Bac ES – Asie – juin 2009 EXERCICE 1 (5 points) Commun tous les candidats Le tableau ci-dessous donne le prix du kilogramme de pain dans un quartier dune grande ville depuis 2001 (les prix sont relevs au premier janvier). Anne 20002001 2002 2003 2004 2005 Rangxi 12 3 4 5 6 Prixyidu kilogramme de pain en euro1,90 1,94 2,01 2,07 2,13 2,16 1.Calculer le pourcentage dvolution du prix du kilogramme de pain dans ce quartier entre les annes 2000 et 2005. On donnera une valeur arrondie au centime. 2.Reprsenter le nuage de points associ la srie (xi;yi) dans un repre du plan. 3.(a) Pourquoi un ajustement affine du nuage de points est-il justifi ? (b) Dterminer une quation de la droite (D) dajustement affine deyetxobtenue par la −3 mthodedes moindres carrs. Les coefficients seront arrondis 10prs. (c) Reprsenter la droite (D) dans le repre prcdent. (d) En admettant que le modle prcdent est valable pour les annes suivantes, calculer leprix du kilogramme de pain dans ce quartier en 2010 (valeur arrondie au centime). 4.On considre maintenant un autre modle pour tudier lvolution du prix du kilogramme de pain dans ce quartier. Les relevs de prix entre 2005 et 2008 ont permis de constater que le prix du kilogramme de pain a augment de 1,5 % par an. En admettant que le prix du kilogramme de pain continue daugmenter chaque anne de 1,5 %, calculer le prix du kilogramme de pain dans ce quartier en 2010 (valeur arrondie au centime). 5.Pour chacun des modles prcdents, dterminer partir de quelle anne le prix du kilogramme de pain dans ce quartier dpassera 2,60 euros.
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EXERCICE 2 (5 points) Candidats nayant pas suivi lenseignement de spcialit Une association propose ses adhrents une sortie payante. Les adhrents peuvent choisir demporter leur pique-nique ou de payer lassociation un supplment pour le repas. Le tableau ci-dessous donne les diffrents tarifs suivant lge des adhrents. A : adultesB : jeunesC : enfants catgorie (plus de 18 ans)de 10 18 ansde moins de 10 ans prix de la sortie20 €15 €8 € prix du repas6 €5 €3 € Lassociation a inscrit 87 participants pour cette sortie, dont 58 adultes et 12 enfants de moins de 10 ans. La moiti des adultes, un quart des enfants de moins de 10 ans et 10 jeunes de 10 18 ans ont emmen leur pique-nique. On choisit un participant au hasard, et on note : -Alvnement « le participant fait partie de la catgorie A » ; -Blvnement « le participant fait partie de la catgorie B » ; -Clvnement « le participant fait partie de la catgorie C » ; -Rlvnement « le participant choisit le repas propos par lassociation ». 1.Reprsenter la situation laide dun arbre pondr, qui sera complt au cours de la rsolution de lexercice. 2.(a) Calculer la probabilit de lvnementB. (b) Calculer la probabilit de lvnementRA. 15 (c) Montrer que la probabilit de lvnementR.est gale 29 (d) Sachant que le participant choisi a pris le repas propos par lassociation, quelle est la probabilitque ce participant soit un adulte ? 3.On noteXle prix pay lassociation par un participant. (a) Dterminer les diffrentes valeurs que peut prendre le prixX. (b) tablir la loi de probabilit du prixX.
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EXERCICE 2 (5 points) Candidats ayant suivi lenseignement de spcialit Un enfant joue aux flchettes. Un adulte observe son jeu et remarque que si lenfant atteint la cible lors dun lancer, alors il atteint encore la cible au lancer suivant avec une probabilit gale 3 . 4 Si lenfant natteint pas la cible lors dun lancer, alors il atteint la cible au lancer suivant avec 1 une probabilit gale . 8 1 Lors du premier lancer, lenfant atteint la cible avec une probabilit gale . 10 1.On noteCltat : « lenfant atteint la cible » et on noteRltat : « lenfant natteint pas la cible ». (a) Reprsenter la situation par un graphe probabiliste. (b) crire la matrice de transitionMde ce graphe en considrant les tats dans lordre alphabtique. 2.On dsigne parnun nombre entier naturel non nul. SoientCnlvnement : « lenfant atteint la cible aun-ime lancer », etRnlvnement : « lenfant natteint pas la cible aun-ime lancer ». Ltat probabiliste lors dun-ime lancer est donn par la matrice ligneEn= (cnrn) ocndsigne la probabilit de lvnementCnetrnla probabilit de lvnementRn. (a) crire la matrice ligneE1de ltat probabiliste initial. (b) Dterminer la matrice ligneE3et donner une interprtation du rsultat obtenu. 3.SoitE= (cr) la matrice ligne de ltat stable. (a) Dterminercetr. (b) Ladulte affirme quaprs un trs grand nombre de lancers, lenfant a deux fois plus dechance de manquer la cible que de latteindre. Cette affirmation est-elle justifie ?
