Journees Nationales APMEP Atelier “geometries non euclidiennes”

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Journees Nationales APMEP Atelier “geometries non euclidiennes”

apmep - Albert Girard

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IREM DE GRENOBLE Journees Nationales APMEP : Atelier “geometries non-euclidiennes” Quatre questions de geometrie ont ete proposees aux participants de l'atelier des Jounees Natio- nales de Grenoble : 1. Quelle est la somme des angles d'un triangle de la sphere de rayon unitaire ? Quelle est l'aire d'un tel triangle ? 2. Le projete sur un plan d'un angle de l'espace est-il inferieur ou egal a cet angle ? Sinon, est-il egal, ou plus grand ? 3. La projection stereographique : comment est-elle definie ? que conserve-t-elle ? 4. La projection cylindrique : comment est-elle definie ? que conserve-t-elle ? Lors des ateliers, ces questions ont ete abordees a partir de figures de Geometrie Dynamique en 3D, chargees sur l'ordinateur mis a la disposition de chaque participant, ces figures ayant l'avantage de permettre a chaque participant de se faire sa propre intuition en variant les points de vue et en se plac¸ant eventuellement dans les situations-limites. Il est difficile de rendre compte de ces experimentations dans cet article, qui n'est illustre que par des images fixes de ces figures. Le lecteur desirant decouvrir ces experimentations dynamiques pourra les retrouver sur le site www-irem.ujf-grenoble.fr, qui sera complete progressivement. Dans cet article, nous commenterons principalement les reponses a la deuxieme question.

ujf grenoble

secteur angulaire

sphere

angle dans l'espace

triangle spherique

saillant

angle

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Girard

Angle

Sphère

Saillant

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cours de

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IREM DE GRENOBLE

Journe´esNationalesAPMEP: Atelier“ge´ome´triesnon-euclidiennes”

Quatrequestionsdeg´eome´trieont´et´epropos´eesauxparticipantsdel’atelierdesJoun´eesNatio-nales de Grenoble :

1.Quelleestlasommedesanglesd’untriangledelasphe`rederayonunitaire?Quelleest l’aire d’un tel triangle ? 2.Leprojet´esurunpland’unangledel’espaceest-ilinf´erieuroue´gala`cetangle?Sinon, est-il´egal,ouplusgrand? 3.Laprojectionste´r´eographique:commentest-ellede´ﬁnie?queconserve-t-elle? 4.Laprojectioncylindrique:commentest-ellede´ﬁnie?queconserve-t-elle?

Lorsdesateliers,cesquestionsont´et´eaborde´esa`partirdeﬁguresdeG´eom´etrieDynamique en3D,charg´eessurl’ordinateurmisa`ladispositiondechaqueparticipant,cesﬁguresayant l’avantagedepermettrea`chaqueparticipantdesefairesapropreintuitionenvariantlespoints devueetenseplac¸ante´ventuellementdanslessituations-limites.Ilestdiﬃcilederendrecompte decesexp´erimentationsdanscetarticle,quin’estillustre´quepardesimagesﬁxesdecesﬁgures. Lelecteurd´esirantd´ecouvrircesexp´erimentationsdynamiquespourralesretrouversurlesite www-irem.ujf-grenoble.fr,quiseracompl´ete´progressivement. Danscetarticle,nouscommenteronsprincipalementlesre´ponsesa`ladeuxi`emequestion.Ce-pendant,nous´evoqueronsauparavantquelquesunesdesre´actionsdesparticipants`alapremie`re 1 question,carellesnousontsembl´einte´ressantes.

2 1.Quelleestlasommedesanglesd’untriangledelasph`ereunitaireS?

Lethe´ore`mequinousint´eresseici(dontl’e´nonce´estdonne´parl’´equation(2)`avenir)estattribue´ `aGirard;cependantlade´monstrationdontnousnoussommesinspire´sestcelle(plustardive) des´el´ementsdege´ome´triedeLegendre,quial’avantaged’eˆtretre`s“visuelle”etdenesupposer 2 connuesnilatrigonom´etrieclassique,ni(afortiori)latrigonome´triesph´erique.

Lespremie`resquestionsontporte´surlade´ﬁnitiond’untrianglesphe´riqueABCisfonndos´eenu: 2 trois pointsA, BetCrlsuere`hpsaS, comment construit-on le triangle de sommetsA, B etC? –Laconstructiondescˆote´sdecetrianglea´et´eassezfacilementadmise:cesontlesarcsde _ _ _ 3 grands cerclesAB,BCetACf.ﬁg(c).Daure1selen,itfaedquxdeuecsndettnﬁe´oiti sommets du triangle, par exempleAetBnaitopadxucapene,puissentˆetrentdat´jeneu _ 4 certaintrouble,carilyaalorsuneinﬁnite´d’arcsdegrandscerclesAB)sneidiruop;erm´ou( 1.Ontrouverasurlemeˆmesitewebdel’IREMdeGrenobleuntraitementdesautresquestions,enparticulier desd´emonstrations“e´le´mentaires”.

