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[GJamP] Actes des Rencontres d'Analyse Complexe (Poitiers-Futuroscope, 1999), 81–104, Atlantique, Poitiers, 2002. Zeros de fonctions holomorphes et contre-exemples en theorie des radars Gustavo GARRIGOS, Philippe JAMING & Jean-Baptiste POLY? ? Mathematiques SP2MI, BP 179, 86960 Futuroscope Cedex, FRANCE Resume: Nous montrons comment les solutions aux problemes de type re- construction de phase sont liees aux zeros de fonctions holomorphes. En par- ticulier, le probleme d'ambiguite radar se separe en deux problemes distincts. Le premier, que nous appelons probleme restreint, ne fait pas intervenir les zeros de fonctions holomorphes et est entierement resolu dans [Jam4]. Pour le second, nous apportons une reponse partielle via une discretisation du probleme. On montre ainsi que les solutions qui ne sont pas deja des solutions du probleme restreint sont rares, mais existent. Mots Cles: Probleme d'ambiguite radar. AMS subject class : 42B10, 81S30, 94A12. 1. Introduction. Les problemes de reconstruction de phase apparaissent dans de nombreux domaines de la physique (optique, cristallographie, physique quantique ... cf. [FG] [Hu], [KST]). Il s'agit de reconstruire un signal a partir de la seule donnee du module de sa transformee de Fourier, la phase etant en general perdue quand on mesure ces signaux.

partenaire d'ambiguite

etant

theoreme

pauli

fonc- tion entiere d'ordre

problemes de reconstruction de phase

probleme d'ambiguite radar

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maths

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Extrait

[GJamP] Actes des Rencontres d’Analyse Complexe (Poitiers-Futuroscope, 1999), 81–104, Atlantique, Poitiers, 2002. Z´erosdefonctionsholomorphesetcontre-exemplesenth´eorie des radars ´ Gustavo GARRIGOS, Philippe JAMING & Jean-Baptiste POLY∗ ∗pecodeCeFRx,CEANth´eMaPB,IM2PSseuqitamosurut0F96869,17 R´ume´:uoNnomslotuoisnuapxorlbtronscommentlessetsdme`ee-eryp es constructiondephasesontli´eesauxze´rosdefonctionsholomorphes.Enpar-ticulier,leprobl`emed’ambiguite´radarses´epareendeuxproble`mesdistincts. Lepremier,quenousappelonsproble`merestreint,nefaitpasintervenirles ze´rosdefonctionsholomorphesetestenti`erementr´esoludans[Jam4]. Pourlesecond,nousapportonsunere´ponsepartielleviaunediscre´tisationdu proble`me.Onmontreainsiquelessolutionsquinesontpasd´ej`adessolutions du probleme restreint sont rares, mais existent. ` MotsCle´s:ra.mbiged’aeraduit´me`lborP AMS subject class :42B10, 81S30, 94A12. 1.Introduction. Lesprobl`emesdereconstructiondephaseapparaissentdansdenombreuxdomainesdela physique (optique, cristallographie, physique quantique ...cf. s’agit de[FG] [Hu], [KST]). Il reconstruireunsignal`apartirdelaseuledonn´eedumoduledesatransform´eedeFourier, laphasee´tanteng´en´eralperduequandonmesurecessignaux.Detelsprobl`emessonten g´en´eralmalpose´set,sanshypoth`esesspl´ntaires,ilsontuneinﬁnit´edesolutions. up eme Ilsetrouvequel’´etudedeze´rosdefonctionholomorphesentreenjeudansladescription dessolutionsdetelsproble`mes(voirsection2.1). Danscetarticle,nousnousconcentronssurleprobl`emed’ambiguit´eradarou,pluspr´eci-s´ement,suruneversionendimensionﬁniedecelui-ci: N ´=Xaneint Etantdonne´unpolynˆometrigonom´etriquef(t)spleustoerinrmte-oˆnylod,e´ n=0 N mestrigonom´etriquesg(t) =Xbneinttels que n=0 (PN)|Af(k, t)|=|Ag(k, t)|pour toutk∈Z, t∈R o`uAf(k, t) =Xanan−keint. n Notreprincipalr´esultatestque,pourN≥,3elrpbo`lmeePNestbienpos´e(i.e.qu’il n’a quedessolutionstriviales)a`moinsquelescoeﬃcients(a0, . . . , aN) def`tannnetreiappan’ unecertainevari´ete´semi-alge´briquer´eelledeCN+1 Dede codimension reelle au moins 1. ´ plus,nousde´crivonsentie`rementcettevarie´t´edanslespetitesdimensions(N= 3 etN= 4) et montronsqu’elleestdecodimensionr´eelleexactement1.Enﬁn,desexemplesdepolynoˆmes lacunairesmontrentquecettevari´ete´n’estpasvidede`squeN≥3. 263

264 Cetarticleestorganise´commesuit:dansleprochainchapitre,nousd´ecrivonsquelques proble`mesdereconstructiondephase,lasection2.3´etantconsacre´eauprobl`emed’ambiguite´ radar.Lerˆoledecettepartie,quireprendlesr´esultatsdusecondauteur[Jam4],estessen-tiellementintroductif.Ensuite,nousexpliquonslepassageduprobl`emed’ambiguite´radarau proble`me(PNons4ectiLess).irtpoicna`aledcsompl`eteepsevitcs5tertnocrsaes´eenemontc des solutions pourN= 3 etNsuoccnulE.ﬁn,non=4roe´eme`rap6htelecasontisdonslan principaletsapreuve,lecaslacunaire´etantexpose´en6.4.

2.P ` roblemes de reconstruction de phase. 2.1.l.Leplboreme`ne´gare´ructonstephaiondlbe`psorreceemdsiuq,esLeusplmpsidele survient en optique, est le suivant : Probleme 1(Reconstruction de Phase). ` Soientu, v∈L2(R)mpcortpoupass`oneuqsellettcaxuofcnited|Fu(x)|=|Fv(x)|pour tout x∈R(Fnartrofsee´moFedieur.Pr)t-eud´ondeiuertnale´atvdeu? Dessolutionstrivialesa`ceproble`mesontv(t) =cu(t+a) etv(t) =cu(−t+a) avecc∈T eta∈R,o`uTd´eytuepli,siofeutTo1.ledumodeeslpxecsmobmerseonblednsemel’esign avoird’autressolutions.D´ecrivonslesbri`evement: Commeuppusctroea`tseneiW-ye,reor`eth´ePalemedtcd,moape`lsa’rpFuest une fonc-tionentie`red’ordre1detypeﬁni.D’apr`eslethe´ore`medeHadamard,Fuadmet donc une factorisation de la forme : eα0+α1zzkm=∞Y11−zzkez/zk ega avecm∈N,α0, α1∈Cet (zkszlero´e)edsemocsxelpFu. Commev´lemeestrottna`uspp compact,FvroemmefeemopC.mourmdacafenutetisaritomˆladeonx´eelr: 1−zxkex/zk=1−zxkex zk onend´eduitfacilementque(th´eo`eduˆa`Walther[Wa]): rem Une fonctionv∈L2(R)sa`oppucortacmp´etvﬁeri|Fv(x)|=|Fu(x)|pour toutx∈Rsi et seulement s’il existec∈T,a∈Ret un choixζk∈ {zk, zk},k= 1,2,3, . . ., tels que pour toutz∈C, ∞ Fv(z) =ceiazeα0+α1zzmkY=11−ζzkez/ζk. Le choixζk∈ {zk, zk}el´peaprasezero ﬂipping. Danscethe´ore`me,c,aainsi que le choixζk=zkpour toutk, correspondent aux solutions triviales.Onvoitdoncque,de`squeFurosnxzeeelsonr´auadsueomnigujus,´enoetonnc ´ ilexistedessolutionsnontrivialespourleprobl`eme1.Onpeutdoncsedemandersides conditionssuppl´ementairespeuventimpliquerl’unicite´delasolution.Parexemple,nila positivite´deuugalir´te´earil,nC∞,enusﬃsent`agarantirlinu’´tic(ecf.[Jam4]).

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