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EXERCICE 3 (4 points) Commun tous les candidats Pour chacune des questions de ce QCM, une seule des quatre propositions (a), (b), (c) ou (d) est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numro de la question et la lettre correspondant la rponse choisie. Aucune justification nest demande. Une rponse exacte rapporte un point. Un rponse inexacte ou une absence de rponse nenlve aucun point. 1.Une ville ne pleine expansion a vu sa population augmenter de 20 % pendant quatre annes conscutives, puis de 7 % durant chacune des cinq annes suivantes, et enfin de 6 % la dixime et dernire anne. Le taux daugmentation annuel moyen (arrondi au dixime) durant la dcennie qui vient de scouler slve : (a)33 % (b)12,1 % (c)11,9 % (d)11,0 % 2.La population de la ville voisine a diminu de 5 % en 2008. Quel pourcentage daugmentation (arrondi au dixime) devrait-elle connatre en 2009 pour que le nombre er er dhabitants le 1janvier 2010 soit gal au nombre dhabitants la date du 1janvier 2008 ? (a)10,0 % (b)5,3 % (c)5,0 % (d)4,7 % 3.Le double du logarithme dun nombre est gal au logarithme de la moiti de ce nombre. Quel est ce nombre ? (a)–1 (b)0 (c)0,5 (d)2 4.Une fonction, dfinie et drivable sur lintervalle [0 ;+∞[, est strictement croissante sur lintervalle [0 ; 5] et strictement dcroissante sur lintervalle [5 ;+∞[. Sa courbe reprsentativeCdans un repre du plan admet une tangente T au point dabscisse 6. Laquelle des quations suivantes est celle de la tangente T ? (a)y= –3x+ 3 (b)y=x(c)y= 6x–36 (d)x= 6
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EXERCICE 4 (6 points) Commun tous les candidats On considre les fonctionsetgdfinies sur lintervalle [0 ;+∞[ par : x−4x+ 5 (x) = (4 –x)e etg(x) = 2 ln. x+ 1 Partie A : tude des fonctionsetg. 1.(a) Dterminer la limite de la fonctionen+∞. (b) Montrer que, pour tout nombre relxde lintervalle [0 ;+∞[, on a : x−4 (x) = (6 –x)e . (c) tudier les variations de la fonctionsur lintervalle [0 ;+∞[ et tablir son tableau de variation. x+ 5 2.(a) Soithla fonction dfinie sur ]−∞; –1 [] –1 ;+∞[ par :h(x) =. x+ 1 Letableau de variation de la fonctionhest donn ci-dessous : x−∞ –1+∞h(x) –− 1+∞h(x) −∞ 1 Dterminer,en le justifiant, le sens de variation de la fonctiongsur lintervalle [0;+∞[. (b) Dterminer la limite de la fonctiongen+∞. Quelle en est la consquence graphique ? 3.Les courbes reprsentatives des fonctionsetgsont donnes dans le repreOci-dessous.
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(a) Laquelle de ces deux fonctions est reprsente par la courbeC1? (b) Dterminer graphiquement une valeur approche arrondie lunit des solutions de lquation(x) =g(x) sur lintervalle [0 ;+∞[. (c)Dans cette question, toute tentative dexplication de la dmarche ou de la mthode utilisesera valorise. 3 Leprofesseur a demand Perrine et Elliot de calculer(x) dx. 0 Voicides extraits de leurs productions : Production de Perrine: x−4 Uneprimitive deestFtelle queF(x) = (8 –x)e , 3 –1–4 donc(x) dx= 5e– 8e≈1,69. 0 Production dElliot: 1 2x−4 Uneprimitive deestFtelle queF(x) = (7x–x)e , 2 3 –1 donc(x) dx= 16,5e≈6,07. 0 Lorsde la correction, le professeur indique que lun des deux sest tromp. Est-ce Perrineou Elliot ? Justifier le choix. Partie B : Application conomique. Sur lintervalle [0 ; 5], la fonctionmodlise la fonction doffre des producteurs dun certain produit et la fonctiongmodlise la fonction demande des consommateurs pour ce mme produit. La quantitxest exprime en millier de tonnes et le prix(x) oug(x) est en euro par kg. On rappelle que le prix dquilibre est le prix qui se forme sur le march lorsque loffre est gale la demande. La quantit dquilibre est la quantit associe au prix dquilibre. Par lecture graphique, donner une valeur approche de la quantit dquilibrex0, ainsi quune valeur approche du prix dquilibrey0.