Les espaces de Banach constituent le cadre privilegie de la majeure partie des analystes en particulier la norme permet de quantifier la “taille” des elements et de proceder a des estimations

profil-urra-2012

Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement

Je m'inscris

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne
En savoir plus

23 pages

Français

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne
En savoir plus

A propos
Informations
Extrait

Description

CHAPITRE II Interpolation Les espaces de Banach constituent le cadre privilegie de la majeure partie des analystes ; en particulier, la norme permet de quantifier la “taille” des elements, et de proceder a des estimations. L'interpolation entre espaces de Banach fait partie de la trousse a outils developpee pour faciliter les calculs dans ce contexte. Imaginee pour la premiere fois par M. Riesz en 1926, la theorie de l'interpolation a pris son essor en 1939, quand Thorin d'une part, Marcinkiewicz d'autre part, mirent au point les demonstrations des deux theoremes emblematiques de l'interpolation ; ces theoremes allaient ouvrir la voie, l'un a l'interpolation complexe, et l'autre a l'interpolation reelle, methodes developpees principalement dans les annees 50 et 60 par Stein, Zygmund, Calderon, Lions, Peetre, et qui font aujourd'hui partie du bagage courant des analystes. Sommaire II-1. Introduction 33 1.1. Motivations 33 1.2. Definitions 34 II-2. Interpolation complexe 36 2.1. Theoreme de Riesz-Thorin 36 2.2. Interpolation complexe abstraite 41 2.3. Extrait du catalogue d'interpolation complexe 43 2.4. Exemples d'identification d'espace interpole 44 2.5. Applications 44 II-3. Interpolation reelle 45 3.1. Theoreme de Marcinkiewicz 45 3.2. Interpolation reelle abstraite 47 3.3. Extrait du catalogue d'interpolation reelle 51 3.4. Un exemple d'identification d'espace interpole 52 3.5.

representation de la norme par dualite

interpolation reelle abstraite

dualite entre espaces lp

familles d'espaces de banach dependant

interpolation

theoreme de riesz-thorin

lineaire continue

interpolation complexe

Sujets

Interpolation

exercice

cours

exercices

Informations

Publié par	profil-urra-2012
Nombre de lectures	44
Langue	Français

Extrait

CHAPITRE II

Interpolation

LesespacesdeBanachconstituentlecadreprivil´egi´edelamajeurepartiedes analystes;enparticulier,lanormepermetdequantiﬁerla“taille”des´el´ements,et deproce´dera`desestimations. L’interpolationentreespacesdeBanachfaitpartiedelatrousse`aoutilsd´evelopp´ee pourfaciliterlescalculsdanscecontexte.Imagine´epourlapremi`erefoisparM.Riesz en1926,lath´eoriedel’interpolationaprissonessoren1939,quandThorind’une part,Marcinkiewiczd’autrepart,mirentaupointlesde´monstrationsdesdeux the´ore`mesemble´matiquesdel’interpolation;cesthe´ore`mesallaientouvrirlavoie, l’`l’interpolationcomplexe,etl’autre`al’interpolationr´eelle,m´ethodesde´veloppe´es un a principalementdanslesanne´es50et60parStein,Zygmund,Calder´on,Lions,Peetre, et qui font aujourd’hui partie du bagage courant des analystes. Sommaire II-1. Introduction 1.1. Motivations 1.2.D´eﬁnitions II-2. Interpolation complexe 2.1.Th´eor`emedeRiesz-Thorin 2.2. Interpolation complexe abstraite 2.3. Extrait du catalogue d’interpolation complexe 2.4.Exemplesd’identiﬁcationd’espaceinterpol´e 2.5. Applications II-3.Interpolationr´eelle 3.1.The´ore`medeMarcinkiewicz 3.2.Interpolationr´eelleabstraite 3.3.Extraitducatalogued’interpolationr´eelle 3.4.Unexempled’identiﬁcationd’espaceinterpole´ 3.5. Applications Re´f´nces ere

33 33 34 36 36 41 43 44 44 45 45 47 51 52 55 55

II-1. Introduction 1.1. Motivations. Le but principal de l’interpolation est de construire des re-cettes permettant des court-circuits dans des estimations fastidieuses, qui font inter-venirsoitdesop´erateursline´airescompliqu´es(transforme´edeFourier,operateursso-´ lutionsdecertainesequationsauxd´eriv´eespartielles...),soitdesespacescompliqu´es ´ (parexempleespacesdeBanach`avaleursvectorielles,telsque W 1 p ( R n ; L q ( R k ))). L’ide´eessentielleestquel’onpeutobtenirdesrenseignementssurdesespacesou desope´rateurs“interm´ediaires”enfonctionderenseignementssurdesespacesou

