Exercices Géométrie – La chaînette

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Éléments de géométrie Arnaud Bodin, avril 2012 La chaînette 1 Le cosinus hyperbolique 1 2 Dérivée des physiciens, dérivée des mathématiciens 3 3 Équation de la chaînette 4 4 Longueur d'une chaînette 9 5 Calcul du paramètre 10 6 Calcul de la tension 10 7 Exercices 11 La chaînette est le nom que porte la courbe obtenue en tenant une corde (ou un collier, un fil,. . . ) par deux extrémités. Sans plus tarder voici l'équation d'une chaînette : y(x) = a ch (x a ) . Ici “ch” désigne le cosinus hyperbolique défini à partir de la fonction exponentielle : y(x) = a 2 ( e x a + e? x a ) , nous y reviendrons. Le paramètre a dépend de la chaînette : on peut écarter plus ou moins les mains. Et même si l'on garde les mains fixes, on peut prendre des cordes de différentes longueurs. C'est donc une courbe que vous voyez tous les jours : la chaîne qui pend à votre cou ou le fil électrique entre deux pylônes. Mais on le retrouve dans des endroits plus surprenant : si vous souhaitez faire une arche qui s'appuie sur deux piles alors la forme la plus stable est une chaînette renversée. Gaudi a beaucoup utilisé cette forme dans les bâtiments qu'il a construit.

physi- cien dfdx

chaînette

cosinus hyperbolique

ch ?

opposée de la tension

tension

vecteur vertical

bijection réciproque

Sujets

exercices

exercice

maths

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Publié par	profil-urra-2012
Publié le	01 avril 2012
Nombre de lectures	221
Langue	Français

Extrait

Éléments de géométrie

La chaînette

Arnaud Bodin, avril 2012

La chaînette est le nom que porte la courbe obtenue en tenant une corde (ou un collier, un ﬁl,. . . ) par deux extrémités. Sans plus tarder voici l’équation d’une chaînette : x y ( x ) = a ch  a  . Ici “ch” désigne le cosinus hyperbolique déﬁni à partir de la fonction exponentielle : y ( x ) = 2a  e ax + e − ax  , nous y reviendrons. Le paramètre a dépend de la chaînette : on peut écarter plus ou moins les mains. Et même si l’on garde les mains ﬁxes, on peut prendre des cordes de différentes longueurs. C’est donc une courbe que vous voyez tous les jours : la chaîne qui pend à votre cou ou le ﬁl électrique entre deux pylônes. Mais on le retrouve dans des endroits plus surprenant : si vous souhaitez faire une arche qui s’appuie sur deux piles alors la forme la plus stable est une chaînette renversée. Gaudi a beaucoup utilisé cette forme dans les bâtiments qu’il a construit. Sur un bateau, si une voile rectangulaire est maintenue par deux mats horizontaux et que le vent soufﬂe perpendiculairement alors le proﬁl de la voile est une chaînette. [[[dessin]]] Pour ﬁnir vous pouvez voir des chaînettes avec des bulles de savon : trempez deux cercles métalliques parallèles dans de l’eau savonneuse. Il en sort une surface de révolution dont le proﬁl est une chaînette. Stop ! Place aux maths : nous allons expliquer comment calculer l’équation d’une chaînette.

1 Le cosinus hyperbolique

1 Le cosinus hyperbolique 1 2 Dérivée des physiciens, dérivée des mathématiciens 3 3 Équation de la chaînette 4 4 Longueur d’une chaînette 9 5 Calcul du paramètre 10 6 Calcul de la tension 10 7 Exercices 11