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Publié par | le_bachelier |
Publié le | 01 janvier 2008 |
Nombre de lectures | 93 |
Langue | Français |
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Liban2008
Exercice1 4points
Communàtouslescandidats
′Soit f une fonction définieet dérivablesur l’intervalle [−4; 6]. On note f sa fonc-
tiondérivée.
La courbe Γ représentative de la fonction f dans un repère orthonormal est tra-
cée ci-dessous ainsi que la droiteΔ d’équation y= x. La courbeΓ et la droiteΔ se
coupentaupointEd’abscisse2.Onsaitparailleursque:
– la courbe Γ admet des tangentes parallèles à l’axe des abscisses aux points
B(−2; 6,5)etC(1;1,75),
– la droite (EF) est la tangente à la courbeΓ au point E; F est le point de coor-
données(4;3)
B
Δ
Γ
F
C
E
→−
j
→−O
i
1. Danscettequestion,déterminerparlecturegraphiqueetsansjustification:
′ ′a. lesvaleursde f (−2)et f (2);
′b. lesvaleursde x dansl’intervalle[-4;6]vérifiant f (x)>0;
c. lesvaleursde x dansl’intervalle[-4;6]vérifiant f(x)6x.
2. Soitg lafonctiondéfiniesur]-4;6]parg(x)=ln[f(x)].Déterminerparlecture
graphiqueetavecjustification:
a. lesvariationsdeg;
b. lalimitedelafonction g quand x tendvers-4.
3. Encadrementd’uneintégrale
Dans cettequestion,toutetracederecherche.mêmeincomplète,oud’initiative
nonfructueuseserapriseencomptedansl’évaluation.
Z4
a. Soitl’intégrale I= f(x)dx.Interprétergraphiquement I.
2
b. Proposerunencadrementdel’intégraleI pardeuxnombresentiersconsé-
cutifs.Justifier.
Page1/5Exercice2 5points
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
Un club de remise en forme propose, outre l’accès aux salles de musculation, des
courscollectifspourlesquelsunsupplémentestdemandélorsdel’inscription.Une
ficheidentifie chaque membreet sontype d’abonnement :avec ou sanscours col-
lectif.
Uneétudesurlesprofilsdesmembresdececlubamontréque:
40%desmembressontdeshommes.
65%desmembressontinscritsauxcourscollectifs.
Parmi les femmes, membres de ce club, seulement 5 % ne sont pas inscrites aux
courscollectifs.
Onchoisituneficheauhasardetonconsidèrelesévènements suivants:
– H:«laficheestcelled’unhomme»,
– F:«laficheestcelled’unefemme»,
– C:«laficheestcelled’unmembreinscritàdescourscollectifs».
Rappeldenotation:SiAetBsontdeuxévènementsdonnés, p(A)désignelaproba-
bilitédeAet p (A)désignelaprobabilitéconditionnelledeAsachantB.B
C), p (C) et les reporter sur un1. Donner les probabilités suivantes : p(H), p (F F
arbrepondéré modélisant la situation qui sera complété aucours dela réso-
lutiondel’exercice.
2. a. Déterminer p(F∩C).
b. Montrerque p(H∩C)=0,08.
c. On tire la fiche d’un homme, quelle est la probabilité que celui-ci soit
inscritauxcourscollectifs?
d. Compléterl’arbrepondérédelaquestion1.
3. On choisit auhasard une fiche d’un membre non inscrit aux courscollectifs.
Quelle estlaprobabilitéquecesoit celled’unhomme? (donnerlavaleur dé-
cimalearrondieaucentième).
4. Pour vérifier labonnetenue desonfichier, lapersonne chargéedelagestion
dececlubprélèveuneficheauhasardetlaremetaprèsconsultation.Ellepro-
cède ainsi trois fois de suite. Quelle est la probabilité qu’au moins une des
fichessoitcelled’unmembrenoninscritauxcourscollectifs?
Exercice2 5points
Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
UneconsommatriceappréciedeuxtypesdefruitsA etB.Enunmois,elleachète x
kilosdefruitsA et y kilosdefruitsB; x et y appartiennentàl’intervalle[1;10].
Sonniveaudesatisfactionestmodéliséparlarelation f(x ; y)=lny+2lnx.
La figure ci-dessous représente, dans un repère orthogonal, la surface d’équation
z= f(x ; y)pour16x610et16y610.
Page2/56-7
5-67
4-56
5 3-4
4 2-3
93z 1-2
72
0-1
5 x1
3
0
11 2 3 4 5 6 7 8 9 10y
1. Le point N, d’ordonnée 5 et de cote ln30, appartient à la surface. Calculer la
valeurexactedesonabscisse.
