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Chapitre 5 Plusieurs particules Jusqu'à présent nous avons présenté comment décrire la dynamique d'une seule parti- cule avec spin ou sans spin dans le cadre de la mécanique quantique. Bien entendu, toute la complexité de la nature et de la physique vient de ce qu'elle est composée d'un grand nombre de particules qui interagissent entre elles. Dans ce chapitre nous présentons comment décrire un système quantique constitué de plusieurs particules. Tout d'abord nous présentons le cas de particules di?érentes, dites discernables, puis le cas de particules identiques (par exemple un gaz d'électrons ou de photons, d'hydrogène,...). 5.1 Plusieurs particules discernables Nous allons montrer et commenter le fait mathématique que l'espace quantique total pour décrire plusieurs plusieurs particules est le produit tensoriel des espaces quantique de chaque particule considérée individuellement. 5.1.1 Pour deux particules Prenons l'exemple d'un système comprenant deux particules di?érentes, comme par exemple l'atome d'hydrogène constitué d'un proton et d'un électron. Ce sont des particules avec spin 1/2, et nous avons déﬁni l'espace de Hilbert individuel de chacune des particules : Hproton, Helectron qui permet de décrire l'état spatial de leur fonction d'onde et leur état de spin. Or dans l'atome d'hydrogène, ces deux particules interagissent, il faut donc considérer et décrire le système total.

mécanique quantique

évènement e3

spin de la particule

déﬁnition de l'espace produit tensoriel

description quantique orthodoxe

opérateurs position

particule

Sujets

Mécanique quantique

Particule

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H Hproton electron
jp >;i = 1;:::i
H je >;j = 1;::: Hproton j electron
jp;e >i j
jpe >i j
Htotal
ephdeysiquepvienint,deenceleurqu'elle?treestoucompt?os?eded'undegrandquinomOrbretde?particulesbasequid'uneind'imaginerteragissend'aprtyen5treuneelles.eDanslaced?crirecleurhapitreydrog?ne,nousfautpr?sentotal.tonstiquecommenentded?criredansunasysdynamiquet??medequanatiqueeconstitu?ildedesplusieurspr?senpartic?tatsullertes.hacTparticulesoutnatured'acomplexit?bermetordspatialnousd'ondepder?l'atomesendeuxtonst,leconsid?rercasledepparticules?tatdi?rensyst?metes,touteditestique.discernablesm?cani,unpuiscadrelespincasecdeparti-particulesbaseidend?criretiquesest(parpexe?tatmpleformeunonsgaz.dle'sup?lectronsionoueutdevphotons,binaisonsd'h?tatsydrog?ne,...).particules5.1OrPlusieurstparticuleseux,discernablestNousdeallonsindividuelmonctrerunetdescommen:teretle,faitdemath?matiquelaquepl'espacedequanl'?tattiquedetotalfonctionpetour?tatd?crirespin.plusieursdansplusieursd'hparticulescesestparticulesleteragissenproildudoncitetensorield?criredessyst?meespacesQuelquaneuttiqueundequancduhaquetotalparticuleSiconsid?r?etendu,individuellemenBient.quan5.1.1quPlaourestdeuxeparticulesdePrenonslel'exemetpsanslspinevd'unculesyst?meseulecomprenanunetdedeuxlaparticulestdi?renilttoutefaits,ossiblecommeunpartotalexemplelalcommen'atomepr?send'hvydrog?nenousconstitu?Maisd'un?slaprincip.dejustemenerlaositde,proptensoriel,aussioirapageoirAinsicom191lin?aireseccesspint1/2,Jusqu'?etPlusieursnous.acesvsononsorthogonauxdtre?informenidoncl'espacebasedeChapitreHilbprotonC'estettd'und?nition?lectron.l'espaceCeduitsonvteq.(3.5)des136.particules:avH =H
Htotal proton electron
H jpe >=jp > j e > i = 1;:::; j = 1;:::total i j i j
Htotal
(x ;y ;z )p p p p
(x ;y ;z )e e e e
(x ;y ;z ;x ;y ;z )p p p e e e
2 6 2 3 2 3j >2 L (R ) = L (R )
L (R )
Htotal
Htot
x^ xp
(x^ ) (x ;y ;z ;x ;y ;z ) =x (x ;y ;z ;x ;y ;z )p p p p e e e p p p p e e e
x^ (jp> j e>) = (x^jp>)
je>p p
^(x^ ) = (x^ )
Ip p eH Htot p
N
H =H
H
:::
Htot 1 2 N
d'ondepstunabstrait,para?treectorielle,eutcep(ceCelanous.danecagitv5.1.3afonction,fait,,c'estduunequefonctionparticules,??riesixdevariablessup.estNoustafonctionsvparfoionscetd?j?d'ondediscut?,tesqueleslacorr?lationstermequici?peceuvfactoris?senoublietEnappara?croire,tidenredireenesttreLecesparticulesvenariables,vcf.surguretotale(3.2)tpagese136.:(Enprotanlatl'?lectronquefonctiofonctionest?consixlvestariables,o?estnotationde?rateurbaseprotonunelesetduTICULESlesARfonctioneetspinPSiceladed?passelelesiPLUSIEURS(5.1)bl'opformesur5.C'estla(qu'ildel'origineestrpCHAPITREeglobalont?meour192g?n?ralisatisys-:commequiedesxpanleiqu?lapaged'onde134).:5.1.2desOpson?rateuonrsnsdesdudud'ondeduLesduit,opforme?rateursdepeositions,deimpulsion,nspinuneetespaceautres,giganfonctioneteutientl'espacallonsr?sultanformeestde!protondimensiond'ondeleenddetvdimensions).l'optsassopauourn'agitunsur?tatvquanteurstiqueproton?sunetermesp:aunerdesticleule.onV:oicifonctioncommentermetconrme).ilncesl'expopque?renfauttetdanscommel?rateur'espacetit?qu'unel'espacealorsl'?lectron..?Pnearr?sultatexempledesi?onositionnoteeariables),devprinciptroissens.l'opb?rateurPpleositionLa?ondusimpleproton,tild?enettiquesagitquande?tatslaoirfa?onesuivsonmaistedt??normenis(sadansestlesprocuihapitresdespr?-c?den(~x;p~)
0 0j~x;p~> +j~x;p~ >
j>=j1> j 2>
ji > i = 1; 2 j >
0 0j>=j1> j 2> +j1 > j 2 >
E1
1
pj>= (j+ > j > j > j + > )z 1 z 2 z 1 z 2
2
1 2 j>
2
~ ~ ~ ~S =S +S S ji = 0tot 1 2 tot
etp?tatsermetauunelessupclassiqueerpoirositionissuedectelsosons?tatstique.comm?tateLe:d?crittexteununorthoourdeP?vp.437.spin[L.E90]ptinel'origineBallenerp[BC89],,p673deBransdenet:br?f?renceexp.R.particulesE.P?tr?,xeDescription,cetteunedefonctioncr?ed'ondeNousquilaseraittiquelaestsommealorsdeonsdeuxdepaquetsoud'ondeslagaussiensencdi?renunts.singletPnourdedeuxdeparticules,deiltpsens.euti-dessousy?alaquellevtoirencdesl'on?tatsmesurables.denlaxeforme?rieparadouneleparticuletique,1/2quanunm?caniquetlaelonsdet?Nouscalitl'?tatlod?crito?deuxNonde5.2son193uneestvuuneafonctionm?caniqued'ondelarespl'indiceectivseemenum?rotL'?tatdeestla?tr?.particuleond.R.totalE.Pel?XEspin,ARADO6.5.1.Pl'observ.totalUnquan?tatm?caniqueLElaQUANTIQUE,esttiquequehev?tatsM?CANIQUE?tatsquid?enpleeutons'?crireOnsousccetteuneforme?rienceestl'ditdefactorisabledeuxousons?parabledans.?tatIlhevn'estetpasdiscutetropcons?quencessurprenan5.2.2tquaphtiqueysiquemendot.DansMaisexplanm?ce,aniquepairequandeuxtiquespspinermetest?enpriorilieudesinstansuppr?cis.erpappositionscetde?nementelsforme?tats..Psupparqueexemplequan:quiLAleDEdesLOCALIT?particulesvitesse:eteston?tatositiquepparticule,ecourvquead?j?,vcourt,NousNONquanlirela:complexit?http://www.physique.usherb.ca/attracte/08-de5.2.(5.3)1999/epr.?(5.2)estquir?f?reestnunedesupparticule.erpositionhtmlsuppr?cises,un?tatdehevuxCet?tatscorrespfactoris?s.?C'estspinunnul?tatappnon?tatfactorisable,deditv?tatsectionencEheveet?tr?.ableDespintelsest?tatsesonprincipttotalobservl'espace?stsexp,?rimeniltalemenais?t.calculerLessurprenanmanifestations:ph?tr?sysiquesencde5.2.1cesosition.de0
+ ! e + e0
P P1 2
z z
P1 P
2
1 2
(0)
P P1 2
P1

2^ ^A = S1;z
~
z E2
1
P A = +1 A = 11
1 12
P = j< + j>j = ;A=+1 1;z
<j> 2
1 12
P = j< j>j = :A= 1 1;z
<j> 2
A = +1 A = 1
j+ > j > j > j + > z 1 z 2 z 1 z 2
^A A =1
P1
P2

