Holomorphie proprietes elementaires

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Chapitre 1 Holomorphie : proprietes elementaires 1.1 Premiers pas Exercice 1.1.1 Pour tout complexe z = x+ iy (avec x, y reels) on pose ez = ex(cos(y) + i sin(y)) . (a) Montrer qu'on a e0 = 1 et ez.ez ? = ez+z ? pour tout z, z? ? C. Donner le module et un argument de ez en fonction de la partie reelle et de la partie imaginaire de z. (b) Montrer que la fonction exp : z 7? ez est periodique de periode 2pii, et est surjective de C dans C?. (c) Montrer que la fonction exp est holomorphe dans C. Quelle est sa derivee ? (d) Soit f : C ? C une fonction non nulle verifiant f(z + z?) = f(z)f(z?) pour tout z, z? ? C. On suppose de plus que f est drivable en 0. Montrer que f est holomorphe sur C, puis donner une relation entre f ? et f . Prouver qu'il existe c ? C tel que f(z) = ecz pour tout z ? C. Exercice 1.1.2 Dans cet exercice, on identifie C a R2 de la fac¸on usuelle ; pour deux complexes z0 = a0 + ib0 et z1 = a1 + ib1, la notation ?z0, z1? designe le reel a0a1 + b0b1 (le produit scalaire de z0 et z1 vus comme vecteurs du plan).

cercle du plan

equations de cauchy-riemann

produit scalaire de z0

application de r2 dans r2

cauchy-riemann en polaires

rotation de r2

reel a0a1

Sujets

Équations de Cauchy-Riemann

exercice

exercices

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Chapitre 1

Holomorphie:proprie´te´s ´ele´mentaires

1.1 Premierspas Exercice 1.1.1Pour tout complexez=x+iy(avecx, yesopnos)el´er z x e=e(cos(y) +isin(y)). 0 0 0zz z+z0 (a) Montrer qu’on ae= 1ete .e=epour toutz, z∈C. Donner le z module et un argument deenfioenereitrapalednoitcrtpaladeetleel´e imaginaire dez. z (b) Montrer que la fonction exp:z7→esepte´irdoqieueddeioerp´2πi, et est ∗ surjective deCdansC. (c) Montrerque la fonction exp est holomorphe dansCtses´eadQu.leelir´vee? 0 0 (d) Soitf:C→Cnctionnounefotnaﬁire´vellunnf(z+z) =f(z)f(z)pour 0 toutz, z∈C. On suppose de plus quefest drivable en0. Montrer quefest 0 holomorphe surC, puis donner une relation entrefetf. Prouver qu’il existe cz c∈Ctel quef(z) =epour toutz∈C. 2 Exercice 1.1.2Dans cet exercice, on identiﬁeCa`R¸afaledrou;pleelsunuco deux complexesz0=a0+ib0etz1=a1+ib1, la notationhz0, z1ileneeelr´d´iges a0a1+b0b1(le produit scalaire dez0etz1vus comme vecteurs du plan).   a b 2 SoitA=la matrice d’un endomorphisme deRalabes´ecritdans c d canonique.Montrerquelesassertionssuivantessonte´quivalentes: + (i)d´etA>0et il existek∈Rtel que pour tousu, v∈Con a :hAu, Avi= 2 khu, vi; + (ii) ilexisteθ∈Retk∈Rtels que   kcosθ−ksinθ A= ; ksinθ kcosθ (iii)a=detb=−c; (iv) ilexistew∈Ctel que pour toutu∈Con a :Au=wu; (v)Acenert0ete’dnalges´poomactlesdnoitatorenu’deeθeiteetd’unehomoth´ de rapportk. (vi)AestCer;in-lai´e 1