∈ B(a,r), cela veut dire qu’autour de chaque point y de B(a,r) il existe une
boule ouverte enti`erement contenue dans B(a,r).
Par in´egalit´e triangulaire d(a,z)≤ d(a,y)+d(z,y)⇒ d(a,z) < r−ϵ+ϵ = r. Donc
z∈B(a,r), i.e. chaque point de B(y,ϵ) appartient a` B(a,r) et B(y,ϵ)⊂B(a,r).
(2) Soit{B(a,r) le compl´ementaire deB(a,r). Il faut montrer que{B(a,r) est un
ouvert. Soit y ∈{B(a,r). Montrons qu’il existe une boule contenant y enti`erement
contenue dans{B(a,r).
Puisque y est en dehors de B(a,r), d(a,y)>r. Soit ϵ =d(a,y)−r> 0.
Pour tout z∈B(y,ϵ) montrons que z∈{B(a,r). En eﬀet, par in´egalit´e triangulaire
d(a,z)+d(z,y)≥d(a,y) =r+ϵ. Donc d(a,z)≥r+ϵ−d(z,y). Puisque z∈B(y,ϵ)
on a ϵ>d(z,y) donc d(a,z)>r+ϵ−d(z,y)>r+ϵ−ϵ =r⇒z∈{B(a,r). Donc
B(a,r) est un compl´ement d’un ouvert, c’est donc un ferm´e.
De nition9. SoitE unensemblenon-videetP(E)l’ensembledesesparties.Onappelletopologie induite par distance
(ou topologie tout court) l’ensemble des ouverts T ⊂P(E) v´eriﬁant les propri´et´es suivantes :
(1) E et ∅ sont des ´el´ements de