Vrai/faux convergence de suites, équation paramétrique en 3 dimensions, géométrie complexe et analyse de fonctions. Sujet du bac 2009, Terminale S, Antilles, seconde session
Bac S – Antilles-Guyane – Septembre 2009 EXERCICE 1 : (4 points) Commun tous les candidats VRAI OU FAUX Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la rponse donne. PARTIE A n * Soit (un) la suite dfinie pour toutn∈parun= (–1). 1.La suite (u) est borne. n 2.La suite (u) converge. n u n 3.La suite de terme gnralconverge. n 4.Toute suite (vn) termes strictement positifs et dcroissante converge vers 0. PARTIE B 1.SiAetBsont deux vnements indpendants avecP(B)≠0 etP(B)≠1, alorsP(AB) =PB(A). 2.SiXest une variable alatoire suivant la loi uniforme sur [0 ; 1], alorsP(X∈[0,1 ; 0,6]) = 0,6. 1 3.SiXest une variable alatoire suivant la loi binomiale de paramtres 100 et, alors 3 100 2 P(X1) = 1 –. 3 EXERCICE 2 : (5 points) Candidats nayant pas choisi lenseignement de spcialit Lespace est muni dun repre orthonormO . On considre les points A (1 ; −1 ; 4), B (7 ; −1 ; −2) et C (1 ; 5 ; −2). 1.a. Calculer les coordonnes des vecteurs AB, AC et BC. b. Montrer que le triangle ABC est quilatral. c. Montrer que le vecteurn(1 ; 1 ; 1) est un vecteur normal au plan (ABC). d. En dduire quex+y+z −4 = 0 est une quation cartsienne du plan (ABC). x= –2t 2.Soit () la droite dey= –2t– 2ot∈. reprsentation paramtrique z= –2t– 3 a. Montrer que la droite () est perpendiculaire au plan (ABC). b. Montrer que les coordonnes du point G, intersection de la droite () et du plan (ABC) sont (3; 1 ; 0). c. Montrer que G est lisobarycentre des points A, B et C. 3.Soit () la sphre de centre G passant par A. a. Donner une quation cartsienne de la sphre (). b. Dterminer les coordonnes des points dintersection E et F, de la droite () et de la sphre ().
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EXERCICE 3 : (5 points) Commun tous les candidats Le plan complexe est rapport un repre orthonormal directOuvdunit graphique 1 cm. Faire une figure que lon compltera au fur et mesure des questions. 1.Placer les points A, B et C daffixes respectivesz= –11 + 4i,z= –3 – 4i etz= 5 + 4i. A BC z–z A B 2.et en dduire la nature du triangle ABC.Calculer le module et un argument du quotient z–z C B π 3.Soit E limage du point C par la rotation.de centre B et dangle 4 Montrer que laffixe de E vrifiez4)i.2 –= –3 + (8 E Placer le point E. 2 4.Soit D limage du point E par lhomothtiede centre B et de rapport. 2 Montrer que D est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Placer le point D. 5.Dans cette question, toute trace de recherche, mme incomplte, ou dinitiative, mme non fructueuse, sera prise en compte dans lvaluation. Soit (Δ) la droite parallle la droite (EC) passant par le point D. On note F le point dintersection de la droite (Δ) et de la droite (BC), I le milieu du segment [EC] et J le milieu du segment [DF]. Montrer que B, I et J sont aligns.
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EXERCICE 4 :(6 points) Commun tous les candidats Soitla fonction dfinie pour tout nombre relxde lintervalle ]0 ; 1] par :(x) = 1 +xlnx. On notela fonction drive de la fonctionsur lintervalle ]0 ; 1]. est la courbe reprsentative de la fonctiondans un repre orthonormalO. Test la droite dquationy=x. La courbeet la droiteTsont reprsentes sur le schma ci-dessous.
1.a. Justifier que lim(x) = 1. x→0 b. En utilisant le signe dexlnxsur ]0 ; 1], montrer que, pour tout nombre relx∈]0 ; 1], on a(x)1. 2.a. Calculer(x) pour tout nombre relx∈]0 ; 1]. b. Vrifier que la droiteTest tangente la courbeau point dabscisse 1. 3.On notegla fonction dfinie pour tout nombre relx∈]0 ; 1] parg(x) = 1 +xlnx–x. a. tudier les variations degsur lintervalle ]0 ; 1] et dresser le tableau de variation deg. Onne cherchera pas la limite degen 0. b. En dduire les positions relatives de la courbeet de la droiteT. 1 4.Soitαun nombre rel tel que 0 <α< 1. On poseI(α[1 –) =(x)] dx. α 2 2 α1α a. laide dune intgration par parties, montrer queI(α)=lnα+ −. 2 44 b. Dterminer limI(α). α→0 c. Interprter graphiquement le rsultat prcdent. d. laide des rsultats prcdents, dterminer, en units daire, laire du domaine compris entre la courbe, la droiteTet laxe des ordonnes. S-Antilles-obli-sept09 3