analyse complexe

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Mich ele Audin ANALYSE COMPLEXE Mich ele Audin Institut de Recherche Math ematique Avanc ee, Universit e Louis Pasteur et CNRS, 7 rue Ren e Descartes, 67084 Strasbourg cedex, France. E-mail : Michele.Audin@math.u-strasbg.fr Url : http://www-irma.u-strasbg.fr/~maudin Mots clefs. fonction holomorphe, fonction analytique, exponentielle, logarithme, th eor eme de Cau- chy, principe du maximum, th eor eme de Liouville, indice, singularit es, fonctions m eromorphes, fonction } de Weierstrass, produit in ni, th eor eme des r esidus, fonction z^eta de Riemann, th eor eme des nombres premiers. La gure de couverture repr esente la fonction } de Weierstrass et a et e dessin ee par Olivier Elchinger. 8 juin 2009 ANALYSE COMPLEXE Mich ele Audin R esum e. Ces notes de cours sont une introduction a l’analyse complexe, avec cent quatre-vingt-onze exercices et vingt-cinq gures. On y etablit, pour les fonctions d’une variable complexe, l’ equivalence entre holomorphie et analyticit e (Cauchy, Morera). On y discute de la question du logarithme et plus g en eralement des primitives, des p^ oles et autres singularit es. Pour ce faire, on y int egre les fonctions sur les chemins, ce qui am ene le th eor eme des r esidus et ses applications plus ou moins calculatoires. On y construit et etudie aussi des fonctions elliptiques, la fonction z^eta de Riemann, et on y d emontre le th eor eme des nombres premiers. TABLE DES MATIERES Pr eface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Publié par	mohamedbinyze
Publié le	10 avril 2013
Nombre de lectures	266
Langue	Français
Poids de l'ouvrage	1 Mo

Extrait

Mich`le Audin

ANALYSE COMPLEXE

Mich`le Audin
Institut de Recherche Math´matique Avanc´e, Universit´ Louis Pasteur et CNRS,
7 rue Ren´ Descartes, 67084 Strasbourg cedex, France.
E-mail :Michele.Audin@math.u-strasbg.fr
Url :http://www-irma.u-strasbg.fr/~maudin

Mots clefs.fonction holomorphe, fonction analytique, exponentielle, logarithme, th´or`me de
Cauchy, principe du maximum, th´or`me de Liouville, indice, singularit´s, fonctions m´romorphes, fonction
℘de Weierstrass, produit inﬁni, th´or`me des r´sidus, fonction zˆta de Riemann, th´or`me des nombres
premiers.

La ﬁgure de couverture repr´sente la fonction℘de Weierstrass et a ´t´ dessin´e par Olivier Elchinger.
8 juin 2009

ANALYSE COMPLEXE

Mich`le Audin

R´sum´.Ces notes de cours sont une introduction ` l’analyse complexe, avec cent quatre-vingt-onze
exercices et vingt-cinq ﬁgures. On y ´tablit, pour les fonctions d’une variable complexe, l’´quivalence
entre holomorphie et analyticit´ (Cauchy, Morera). On y discute de la question du logarithme et plus
g´n´ralement des primitives, des pˆles et autres singularit´s. Pour ce faire, on y int`gre les fonctions
sur les chemins, ce qui am`ne le th´or`me des r´sidus et ses applications plus ou moins calculatoires.
On y construit et ´tudie aussi des fonctions elliptiques, la fonction zˆta de Riemann, et on y d´montre
le th´or`me des nombres premiers.

TABLEDESMATI`RES

Pr´face. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pr´requis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sources, r´f´rences et remerciements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .vii. .
Et apr`s?viii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R´sum´ des propri´t´s utilis´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Notions de topologie g´n´rale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vocabulaire des s´ries num´riques, des s´ries de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Les bases du calcul diﬀ´rentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .

1
1
2
3

I. S´ries enti`res et fonctions analytiques5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.1. D´ﬁnitiondes fonctions analytiques5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .
I.2. Lesprincipes des z´ros isol´s et du prolongement analytique7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.3. D´rivabilit´et analyticit´ des s´ries enti`res convergentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9. . . . . .
I.4. Exponentielleet surtout logarithme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
Exercices19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II. Fonctions holomorphes27. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.1. D´ﬁnitiondes fonctions holomorphes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
II.2. Analyticit´des fonctions holomorphes30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.3. Lesgrands th´or`mes sur les fonctions holomorphes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34. . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38

III. Int´grales curvilignes, primitives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.1. Int´grationle long des chemins. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.2. Homotopiedes chemins et int´grales de fonctions holomorphes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.3. Probl`mesde primitives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.4. Indiced’un point par rapport ` un lacet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IV. Points singuliers, fonctions m´romorphes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.1. Fonctionsholomorphes dans une couronne et s´ries de Laurent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.2. Pointssinguliers, fonctions m´romorphes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.3. Lasph`re de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.4. Singularit´sessentielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45
45
49
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58

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65
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74
77

TABLEDESMATI`RES

V. Le th´or`me des r´sidus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81
V.1. Leth´or`me des r´sidus81. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.2. Applicationsdu th´or`me des r´sidus au calcul d’int´grales85. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89
VI. Exemples de constructions de fonctions95. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VI.1. Exemplesde fonctions p´riodiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95. . . . . . . .
VI.2. Exemplede fonction bi-p´riodiques : la fonction℘de Weierstrass. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98
VI.3. Produitsinﬁnis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VI.4. Leth´or`me des nombres premiers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 109
Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Notices biographiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Niels Henrik Abel, 1802-1829. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121. . . . . . .
Archim`de, 287 av. notre `re-212 av. notre `re. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Jakob Bernoulli, 1654-1705. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Friedrich Bessel, 1784-1846. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Bernard Bolzano, 1781-1848. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
´mileBorel,1871-1956. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Augustin-Louis Cauchy, 1789-1857. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123. . .
Felice Casorati, 1835-1890. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .