Corrige Bac Mathematiques 2006 S

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b b b b b b b Durée:4heures [ CorrigédubaccalauréatSPolynésie\ septembre2006 EXERCICE 1 4points 1. a. On a c−a=2+2i et b−a=2−2i; or c−a=2+2i=i(2−2i)=i(b−a). Cette égalité signiﬁe que C est l’image de B dans le quart de tour direct decentreA.DoncletriangleABCestrectangleenA.µ ¶ ³ ´z−3 z−z z−3 −−→ −−→A b. Ona = .Doncarg = AM , BM z−5+2i z−z z−5+2iB z−3 c. Lenombre estunréelstrictementnégatifsietseulementsil’un z−5+2i z−3 −dessesargumentsestégalàπ.D’aprèsleb,onadonc ∈ R ⇐⇒ z−5+2i³ ´ −−→ −−→ AM , BM =π [2π] ⇐⇒ M∈]AB[.L’ensemblecherchéestdoncleseg- mentouvert]AB[. ′2. a. Si z est l’afﬁxe du point image du point d’afﬁxe z dans la rotation r de π ′centreΩetd’angle− ,cetteafﬁxevériﬁez −ω=−i z−ω ⇐⇒( ) 2 ′ ′ ′ ′z =−iz+ω(1+i) ⇐⇒ z =z =−iz+(2−i)(1+i) ⇐⇒ z =−iz+3+i . b. ABCétantrectangleisocèleenA,lecentreEducerclecirconscritΓestle milieude[BC]d’afﬁxe5etsonrayonestégalà2. ′Une rotation est une isométrie donc l’image du cercleΓ est le cercleΓ ′dontlecentreestE ,imagedeEparr etdemêmerayon2. ′ ′Onaalors:z =z =−iz +3+i=−5i+3+i=3−4i.EE E ′ iθUne équation paramétrique deΓ est alors : z−z ′ = 2e , θ∈ [0 ; 2π[E iθdonc: z=3−4i+2e , θ∈[0; π[ . EXERCICE 2 4points 1. a. Ondressel’arbrepondérésuivant: 2 3 B 2 B 3 N1 3 B 4 5 B 1 N3 2 N13 5 1 4 3 5 B 4 B5 N1 N 5 1 1 N B 5 LesvaleursprisesparX sont(dehautenbas):0,1,1,2,1,2,2.CorrigédubaccalauréatS µ ¶32 8 b. OnaP(X=0)=P(BBB)= = . 3 27 c. – La probabilité demandée s’obtient en suivant la troisième branche. 2 1 4 8 ElleestégaleàP(BNB)= × × = . 3 3 5 45 1 4 4 16 – OnademêmeP(NBB)= × × = . 3 5 5 75 2 2 1 4 P(BBN)= × × = . 3 3 3 27 8 16 4 FinalementP(X=1)=P(BBB)+P(BNB)+P(BBN)= + + = 45 75 27 120+144+100 367 = . 27×25 675µ ¶k−1 k−12 1 2 2. – P(A)= × = . k3 3 3 – P (B).Onsaitdoncquel’onatiréunenoireauk-ièmetirage.Ilrextedonc4A blanches etune noire.Ontire(n−k) boulesblanches avecune probabilitéµ ¶n−k4 deP (B)= .A 5 – Siseulelak-ièmebouletiréeestnoirec’estqueN=A∩B.µ ¶n−k k−1 2n−k−14 2 2 Onadoncp(N)=p(A∩B)=P (B)×P(A)= × = .A k k n−k5 3 3 ×5 EXERCICE 3 7points 3 −x 2 −x1. a. Enécrivant f(x)=2x e −4x e quionttousdeuxpourlimite moins l’inﬁni,onobtient lim f(x)=−∞. x→−∞ Delamêmefaçonenplusl’inﬁni,lesdeuxtermesontpourlimite0,donc lim f(x)=0. x→+∞ b. Ladérivéedelafonction f estdonnéepar¡ ¢ ¡ ¢ ′ −x 2 3 2 −x 3 2f (x)=e 6x −8x−2x +4x =e −2x +10x −8x =¡ ¢ −x 22xe −x +5x−4 . −xc. Comme quel que soit x∈R, e > 0, le signe de la dérivée est celui de¡ ¢ 2x −x +5x−4 .Letrinôme apourracines 1et4, doncle signedeladé- rivée dépend de la position de x par raport aux nombres 0, 1 et 4. D’où letableaudevariations: x −∞ 0 1 4 +∞ −x + + +0 −trinôme + + 0 0 + ′ − −f + +0 0 0 640 4e f(x) 2 −−∞ 0e d. Courbereprésentative(C): Polynésie 2 septembre2006CorrigédubaccalauréatS 1 →−  →− −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9ı −1 −2 −3 −4 −5 −6 Z1 −x2. a. I = xe dx.1 0½ −xu(x)=x dv(x)=e Avec onobtientenintégrantparparties,toutes−xdu(x)=1 v(x)=−e Z1 £ ¤11 −x −x −x−xlesfonctionsétantdérivables,I =[−xe ] + e dx= −xe −e =1 0 0 0 2 1− . e 2 51 b. L’égalité I =nI − donnepourn=2, I =2I − =2− .n n−1 2 1 e e eµ ¶ 1 5 1 16 Pourn=3, I =3I − =3 2− − =6− .3 2 e e e e `c. L’airedudomainedéﬁniestégal(enunitésd’aire)àlavaleurabsoluedeZ Z Z1 1 1¡ ¢ 3 2 −x 3 −x 2 −xl’intégrale 2x −4x e dx= 2 x e dx−4 x e = 2I −4I3 2 0 0 0 (parlinéaritédel’intégrale). µ ¶ µ ¶Z1¡ ¢ 16 5 123 2 −x Onadonc 2x −4x e dx=2 6− −4 2− =4− . e e e0 12 ConclusionA = −4≈4,4. e Effectivement surlaﬁgure,surl’intervalle [0;1],lafonctionestnégative 1 2etl’airevautmoinsde carreau(cm ). 2 3. a. uestcroissantesur[a ; b]signiﬁe0 2 2 4 2 2 4 5 1 1 >0.Cetrinômeestdoncdécroissantsur]−∞; ],croissantsur[ ;+∞[ 4 2 2 1 etaunminimumen . 2 µ ¶ 13 1 LepointcorrespondantestM =I −6;− ; .mini 2 2 4. a. Lareprésentationparamétriquede(D)donnelescoordonnéesd’unvec-  2 →−  teurdirecteurde(D),doncunvecteurnormalà(Q),c’estlevecteur q 3 . 1 Uneéquationde(Q)estdonc:2x+3y+z+α=0.A∈(Q) ⇐⇒ −18−12−1+α=0 ⇐⇒ α=31. Uneéquationde(Q)estdonc:M∈(Q) ⇐⇒ 2x+3y+z+31=0. b. LetriangleAMIestrectangleenI.Lecôté[AI]aunelongueurinférieure à celle de l’hypoténuse [AM] : I est bien le projeté orthogonal de A sur (D). Polynésie 4 septembre2006

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