QCM étude de fonction, nuage de point et droite d'ajustement, arbre de probabilité, étude de courbe et intégrales. Sujet du bac 2009, Terminale ES, Polynésie, seconde session
Bac ES – Polynsie – septembre 2009 Exercice 1(4 points)Commun tous les candidats Pour chacune des questions ci-dessous, une et une seule affirmation est juste. Le candidat doit porter sur sa copie le numro de la question ainsi que la lettre associe la rponse choisie. Aucune justification nest demande. Une bonne rponse rapporte 1 point, une mauvaise rponse retire 0,25 point et labsence de rponse napporte ni ne retire aucun point. Si le total des points est ngatif, la note de lexercice est ramene 0. On dsigne parune fonction dfinie sur lintervalleI= ]–1 ;+∞[. 1.Si la fonctionvrifie que : lim(x) =−∞et lim(x) =+∞, alors : x→– 1x→ + ∞ a.on peut affirmer que la fonctionest croissante surI; b.on peut affirmer que la fonctionest monotone surI; c.on ne peut pas en dduire le sens de variation desurI. –(x) 2.Siest strictement croissante sur [10 ;+∞[, et sigest la fonction dfinie par :g(x,) = e alors : a.gest strictement croissante sur [10 ;+∞[ ; b.on ne peut pas dterminer le sens de variation deg; c.gest strictement dcroissante sur [10 ;+∞[. 1 32 3.SiFest la primitive desurIen 1 et si, qui rend la valeur(t) dtalors := , 7 5 0 1 a.F(0) =; 2 1 b.F;(0) = 35 c.on ne peut pas dterminerF(0). 4.Si la fonctionuest dfinie paru(x) = ln((x)) alors : a.la fonctionuest dfinie sur ]0 ;+∞[ ; b.la fonctionuest dfinie surI; c.on ne peut pas donner le domaine de dfinition de la fonctionu.
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Exercice 2(6 points)Commun tous les candidats Le tableau ci-dessous donne les cumuls des nombres dentres de cinq films sortis au cours de lanne 2006, dune part en rgion parisienne, dautre part sur la France dans son ensemble. (source : « le film franais », chiffres arrts au 3 avril 2007) Nombres dentres en rgion Indiceidentres en France Nombres Film parisienneen centaines de (1icentaines de milliers :5) enyimilliers :xiPirate des 1 1075 Carabes 2 Arthur et les 2 962 Minimoys Da Vinci Code3 7,541,5 Ne le dis 4 6,532 personne Indignes 55 29,5 1. a.Reprsenter le nuage de points associ la srie statistique (xi;yi) (1idans 5) le plan rapport un repre orthogonal (units graphiques : 1 cm pour une centaine de milliers dentres sur laxe des abscisses et 1 cm pour 10 centaines de milliers dentres sur laxe des ordonnes). b.Dterminer les coordonnes du point moyen G de cette srie et placer G dans le repre prcdent. c.Donner, laide de la calculatrice, une quation deΔ, droite dajustement deyenxobtenue par la mthode des moindres carrs (les coefficients sont arrondis au dixime).Tracer cette droite dans le repre prcdent. d.En utilisant cette approximation affine, calculer le nombre dentres cumules sur la France quon aurait pu prvoir pour le film « Les bronzs 3 » sachant quil en a ralis 1 140 00 en rgion parisienne (on arrondira le rsultat la dizaine de milliers dentres). 2.La forme du nuage de points ci-dessus suggre de faire un ajustement par une courbe de B x type exponentiel dquationy=Ae (oAetBsont des rels). Pour cela on pose dabordz= ln(y). −2 a.Recopier et complter le tableau suivant avec des valeurs dezarrondies 10 I (1i5). xi6,5 5 109 7,5 yi 7562 41,5 32 29,5 z= ln(y) i ib.Dterminer, laide de la calculatrice, une quation de la droite dajustement dezenxpar la mthode des moindres carrs (les coefficients seront arrondis au millime).
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−3 c.En utilisant la relationz= ln(y) dterminer alors les valeurs arrondies 10des B x relsAetBtels quey=Ae . 0,202x d.En utilisant lapproximationy≈, quel nombre dentres cumules sur9,689 e la France aurait-on pu prvoir pour le film « Les bronzs 3 » sachant quil a ralis 1 140 000 en rgion parisienne ? On arrondira le rsultat au millier dentres. 3.Le nombre dentres en fin dexploitation pour ce film sur la France a t de 10 300 000. Lequel des 2 ajustements semble le plus appropri ?
