EXERCICE15 points Commun à tous les candidats −→−→−→ Dans l’espace muni d’un repère orthonormalO,ı,,k, on donne les points A(2 ; 1 ; 3), B(−3 ;−1 ; 7) et C(3 ; 2 ; 4). 1.Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. x= −7+2t 2.Soit (d) la droite de représentation paramétriquey= −3t z=4+t a.Montrer que la droite (d) est orthogonale au plan (ABC). b.Donner une équation cartésienne du plan (ABC). 3.Soit H le point commun à la droite (d) et au plan (ABC). a.Montrer que H est le barycentre de (A ;−2), (B ;−1) et (C ; 2). b.Déterminer la nature de l’ensembleΓ1, des pointsMde l’espace tels que −−→ −−→−−→ −−→−−→ −2MA−MB+2MC∙MB−MC=0
En préciser les éléments caractéristiques. c.Déterminer la nature de l’ensembleΓ2, des pointsMde l’espace tels que −−→ −−→−−→ −2MA−MB+2MC=29
En préciser les éléments caractéristiques. d.Préciser la nature et donner les éléments caractéristiques de l’intersec tion des ensemblesΓ1etΓ2. e.Le point S (−8 ;1 ;3) appartientil à l’intersection des ensemblesΓ1et Γ2.
EXERCICE25 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité −→−→ Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé directO,u,v. On prendra 2 cm pour unité graphique. Soit A le point d’affixe i et B le point d’affixe 2. 1. a.Déterminer l’affixe du point B1image de B par l’homothétie de centre A et de rapport2. b.Déterminer l’affixe du point Bimage de B1par la rotation de centre A et π d’angle . 4 Placer les points A, B et B . 2.On appellefla transformation du plan dans luimême qui, à tout pointM d’affixez, associe le pointMd’affixeztel que
z=(1+i)z+1.
a.Montrer que B a pour image Bparf. b.Montrer que A est le seul point invariant parf.
Baccalauréat S
z−z c.Établir que pour tout nombre complexezdistinct de i,= −i. i−z Interpréter ce résultat en termes de distances puis en termes d’angles. En déduire une méthode de construction de Mà partir deM, pourM distinct de A. 3. a.Donner la nature et préciser les éléments caractéristiques de l’ensemble Σ1des pointsMdu plan dont l’affixezvérifie|z−2| =2. b.Démontrer quez−3−2i=(1+i)(z−2). En déduire que si le pointMappartient àΣ1, alors son imageMparf appartient à un cercleΣ2, dont on précisera le centre et le rayon. c.TracerΣ1etΣ2sur la même figure que A, B et B .
EXERCICE25 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité −→−→ Dans le plan complexe muni du repère orthonormal directO,u,v, on consi dère les points A d’affixe 3i et B d’affixe 6 ; unité graphique : 1 cm.
Partie A 1.Montrer qu’il existe une similitude directe et une seule qui transforme A en O et O en B. Préciser ses éléments caractéristiques. 2.Montrer qu’il existe une similitude indirecte et une seule qui transforme A en O et O en B.
Partie B 1.Soitfla transformation du plan dans luimême qui, à tout pointMd’affixez, associe le pointMd’affixez= −2z+6 oùzdésigne le conjugué dez. Montrer quefpossède un point invariant et un seul. On note K ce point. 1 2.Soith.l’homothétie de centre K et de rapport 2 On poseg=f◦h. a.Montrer quegest une isométrie laissant invariant le point K. b.On désigne parMl’image du pointMd’affixezpar la transformation g. Montrer que l’écriture complexe degestz= −iz+2+2i oùzest l’affixe deM. −→ c.Montrer qu’il existe sur l’axeO,vun unique point invariant parg; on le note L. Reconnaître alors la transformationg. d.En déduire que la transformationfest la composée d’une homothétie hsuivie de la réflexion d’axe (KL). Préciser les éléments caractéristiques deh. 3.Déterminer les droitesΔtelles quef(Δ) etΔsoient parallèles.
EXERCICE3 Commun à tous les candidats
7 points
Partie A : étude d’une fonction Soitfla fonction définie sur l’intervalle [0 ;+∞[ par f(x)=xln(x+1). −→−→ Sa courbe représentative (CO,) dans un repère orthogonalu,vest donnée en annexe.
Liban
2
mai 2006
Baccalauréat S
1. a.Montrer que la fonctionfest strictement croissante sur l’intervalle [0 ;+∞[. b.L’axe des abscisses estil tangent à la courbe (C) au point O ? 1 2 x 2.On pose I=dx. 0x+1 a.Déterminer trois réelsa,betctels que, pour toutx= −1,
2 x c =a x+b+. x+1x+1
b.Calculer I. 3.À l’aide d’une intégration par parties et du résultat obtenu à la question 2, calculer, en unités d’aires, l’aireAde la partie du plan limitée par la courbe (C) et les droites d’équationsx=0,x=1 ety=0. 4.Montrer que l’équationf(x)=0, 25admet une seule solution sur l’intervalle [0 ;1]. On noteαcette solution. Donner un encadrement deαd’amplitude −2 10 .
Partie B : étude d’une suite 1 n La suite (un) est définie surNparun=xln(x+1) dx. 0 1.Déterminer le sens de variation de la suite (un). La suite (un) convergetelle ? ln 2 2.Démontrer que pour tout entier naturelnnon nul, 0un. n+1 En déduire la limite de la suite (un).
EXERCICE43 points Commun à tous les candidatsLa durée de vie d’un robot, exprimée en années, jus qu’à ce que survienne la première panne est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètreλ, avecλ>0. Ainsi, la probabilité qu’un robot tombe en panne avant l’instanttest égale à t −λx p(Xt)=λe dx. 0 −1 1.Déterminerλ, arrondi à 10près, pour que la probabilitép(X>6) soit égale à 0,3. Pour la suite de l’exercice, on prendraλ=0, 2. 2.À quel instantt, à un mois près, la probabilité qu’un robot tombe en panne pour la première fois estelle de 0,5 ? 3.Montrer que la probabilité qu’un robot n’ait pas eu de panne au cours des −0,4 deux premières années est e. 4.Sachant qu’un robot n’a pas eu de panne au cours des deux premières années, −2 quelle est, à 10près, la probabilité qu’il soit encore en état de marche au bout de six ans ? 5.On considère un lot de 10 robots fonctionnant de manière indépendante. Déterminer la probabilité que, dans ce lot, il y ait au moins un robot qui n’ait pas eu de panne au cours des deux premières années.
Liban
3
mai 2006
Exercice3
5 y 5
4 4
3 3
2 2
1 1
Annexe
Baccalauréat S
Représentation graphique de la fonctionfobtenue à l’aide d’un tableur