2^ ^B = S2;z
~
z E3
A
apruneeutmesuretdeencl'observLesablet:de:l'?tatexempletparparoirquanv(resp?tat,ltelaleurnduuparticuliercr?ermesurdel'observ(compduosan,teapr?sduparticulespinl'aidede.lavparticulejett?1ci?selonrel'axedoncfa?ons?tat).syst?meC'estparticulel'?ve?phntoureetmen?tretparticuleplusieurs?nemenacas.alorsLesmesure,deuxdesvealeursappareilpropres.deemencette,observdeuxablequisonttl'espaceyetIlla.oPvarOncons?quencettethd'apr?smoletiquepetostulatdedeSilcaemi?rmesure,,venoir?pagemesure58,son?particulesl'issue5.1d'uneosanmesure,deleselonphc'estysicienlaTICULESalorsetpr?senobserv),erajustelelar?sultatl'?tatARtiquePdeuxPLUSIEURSestouyp5.duCHAPITREd'un194A,,aectivvtecCelespprobabilit?sd?tecteursrespersectiv)esest1'?tatd?tecteursprodessurparticulespropreLespartenersassov?os?es,voppprdirectionspul,?tr?,enhe?lectron.desremarquedansque+mesureppeysicienpartunositrondie2quanteduttotalnenoirceluiVla.2.ajusteun?setettt?grationprd'unepieonlequiysicieectuedansseloneectuevsondeuneiensdeysicableph2les1pardeuxolis?sbFigurehttp://www.lkb.ens.(compsymteetspinslai2ill'axeobserv),el'?vfr/recherche/qedcav/french/rydberg/resonant/eprpair.htmltysiciend?sinphet(respdeuxect.seletenh,Stern-Gerlaclanaleur5.1.gurepr?c?denspin::A = +1 j >=j+ > j > Pz 1 z 2 2
B = 1 P = +1B= 1
A = 1 j >=j > j + > Pz 1 z 2 2
B = +1
P2
j>
j+ > j >z 1 z 2
j > j + >z 1 z 2
E E2 3
Rayon lumineux
t
Mesure
E B=−14
Mesure E2 E3A=+1
(fruit du hasard)
état enchevétré
P P x1 2E1
E1
j>
E P A = +12 1
x;t j >
j > E Pz 3 2
B = 1 E4
A = +1
B = 1
restenmesureinformanlesepremiprobabilit?erphl'analysePaurait2.?t?paranalogue.esur?.Endur?sum?,Cetd'apr?sc?necettepasanalysedansdehevla2situationleparDanslainstanm?caniquequanquan.tiqueysicien(etLapjetostulatSurdelelamesure),?vl'cr?ation?tatasaLeseectu?eait?tr?es,estparticuleencthevph?tr?tjusqu'?r?f?renlal'?tatpretel'?tatmi?retmesure,mesur?etquisubitementt,oind?srepr?senla(vitessepremi?reLAd?tection,ililsest,r?duitFigureinstanh?tan?mentempstmendansestunl'?tatproecduitrepr?senfactoris?lignev1as?ysicientphenclecesidequesoitRemarquezl'?vparticules.en,exempleouendeuxledesAuspin(dansde?tan?tatsoratoirelestiquetreestenparticuleparfaiteerespsiectanl'?vt.R.laestcorr?lationledesXEdeuxespins(?voppM?CANIQUEos?s.tireCelaestestlumi?reenleparfaitplusaccordlaaduvLOCALIT?ecsclesparvienexptem?riences,ouretNONcsiette.r?duction5.2quiScestmaunel'espacesordeste?ned'actionts.?ladistanclaedeinstantan?ence?tr?,v(esteq.(193)m?met?pluslargris?e.apideparticulesqueetlasevitessepardenlaetlumi?rtehevquijusqu'?estquelaspinvitesselal1imitemduC'esttransp?nemenortmesured'?nergie.etcetcorr?lationle.ysicilaysicith?oriemesurede,l.am?merelativit?),tcarleelletielser?duitpasselabm?me?),siquanlestiquedeuxl'?tatmesuresr?duit,sonlat2deuxretrouv?vdans?nemen,ts1.uneC'esttraduit?nemen,195totale.certitude?tatsansensuiterelationpardephcausalit?,E.Pc'est,?observdireARADOespac?sLEpar?nemenunQUANTIQUE,quadri-v).ecteurlignedet-pttypleedeespace.quiVteoirtragurele5.2.rapideCettede1.lumi?re)probabilit?tecr?sultatvDEa.mesureceysicienh?maphnelet,?tp?tanpr?duitexpliquertiquer?sultatquan5.2.l'?tatd'informationd'apr?sP A = +1 A = 11
P2
E E3 1
j+ > j > j > j + >z 1 z 2 z 1 z 2
d'untreditepasn'aleseuvprloiEinstein-Pncipquieoudeouvlaarelativit?.tEnceseet,consipasloermetd?snePclehoisitvpasalensin'estle?er?sultatonneestlopellenealumi?re,laou?taienlaquequeparrapideparticules;:ilfneu.ppheutterpr?tationdoncquipasCestransmettrer?pdemonmessageAucun?vplusildistancesecondde5.2.3cette.R.)mani?re.1935,Cepfutendanpast?ilestyteareluneendicult?unetr?sphvisibleexpsurs'inlaseraitgurede5.2c'est:situationo?TICULESsedesituedupr?couis?mendoncth