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Exercice 3(5 points)Pour les candidats nayant pas suivi lenseignement de spcialit Les deux parties de cet exercice sont indpendantes. Partie A On ralise une exprience alatoireAdsigne un vnement etAson vnement contraire. On posep(A) =x. 1.Exprimerp(A) en fonction dex. 2.Dterminer les valeurs possibles dexsachant que :p(A)p(A) = 0,24. Partie B La « Revue Spciale dEconomie » et le « Guide des Placements en Bourse » sont deux magazines mensuels offrant leurs lecteurs la possibilit dabonnements communs. On sintresse lensemble des lecteurs de lune ou lautre de ces deux revues. Parmi ces lecteurs, certains sont abonns. Les abonns ont souscrit soit lun des deux abonnements, soit les deux abonnements simultanment. Une tude a permis de constater que : •60 % de lensemble des lecteurs ont souscrit un abonnement la « Revue Spciale 3 dEconomie », et parmi euxont aussi choisi labonnement au « Guide des Placements 5 en Bourse » ; •10 % des lecteurs nayant pas choisi labonnement la « Revue Spciale dEconomie », ont souscrit labonnement au « Guide des Placements en Bourse ». On note : Alvnement : « le lecteur a choisi labonnement la « Revue Spciale dEconomie » » ; Blvnement : « le lecteur a choisi labonnement au « Guide des Placements en Bourse » ». On interroge un lecteur au hasard. 1.Dduire de lnonc les probabilitsp(A),p(A) etpA(B). Reproduire et comlter larbre suivant :
2.a. Traduire par une phrase lvnementAB. Donner sa probabilit. b. Traduire par une phrase lvnementAB. Donner sa probabilit. 3.Calculerp(B). En dduire la probabilit quun lecteur soit abonn la « Revue Spciale dEconomie », sachant quil est abonn au « Guide des Placements en Bourse ». 4.On interroge au hasard 3 lecteurs, indpendamment les uns des autres. Calculer la probabilit pour quau moins lun deux ait choisi labonnement au « Guide des Placements en Bourse ». ES-Polynesie-sept09 Page4 sur 6
Exercice 3(5 points)Pour les candidats ayant suivi lenseignement de spcialit On considre une population donne dune le de Bretagne se rendant rgulirement sur le continent. Deux compagnies maritimes A et B effectuent la traverse. En 2008, 60 % de la population voyage avec la compagnie A. Les campagnes publicitaires font voluer cette rpartition. Une enqute indique alors que chaque anne 20 % des clients de la compagnie A labandonnent au profit de la compagnie B et que 10 % des clients de la compagnie B choisissent la compagnie A. Pour tout entier natureln, ltat probabiliste de lanne 2008 +nest dfini par la matrice ligne (xnyn) oxndsigne la proportion de la population qui voyage avec la compagnie A etynla proportion de la population qui voyage avec la compagnie B. 1.Reprsenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B. 2.Ecrire la matrice de transition M de ce graphe en prenant les sommets A et B dans cet ordre. 3.Prciser ltat initialP0puis montrer queP1= (0,520,48). 4.Dterminer la rpartition prvisible du trafic entre les compagnies A et B en 2011. 5.Dterminer ltat stable et linterprter. 6.Montrer que, pour tout entier natureln,xn+ 1= 0,7xn+ 0,1. 4 1 n 7.On admet que, pour tout entier natureln,xn+ .= 0,7 15 3 Dterminer la limite de la suite (xn) et linterprter.
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Exercice 4(5 points)Commun tous les candidats Le plan est muni dun repre orthonorm. Le graphique ci-dessous reprsente une partie de la courbe reprsentativedune fonctionFdfinie et drivable sur [0 ; 4]. On dsigne parla fonction drive deFsur lensemble des nombres rels. 5 9 La courbepasse par lorigine O du repre et par les points A (1 ;) et D (2 ; 2).), B (3 ; 2 2 La courbeadmet en A et en D une tangente horizontale. On dsigne parT, la tangente au point O ; cette tangenteTpasse par le point de coordonnes (1 ; 6).
1.Que reprsente la fonctionFpour la fonction? 2.A partir du graphique et des donnes de lnonc, dresser le tableau de variation deFsur [0 ; 3]. 3.a. Dterminer graphiquement lquation rduite deT. b. En dduire(0). 4.Indiquer sur quel(s) intervalle(s) la fonctionest positive. 3 5.Dterminer la valeur exacte de lintgrale(x) dx. 1 6.Dans cette question, le candidat est invit porter sur sa copie les tapes de se dmarche mme si elle naboutit pas. Soit G une autre primitive desur [0 ; 4], telle queG(0) = 1. CalculerG(3). ES-Polynesie-sept09 Page6 sur 6