APPLICATION AUX POUTRES EXERCICES

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APPLICATION AUX POUTRES - EXERCICES Flexion simple La figure 1 represente une poutre a plan moyen chargee dans son plan en flexion par une force ponctuelle (vecteur ??P ). x y L P = 0 -P 0 A B Section de la poutre x y z Fig. 1 – Flexion simple d'une poutre a plan moyen – Donner l'expression du torseur des efforts internes en tout point de la poutre. – En deduire le torseur des deformations en notant E le module d'Young du materiau, S la section de la poutre et I sont moment d'inertie par rapport a l'axe Oy. – Donner la fleche et la rotation de la poutre en tout point x. Montrer que la contribution de l'effort tranchant peut etre neglige dans ces ex- pressions. 1

contribution de l'effort tranchant

section circulaire

conditions aux limites en contraintes

expression du torseur des efforts

expression complete des contraintes dans la section de la poutre

section de la poutre

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exercice

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Langue	Français

Extrait

APPLICATION AUX POUTRES -
EXERCICES
Flexion simple
La ﬁgure 1 repr´esente une poutre `a plan moyen charg´ee dans son plan en
¡!
ﬂexion par une force ponctuelle (vecteur P).
y
y
0
-P z
P = 0
A B x
x
L
Section de la poutre
Fig. 1 – Flexion simple d’une poutre a` plan moyen
– Donner l’expression du torseur des eﬀorts internes en tout point de la
poutre.
– En d´eduire le torseur des d´eformations en notant E le module d’Young
du mat´eriau, S la section de la poutre et I sont moment d’inertie par
rapport `a l’axe Oy.
– Donner la ﬂ`eche et la rotation de la poutre en tout point x. Montrer
que la contribution de l’eﬀort tranchant peut ˆetre n´eglig´e dans ces ex-
pressions.
1

Flexion trois points
La ﬁgure 2 repr´esente une poutre a` plan moyen sollicit´ee en ﬂexion trois
!¡
points dans son plan par une force P. Par sym´etrie, nous allons utiliser le
segment0•x•L=2pourtraiterleprobl`eme.Ils’ensuitquelasollicitation
¡!
ponctuelle P est diminu´ee de moiti´e.
y
y
0
-P z
P = 0
A B x
x
L
Section de la poutre
Fig. 2 – Flexion trois points d’une poutre `a plan moyen
Donner l’expression du torseur des eﬀorts, du torseur des d´eformations, de
la ﬂ`eche et de la rotation en tout point de la poutre.
Flexion quatre points
Nous allons ´etudier la ﬂexion ´elastique (quatre points) d’une poutre dont la
section circulaire pr´esente une sym´etrie en y et z (voir ﬁgure ci-dessous, cas
d’une section circulaire).
P
R P z R zA B
x y
A l l l l B
Fig. 3 – Sch´ematisation du probl`eme
L’objectif est de d´eterminer le champ de contraintes dans la section de la
poutre entre les deux points de chargement.
2

– En utilisant des m´ethodes de RdM, montrer que la poutre est soumise
a` un moment ﬂ´echissant selon y constant entre les points d’application
delacharge(ﬂexionpure),etquetouteslesautrescomposantesdutor-
seur des eﬀorts internes sont nulles. Donner l’expression de ce moment
ﬂ´echissant.
– Montrer qu’un champ de contraintes uniaxial selon x, et lin´eaire selon
y et z, est statiquement admissible (c’est-`a-dire respecte l’´equilibre et
les conditions aux limites en contraintes) entre les points d’application
de la charge. En d´eduire l’expression compl`ete des contraintes dans la
section de la poutre.
3