43CHAPITREII(13octobre2004)

ope´rateurs“extr´emaux”;pourcomprendreceprincipeparuneanalogiee´l´ementaire, remarquons que l’on peut estimer les valeurs prises par une fonction convexe sur un segment [ a b ] ⊂ R , par la seule connaissance des valeurs de cette fonction en a et b . Nous ne parlerons ici que d’interpolation lin´eaire ,th´eorielaplusd´evelopp´eeet laplusutilis´ee.Ilexistecependantdestechniquesd’interpolationmultilin´eaire,et meˆmedestechniquesd’interpolationencoreplusge´ne´rale,cependantd’usagepeu commode. L’interpolationnedoitpasˆetreconsidereecommeunepanac´ee:c’estunetech-´ ´ niquetre`scommodeetassezuniverselle,maisquelquepeu“molle”;ilestrareque l’onarrivea`desre´sultatsoptimaux(enparticulierauniveaudesconstantesinterve-nantdansdesin´egalite´sdecontinuite´)parcettetechnique.Nousverronsquelques exemplesconﬁrmantcetter`egle. 1.2.De´ﬁnitions. Il est intuitif que les espaces L p (Ω) de Lebesgue pour p 0 ≤ p ≤ p 1 se situent “entre L p 0 et L p 1 ”.Danslecasou`Ωaunemesureﬁnie,c’estclair puisque les espaces L p formentunefamilled´ecroissanteenleparam`etre p ; mais commentformalisercetteide´edanslecasge´n´eral?Lamˆemequestionsepet` os res souventdemanie`renaturellequandonconsid`eredesfamillesd’espacesdeBanach de´pendantd’unoudeplusieursparam`etresre´els. Ils’av`erequel’onpeut,demani`eretr`esg´ene´rale,de´ﬁnirdesespacesdeBanach situ´es“entre”deuxespacesextreˆmesarbitraires,memes’ilsnefontpasapriori ˆ partied’unefamilleparame´tr´ ee. De´finition II-1 (couple d’interpolation) . On dit que deux espaces de Banach X et Y formentuncoupled’interpolationsitousdeuxs’injectentcontinuˆmentdans unmeˆmeespacevectorieltopologique(se´pare´) V . Exemple II-2 . TouslesespacesdeBanachc´el`ebresquenousavonsrencont´s re danslechapitrepr´ec´edents’injectentcontinˆumentdansl’espacedesdistributions, quenous´etudieronsauchapitresuivant. L’espace V apparaissantdanslaD´eﬁnitionII-1importepeu;sonexistencesert uniquementa`garantirlapossibilite´dede´ﬁnirl’espacesomme X + Y , cadre naturel delathe´oriedel’interpolation.Uneconse´quencedelapropositionsuivanteestque l’onpeuttoujours,sanspertede´´lit´e,choisir V = X + Y . genera Proposition II-3 (espaces intersection et somme) . Soient X et Y des espaces de Banach formant un couple d’interpolation. Alors X ∩ Y et X + Y sont des espaces de Banach si on les munit des normes respectives k v k X ∩ Y = max( k v k X  k v k Y )  k v k X + Y = inf ( k x k X +  x + y = v k y k Y ) De plus X ∩ Y s’injectecontinˆumentdans X et Y ,quieux-meˆmess’injectentcontinˆument dans X + Y . De´monstration. Ilestfaciledeve´riﬁerquelesespacesainside´ﬁnissontbien desespacesvectorielsnorm´es;restea`montrerleurcompl´etude.Pourl’espace X ∩ Y , c’est clair : l’intersection de deux espaces complets est un espace complet. En ce qui concerne l’espace X + Y ,onpeutremarquerqu’ils’identiﬁe`a( X × Y ) D ,

Univers
Ebooks
Livres audio
Presse
Podcasts
BD
Documents

Les espaces de Banach constituent le cadre privilegie de la majeure partie des analystes en particulier la norme permet de quantifier la “taille” des elements et de proceder a des estimations

Interpolation

exercice

cours

exercices

YouScribe

Le catalogue

Le service

Les conditions