CORRIGÉ Session Liban Juin Exercice

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CORRIGÉ. Session Liban, Juin 2004. Exercice 1. Partie A Étude théorique Il y a 3 niveaux (0, 1 et 2) et, à chaque niveau, il y a 2 possibilités (G et D). Par conséquent, il y a en tout 23 = 8 chemins possibles. Pour les trouver, on peut s'aider de l'arbre suivant : Entrée Niv. 1 Niv. 2 Niv. 3 Parcours Sortie G G G G G D G D G G D D D G G D G D D D G D D D 0 1 1 2 1 2 2 3 G G G G G G D D G G D D G D Les sorties 0 et 3 ont 1 cas favorable sur les 8 possibles, ce qui correspond à une fréquence théorique égale à 1/8 ?100% = 12,5%. Les sorties 1 et 2 ont 3 cas favorables sur les 8 possibles, ce qui correspond à une fréquence théorique égale à 3/8 ?100% = 37,5%. D'où le tableau des fréquences théoriques : Sortie no 0 1 2 3 Nombre de chemins possibles 1 3 3 1 Fréquences théoriques (en %) 12,5 37,5 37,5 12,5 Partie B Simulation à l'aide d'un tableur 1.

temps de l'heure

fréquence théorique

format pourcentage

population de bactéries

heure donnée

pourcentage correspondant

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Publié par	apmep
Publié le	01 juin 2004
Nombre de lectures	66
Langue	Français

Extrait

CORRIGÉ. Session Liban, Juin 2004.

Exercice 1. Partie A Étude théorique Il y a 3 niveaux (0, 1 et 2) et, à chaque niveau, il y a 2 possibilités (G et D). Par conséquent, il y a en 3 tout2 =8chemins possibles. Pour les trouver, on peut s’aider de l’arbre suivant : G G G G0 G G GG D1 G G GD G1 G D GD D2 G DG G1 G D DG D2 D G DD G2 D D D D3 D Entrée Niv.1 Niv.2 Niv.3 ParcoursSortie Les sorties 0 et 3 ont 1 cas favorable sur les 8 possibles, ce qui correspond à une fréquence théorique égale à 1/8×100 %= 12,5 %. Les sorties 1 et 2 ont 3 cas favorables sur les 8 possibles, ce qui correspond à une fréquence théorique égale à 3/8×= 37100 %,5 %. D’où le tableau des fréquences théoriques : o Sortie n0 1 2 3 Nombre de chemins possibles1 3 3 1 Fréquences théoriques (en%) 12,537,5 37,5 12,5

Partie B Simulation à l’aide d’un tableur 1.[m−2s;m+ 2s] = [0,364−2×0,0051 ;,364 + 2×0,051] = [0,262 ;0,466]. Il y a 46 valeurs dans cet intervalle : le pourcentage correspondant est 46/50×100 %%= 92. Ce résultat ne correspond à ce que l’on peut attendre d’une série gaussienne car on aurait dû obtenir 95%. (50 est « petit ».) 2.•50÷2 = 25. La médiane est donc la plus petite valeur telle qu’au moins 25 valeurs de la série lui soient inférieures ou égales : Me = 0,360.•50÷4 = 12,5. Le premier quartile est la plus petite valeur telle qu’au moins 13 valeurs de la série lui soient inférieures ou égales :Q1= 0,330. •3×50÷4 = 37,5. Le troisième quartile est la plus petite valeur telle qu’au moins 38 valeurs de la série lui soient inférieures ou égales :Q3= 0,400. Diagrammes en boîte :

50 simulations de 500 progressions 50 simulations de 1000 progressions

0.25 0.26 0.27 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.40 0.41 0.42 0.43 0.44 0.45 0.46 0.47 3. (a)La série qui semble donner les fréquences les plus proches de la fréquence théorique est celle qui est constituée des 50 simulations de 1000 progressions : on y trouve la plus petite étendue et le plus petit écart interquartile. (b) Ilfaudrait augmenter le nombre de progressions.

Exercice 2. Partie A : Évolution d’une population de bactéries

1. Onlit que le temps de latence est environ 2 h 15.(Voir le graphique en ﬁn de corrigé. Chaque graduation rajoutée correspond à un quart d’heure). 2. Lescellules sont au format pourcentage donc la première formule est à rejeter. La seconde formule calcule le pourcentage d’évolution entre la population à la première heure (à cause de l’adresse absolue $B$2) et celle à une heure donnée donc la deuxième formule est à rejeter. La formule que l’on doit insérer dans la cellule C3 est la troisième. 1 644−1 587 Le calcul du premier pourcentage à donner est×100 %≈3,59 %. 1 587 Le tableau complété est placé en ﬁn d’exercice. 3. Ily a surpopulation au bout de 7 h : le premier pourcentage inférieur à 1% vaut à ce momentlà 0,91 %.

Partie B : Comparaison avec un modèle mathématique

67 1. Augmenterune valeur de 67% équivaut à la multiplier par1 += 1,67. 100 u1= 73×1,67≈122, u2= 122×1,67≈204, u3= 204×1,67≈340. 2. On multiplie chaque terme par 1,67 pour avoir le suivant. La suite(un)est donc une suite géométrique de raisonq= 1,67 (et de premier termeu0= 73). 3. (a)Lorsque le modèle théorique considéré sousévalue la réalité, la courbe représentant la suite (un)est endessous de celle représentant la suite(pn),C. L’intervalle de temps demandé est donc [3; 6].(Voir le graphique.) (b) Lemodèle théorique(un)s’éloigne avec l’observation(pn)à partir de 6 h. 4. (a)Avec les caractéristiques de la suite(un)données dans la question 2, on peut écrire : n n pour toutn,un=u0×q=u0×1,67. (b) D’aprèsles questions précédentes, on sait que la suite(un)donne une bonne approximation de la suite(pn)pourn66. n On peut donc proposer : pour toutn(n66),pn= 73×1,67.

Tableau de l’exercice 2 A BC 1nPopulation(pn)Pourcentage d’augmentation 2 073 3 182 12,33% 4 2149 81,71% 5 3341 128,86% 6 4612 79,47% 7 5982 60,46% 8 61 58760,61 % 9 71 6443,59 % 10 81 6590,91 % 11 91 6680,54 % 12 101 6700,12 %

D Suite(un) 73 122 204 340 568 948 1 584 2 44 4 416 7 375 12 317

2000 1800 1600 C 1400 1200 1000 800 600 400 200 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 910 temps en heures 2600 2400 2200 2000 1800 1600 C 1400 1200 1000 800 Suite(un) 600 400 200 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 910 temps en heures