Equilibre et continuite

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CINEMATIQUE 1 Equilibre et continuite 1.1 Equilibre d'un solide Fig. 1 – Equilibre d'un solide Tout solide dont on etudiera les efforts internes et les deformations sera considere en equilibre sous l'action des forces qui lui sont appliquees (figure 1). Les reactions des appuis font equilibre aux charges directement appliquees. Ceci se traduit par des equations generales d'equilibre du corps. Si le nombre d'equations est suffisant pour determiner les reactions, la structure est dite isostatique. Sinon, il est necessaire de faire appel a d'autres relations, et la structure est dite hyperstatique. 1

equations generales d'equilibre du corps

instant initial

matiere du corps considere

configuration

Sujets

Transformation

Configuration

cours

cours de

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Langue	Français

Extrait

´CINEMATIQUE
´1 Equilibre et continuit´e
´1.1 Equilibre d’un solide
´Fig. 1 – Equilibre d’un solide
Tout solide dont on ´etudiera les eﬀorts internes et les d´eformations sera
consid´er´een´equilibresousl’actiondesforcesquiluisontappliqu´ees(ﬁgure1).
Les r´eactions des appuis font ´equilibre aux charges directement appliqu´ees.
Cecisetraduitpardes´equationsg´en´eralesd’´equilibreducorps.Silenombre
d’´equations est suﬃsant pour d´eterminer les r´eactions, la structure est dite
isostatique. Sinon, il est n´ecessaire de faire appel a` d’autres relations, et la
structure est dite hyperstatique.
11.2 Continuit´e de la mati`ere
F
2
F3
F1
F
5
F
4
Fig. 2 – Continuit´e de la mati`ere
Toutes les charges appliqu´ees (y compris les r´eactions aux appuis et le poids
propre) provoquent des forces internes qui sollicitent la mati`ere du corps
consid´er´e. La continuit´e de la mati`ere implique que les eﬀorts internes qui
s’exercent de part et d’autre d’une section quelconque s’´equilibrent (ﬁgure
2). Les eﬀorts internes d’un cˆot´e de cette section font ´equilibre `a toute les
forcesext´erieuresappliqu´eesdepuiscettesectionjusqu’`al’extr´emit´educorps
consid´er´e.
La continuit´e de la mati`ere suppose que l’on se place d’un point de vue suﬃ-
sammentmacroscopiquepour´etudiersoncomportement.Eneﬀet,`al’´echelle
atomique par exemple, la mati`ere n’est plus continue. Elle est constitu´ee
d’atomes dont la masse est essentiellement concentr´ee sur le noyau. Le fait
de se placer d’un point de vue macroscopique permet en outre de d´eﬁnir
dans le mat´eriau une masse volumique ‰ qui, int´egr´ee sur l’ensemble de son
volume, fournit la masse totale du solide.
2 Transformation d’un solide
2.1 Conﬁgurations
Lorsqu’un solide continu se d´eforme au cours du temps, il adopte une s´erie
de conﬁgurations C(t), et le fait de repr´esenter une grandeur dans l’une
2C(t)
a
3
C
0 a
2
a
1
Fig. 3 – Conﬁgurations initiale et actuelle d’un solide
ou l’autre de ces conﬁgurations change parfois sa valeur, et souvent sa vi-
tesse de variation (notion de d´eriv´ee convective). Pour simpliﬁer, nous ne
consid´ererons ici que la conﬁguration initiale C et la conﬁguration courante0
C(t) d’un solide (des conﬁgurations interm´ediaires sont parfois utilis´ees en
m´ecanique, telles que la ”relˆach´ee” en ´elasto-plasticit´e). La ﬁ-
gure 3 sch´ematise ces conﬁgurations.
Laconﬁgurationutilis´eepourrepr´esenterdesgrandeurs(forces,d´eplacements,
...)d´eﬁnitletyped’analyser´ealis´ee.Sitouteslesgrandeurssontrepr´esent´ees
dans C , le type est dit lagrangien. Inversement, si toutes les gran-0
deurssontrepr´esent´eesdansC(t),letyped’analyseestditeul´erien.Souvent,
par abus de langage, on parle de conﬁgurations lagrangienne ou eul´erienne.
Il convient de bien distinguer les notions de conﬁguration et de rep`ere. Dans
¡! ¡! !¡la ﬁgure 3, le rep`ere (a ;a ;a ) est ﬁxe. Toutes les grandeurs mentionn´ees1 2 3
dans ce texte peuvent ˆetre exprim´ees dans ce rep`ere. Par exemple, si P0
et P sont les positions d’un mˆeme point mat´eriel respectivement `a t = 0
(conﬁguration C ) et a` l’instant t courant (conﬁguration C(t)) , on notera:0
¡¡! !¡ ¡!OP = X =X a (1)0 i i
¡! ¡! !¡OP = x =x a (2)i i
3U
x
X a
3
a
2C C(t)
0
a
1
Fig. 4 – Description lagrangienne d’une transformation
2.2 Description lagrangienne
Dans une analyse (ﬁgure 4), on d´ecrit la transformation du
¡!
solide a` l’aide des coordonn´ees de chaque point x. Ces coordonn´ees seront
!¡
´evidemment fonction du temps t, et de la position initiale du point X. Ceci
s’´ecrit sous la forme:
!¡ ¡! ¡! ¡! !¡¡!x = Φ(X;t) avec Φ(X;0)= X (3)
¡!
ou` Φ est une fonction vectorielle. Pour assurer la continuit´e du solide en
cours de transformation, cette fonction doit ˆetre bijective (existence d’une
1transformation inverse), et de classe C par rapport aux variables d’espace
et de temps. Elle permet de d´eﬁnir le vecteur d´eplacement d’un point du
solide au cours de la transformation. Entre l’instant initial t=0 et l’instant
!¡ ¡!
courant t, le vecteur d´eplacement U d’un point de position initiale X est
donn´e par:
!¡ !¡ !¡ !¡ !¡ ¡! ¡! ¡! !¡
U(X;t)= Φ(X;t)¡ Φ(X;0)= Φ(X;t)¡X (4)
En description lagrangienne, X , X , X et t sont appel´ees variables de La-1 2 3
grange, tandis que x , x et x sont appel´ees inconnues de Lagrange.1 2 3
2.2.1 Trajectoire
Lorsque l’on suit un point du milieu au cours du temps, celui-ci d´ecrit une
courbe de l’espace param´etr´ee par t, appel´ee trajectoire. A l’aide de cette
4trajectoire, on peut d´eﬁnir la vitesse d’un point `a l’instant t. Le point est
¡!
caract´eris´e par sa position X dans la conﬁguration initiale C , et sa vitesse0
¡!
courante V est donn´ee par la relation:
!¡ ¡!!¡!¡ !¡ dx @Φ !¡ @U ¡!
V (X;t)= = (X;t)= (X;t) (5)
dt @t @t
2.2.2 Lignes d’´emission
´Fig. 5 – Emission de traceurs autour d’une maquette du Concorde
Lorsque l’on marque toutes les particules passant par un point P `a l’instant
t ,lespositionsdecesparticulesa`toutinstantult´erieur td´ecriventleslignes0
d’´emission du point P. En a´erodynamique, ces lignes d’´emission sont obte-
nuesenutilisantdestraceurspoursuivreles´ecoulementsautourdel’objetse
d´epla¸cant (ﬁgure 5). Elles peuvent ´egalement ˆetre produites par un obstacle
ﬁxe sur un ﬂuide en mouvement (ﬁgure 6).
5Fig. 6 – Trace produite sur la mer par un cargo ´echou´e
v
x
X a
3
a2C C(t)
0
a
1
Fig. 7 – Description eul´erienne d’une transformation
2.3 Description eul´erienne
Dans une analyse eul´erienne (ﬁgure 7), on d´ecrit la transformation du solide
¡! ¡!
a`l’aidedelavitessecourante v dechaquepoint x delaconﬁgurationC(t).
¡! ¡!Cette vitesse v est donc ici une fonction de la position courante x et du
temps t.
x , x , x et t sont appel´ees variables d’Euler, tandis que les composantes v ,1 2 3 1
!¡v et v du vecteur vitesse v sont appel´ees inconnues d’Euler.2 3
62.3.1 obtention des trajectoires
!¡¡!La vitesse eul´erienne v permet de retrouver la fonction Φ de la description
lagrangienne, et donc les trajectoires des points mat´eriels, par int´egration au
cours du temps du syst`eme diﬀ´erentiel:
‰ !¡ ¡! !¡dx = v (x;t)dt
!¡ (6)!¡x = X `a t=0
Toutefois, cette int´egration en temps s’av`ere souvent d´elicate car il faut
constamment actualiser la conﬁguration du syst`eme. En eﬀet, la vitesse
!¡ ¡!eul´erienne v d’un point mat´eriel d´epend de sa position courante x, elle-
mˆeme fonction de sa position initiale et du temps.
2.3.2 Mouvement stationnaire
Lorsque la vitesse eul´erienne des points mat´eriels ne d´epend pas du temps,
le mouvement est dit stationnaire (ou permanent). Dans ce cas, la ligne
d’´emission d’un point P sera identique `a la partie aval de la trajectoire pas-
sant par P, puisque l’instant de passage en ce point n’a plus d’inﬂuence. Les
´ecoulements stationnaires (ou permanents) en m´ecanique des ﬂuides corres-
pondent a` ce cas.
´3 Equations de transport
3.1 Tenseur gradient d’une transformation
Pour d´ecrire une transformation quelconque, on la remplace localement, en
!¡
chaquepoint X delaconﬁgurationC ,parsonapplicationlin´eairetangente.0
Cette application est caract´eris´ee par un tenseur F, gradient de la fonction
¡!
vectorielle Φ reliant les positions initiale et courante d’un point. Nous avons
donc:
¡! ¡! !¡ !¡ ¡!
F(X;t)=grad(Φ(X;t))=I +grad(U(X;t)) (7)
ou` I est le tenseur identit´e. Le tenseur gradient de la transformation d’un
solide F permet donc de relier localement les conﬁgurations C et C(t). Il0
7supposeimplicitementquelatransformationdumat´eriauestcontinue,c’est-
`a-dire qu’il ne se forme pas de trou ni d’interface. La formation de trous et
d’interfaces r´esulte par exemple de l’endommagement du mat´eriau en cours
de transformation, mais ceci sort du cadre de ce cours. Le tenseur gradient
de la transformation peut ´egalement s’´ecrire pour le passage inverse sous la
forme:
!¡¡1 !¡ ¡1 !¡F (x;t)=grad(Φ) (x;t) (8)
3.2 Transport de quantit´es ´el´ementaires
D’apr`es la d´eﬁnition pr´ec´edente du tenseur gradient d’une transformation,
¡! ¡!
un vecteur ´el´ementaire dX de C se transformera en un vecteur dx de C(t)0
sous la forme:
&#