2.Lelecteurinte´ress´eparunapprofondissementdessourcesdeceproble`mepourracommencersesrecherches surlesitehttp://fr.wikipedia.org/wiki/AlbertGirardetenrecherchantlesarticlestraitantdela“trigonom´etrie sphe´rique”,dontlesoriginesremontent`al’Antiquit´e.

3. Le “grand cercle” passant parAetBest l’intersection du plan passant parA, Bet par le centreOde lasph`ere,lespointsAetBscraxsdeudeceourtluscltpe’cse,eterelcraxuedscrgeccdnaimelenitlotaders´d _ que nous appelleronsAB.

4.Cetroubleestuner´eactionsaine:ilsoulignelefaitquelage´ome´triesph´eriquenev´eriﬁepasundesaxiomes _ delag´eom´etrieeuclidienne:eneﬀet,danslamesureo`uonadmetquel’arcdegrandcercleABest le plus court deschemins(trace´ssurlasphe`re)quijoignentlespointsAetB, les grands cercles sont les “droites” de la g´eom´etriesph´erique;iln’estdoncpasvraique,pardeuxpointsantipodaux,passeuneseuledeces“droites”.

ne pas augmenter la confusion, nous nous sommes restreints (un peu arbitrairement) au cas 5 ou`iln’yapasdeuxsommetsantipodauxparmilestroissommetsdutriangle.

Figure1 –A de ce triangle

gauche,constructiondescˆot´esdutrianglesph´erique par construction du secteur angulaire correspondant

ABC. A droite, remplissage b a`l’angleint´erieurA.

–Unefoistrac´eslescˆote´sdutriangle,commentle“remplir”,c’est`adirecommentdistinguer “l’inte´rieur”dutriangledeson“exte´rieur”? 6 Par analogie avec le cas du plan , le grand cercle passant parAetBet le grand cercle passant parAetCessdmeomulngreaitsph`ereeoupentlaceetruasqnaurtseecd´A(en _ forme de quartiers d’orange), dont un seul contient l’arc de grand cercleBC(cf. ﬁgure 1), l’int´erieurdutrianglesph´eriqueABCndecesecteuranguetsaloptroicarl’milerialrapee´ti _ de grand cercleBCet qui contientADemˆ.ausoeme,etmmAre´trueigna’nieleﬁd´tlnion, b Ammlea’gnreqieuocnglesph´dutriaenleAde ce secteur angulaire. –Commentde´ﬁnit-onl’angleenAentre les arcs de grands cercles (AB) et (AC) ? C’est l’angle entre les deux demi-droites tangentes enAa`ecsdeuxarcs;c’estaissuna’ldelgu di`edreform´eparlesdeuxdemi-planslimite´sparladroite(OAcontenant respectivement) et le pointBet le pointC(cf la ﬁgure 1 de droite).

Nous avons vu que le grand cercle passant parAetBet le grand cercle passant parAetC de´coupentlasph`ereenquatresecteursangulairesdesommetA: un de ces secteurs angulaires _ contientlecˆote´BCmysnostseertuanuetrteceneirde´mtelasypourique´etrOnioar:lun´e decesdeuxsecteursangulairesde´ﬁnitle“otsciuceea´ruganoldubiuaeelressasommetA” (cf. la ﬁgure 2 de gauche), que nous noteronsSA. Lare´uniondestroisdoublessecteursangulairesSA,SBetSCsommetsuxsa´ecisoasA,Bet Cdutrtionlespiangqieu´hredeunoispsdntasele`hp`,ere’lapecxrecuorvueenofsihccaABCet 0 0 0 desontrianglesyme´trique(pourlasym´etriedecentreO)A B C, qui sont recouverts trois fois (cf. la ﬁgure 2 de droite), on a donc, en notant Aire (ABC)leriquph´elgseirnadetua’riABC:

5.Cependant,lethe´ore`medonnantlasommedesanglesd’untriangleshe´riquequenousallons´enoncerest encore vrai lorsque deux des sommets, par exempleAetBnaitostn,lorslyaaux:ipoda´tinﬁnienuteﬀeneeed _ choixdiﬀe´rentspossiblespourlecˆot´eABeriqsph´ue,chacudxionﬁe´cednhcseiatrlengsaisunntABCtn.e´erdiﬀ

6.Dansleplan(respectivementsurlasphe`re),lacourbebris´eeferm´eeforme´eparlestroiscoˆt´esdutriangle partageleplan(respectivementlasph`ere)endeuxdomainesT1etT2melentibahleute´dntinﬁan,olepldans; l’int´erieurdutrianglecomme´etantceluidecesdeuxdomainesquiestborn´e;surlasph`ere,ceproc´ede´estinop´erant car les domainesT1etT2satnosrolsuotpel´annﬁ,teisotidaentlreandieteuxvdb,onranl´secse.sUanuedd d´eciderquel’inte´rieurdutriangleestceluidesdeuxdomainesT1etT2esslanudleuemere`itnetnoctnstenquie des quatre secteurs angulaires de sommetAdtior(searspsdleco´e´eupAB) et (AC) qui contienne le segment [BC´hreqieusnolne´gare´esilciritraungiasplelasuoneuqnoitinﬁ´eederi`rndeteetsect.]’CABC.

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