2. Onpeut estimer quelekilo defruitsA coûte3eurosetquecelui defruitsB
coûte2euros.Laconsommatricedécidedenepasdépenser plusde36euros
parmoispourcesfruits.
a. Donner la relation entre les quantités x et y de fruitsA etB achetées
pourunmontantde36euros.
b. Montrer qu’alors le niveau desatisfaction dela consommatrice est égal
àln(18−1,5x)+2lnx.
c. Démontrerque,surl’intervalle[1;10],lafonction g définiepar
g(x)=ln(18−1,5x)+2lnx admetun maximuïn pour une valeur x que0
l’onprécisera.
d. Quelles quantités de fruitsA et de fruitsB la consommatrice doit-elle
acheterdanslemoissielleveutoptimisersonniveaudesatisfactiontout
enrespectantsacontraintedebudget?
Exercice3 7points
Communàtouslescandidats
PartieA:Étuded’unefonction
Onconsidèrelafonction f définiesur[0;+∞[par:
−0,5xf(x)=(x+8)e .
′On note f sa fonction dérivée et on admet que, pour tout x de [0 ; +∞[, on a :
′ −0,5xf (x)=(−0,5x−3)e .
1. Étudierlesensdevariationdelafonction f sur[0;+∞[.
−0,5x2. Démontrer que la fonction F définiesur [0 ;+∞[ par F(x)=(−2x−20)e
estuneprimitivede f surcemêmeintervalle.Z4
3. Calculerl’intégrale I= f(x)dx;ondonneralavaleurarrondieà0,01près.
2
Page3/5PartieB:Applicationséconomiques
Lafonctiondedemanded’unproduitinformatique estmodélisée parlafonction f
étudiéedanslapartieA.
Le nombre f(x) représente la quantité demandée, exprimée en milliers d’objets,
lorsqueleprixunitaireestégalà x centainesd’euros.
1. Calculer le nombred’objets demandés, àl’unité près, lorsque leprixunitaire
estfixéà200euros.
2. En utilisant les résultats de la partie A, déterminer la demande moyenne à
10objetsprès,lorsqueleprixunitaireestcomprisentre200et400euros.
3. L’élasticité E(x) de la demande par rapport au prix x est le pourcentage de
variationdelademandepouruneaugmentationde1%de x.
Onadmetqu’unebonneapproximationdeE(x)estdonnéepar:
′f (x)
E(x)= ×x.
f(x)
2
−0,5x −3x
a. DémontrerqueE(x)= .
x+8
b. DéterminerlesignedeE(x)sur[0;+∞[etinterprétercerésultat.
c. Calculerleprixpourlequell’élasticitéestégaleà−3,5.
Commentévoluelademandelorsqueleprixpassede800à808euros?
Exercice4 4points
Communàtouslescandidats
Letableauci-dessousdonnelaproductiond’électricitéd’originenucléaireenFrance,
expriméeenmilliardsdekWh,entre1979et2004.Lesrangsdesannéessontcalculés
parrapportàl’année1975.
Année 1979 1985 1990 1995 2000 2001 2002 2003 2004
Rangdel’année x 4 10 15 20 25 26 27 28 29i
Production y 37,9 213,1 297,9 358,8 395,2 401,3 416,5 420,7 427,7i
Source:siteInternetministèredel’industrie
Cesdonnéessontreprésentéesparlenuagedepointsci-dessous:
500
400
300
200
100
0
0 5 10 15 20 25 30
A-Recherched’unajustementaffine
1. Donner à l’aide de la calculatrice, une équation dela droited’ajustement af-
finede y en x par laméthode desmoindrescarrés(lescoefficients serontar-
rondisaudixième).
2. a. D’aprèscetajustement,quelleseraitlaproductiond’électriciténucléaire
enFranceen2005?
Page4/5
rrrrrrrrrb. Enréalité,en2005,laproductiond’électriciténucléaireaétéde430mil-
liardsdekWh. Calculer le pourcentage del’erreur commise par rapport
àlavaleurréelle,arrondià0,1%près,lorsqu’onutiliselavaleurfournie
parl’ajustement affine.
B-Unautremodèle
Comptetenudel’alluredunuagedepoints,onchoisitunajustementlogarithmique
et on modélise la production d’électricité nucléaire par la fonction f définie pour
tout x de[4;+∞[par: f(x)=197lnx−237.
1. Calculer la production d’électricité nucléaire prévisible avec ce modèle pour
l’année2005.Quelleconclusionpeut-onentirer?
2. a. Résoudredans[4;+∞[l’inéquation f(x)>460.
b. Aveccemodèle,enquelleannéepeut-onprévoirquelaproductiond’éner-
gienucléairedépassera460milliardsdekWh?
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