analyse complexe

Mich ele Audin ANALYSE COMPLEXE Mich ele Audin Institut de Recherche Math ematique Avanc ee, Universit e Louis Pasteur et CNRS, 7 rue Ren e Descartes, 67084 Strasbourg cedex, France. E-mail : Michele.Audin@math.u-strasbg.fr Url : http://www-irma.u-strasbg.fr/~maudin Mots clefs. fonction holomorphe, fonction analytique, exponentielle, logarithme, th eor eme de Cau- chy, principe du maximum, th eor eme de Liouville, indice, singularit es, fonctions m eromorphes, fonction } de Weierstrass, produit in ni, th eor eme des r esidus, fonction z^eta de Riemann, th eor eme des nombres premiers. La gure de couverture repr esente la fonction } de Weierstrass et a et e dessin ee par Olivier Elchinger. 8 juin 2009 ANALYSE COMPLEXE Mich ele Audin R esum e. Ces notes de cours sont une introduction a l’analyse complexe, avec cent quatre-vingt-onze exercices et vingt-cinq gures. On y etablit, pour les fonctions d’une variable complexe, l’ equivalence entre holomorphie et analyticit e (Cauchy, Morera). On y discute de la question du logarithme et plus g en eralement des primitives, des p^ oles et autres singularit es. Pour ce faire, on y int egre les fonctions sur les chemins, ce qui am ene le th eor eme des r esidus et ses applications plus ou moins calculatoires. On y construit et etudie aussi des fonctions elliptiques, la fonction z^eta de Riemann, et on y d emontre le th eor eme des nombres premiers. TABLE DES MATIERES Pr eface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .