TS2 correction du devoir no I Antilles Guyane septembre

TS2 : correction du devoir no 6 I Antilles-Guyane septembre 2009 Soit f la fonction définie pour tout nombre réel x de l'inter- valle ]0 ; 1] par : f (x)= 1+ x lnx. 1. (a) D'après les formules de croissances comparées, lim x?0 x lnx = 0 donc lim x?0 f (x)= 1 . (b) Pour tout x ?]0 ; 1], lnx É 0 donc x lnx É 0 et f (x)= 1+ x lnx É 1 . 2. (a) f est dérivable comme somme et produit de fonc- tions dérivables sur ]0 ; 1]. Pour tout x ?]0 ; 1], f ?(x)= 0+1?lnx+x? 1 x = 1+lnx ; f ?(x)= 1+ lnx . (b) L'équation réduite de la tangente à C en 1 est : y = f ?(1)(x ?1)+ f (1) ; f ?(1)= 1 et f (1)= 1. Cette équation est donc : y = (x ?1)+1 soit : y = x. Cette tangente est donc T . 3. On note g la fonction définie pour tout nombre réel x ? ]0 ; 1] par g (x)= 1+ x lnx ? x.

• théorème de conver- gence monotone


• conséquent lim


• ln? ?


• tions dérivables