L'equation de Smoluchowski existence de solutions et phenomene de gelation

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L'equation de Smoluchowski : existence de solutions et phenomene de gelation Romain Joly et Emmanuel Vincent sous la direction de Benoıt Perthame 8 juin 2000 Resume On considere l'equation de Smoluchowski, qui est un modele decrivant simplement la coagulation de particules. On demontre l'existence de solutions, et on met en evidence le phenomene de gelation. On effectue enfin des simulations numeriques. Table des matieres 1 Introduction 2 2 Existence de solutions 2 2.1 Cas K borne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.2 Cas general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.3 A propos du theoreme de Dunford-Pettis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3 Phenomene de gelation 11 3.1 Deﬁnition de la gelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

masse

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temps dt

decroit

norme l1 d'espace decroit avec le temps

particule

Sujets

Vincent

Particule

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Publié le	01 juin 2000
Nombre de lectures	76
Langue	Français

Extrait

L’´quation de Smoluchowski: existence de solutions et
ph´nom`ne de g´lation

RomainJolyetEmmanuelVincent
sousladirectiondeBenoıˆtPerthame

8 juin 2000

R´sum´
On consid`re l’´quation de Smoluchowski, qui est un mod`le d´crivant simplement la coagulation
de particules. On d´montre l’existence de solutions, et on met en ´vidence le ph´nom`ne de g´lation.
On eﬀectue enﬁn des simulations num´riques.

Table des mati`res

1 Introduction

2 Existencede solutions
2.1 CasKborn´ .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Casg´n´ral .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 `propos du th´or`me de Dunford-Pettis .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Ph´nom`nede g´lation
3.1 D´ﬁnitionde la g´lation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Unexemple de r´sultat .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 SimulationsNum´riques
4.1 Discussionautour de la validit´ de la discr´tisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Lesprogrammes .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 R´sultats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Unpeu de physique
5.1 Unexemple concret deK(x, yla formation des gouttes d’eau) :. . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Applications` l’astronomie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Conclusion

2
2
5
9

11
11
11

12
12
13
14

17
17
17