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Baccalauréat STI Antilles–Guyane juin 2009

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Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat STI Antilles–Guyane juin 2009\ Génie électronique, électrotechnique, optique EXERCICE 1 4 points On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument π 2 . On considère le polynôme P de la variable complexe z défini de la façon suivante : P (z)= 9z3?21z2+17z?5. 1. Calculer P (1). 2. Déterminer les réels a, b et c tels que P (z)= (z?1) ( az2+bz+c ) . 3. Résoudre dans l'ensemble des complexes l'équation : P (z)= 0. 4. Onmunit le plan d'un repère direct orthonormal ( O, ?? u , ?? v ) d'unité graphique 6 cm. Soient A, B et C les points d'affixes respectives : zA = 1, zB = 1 3 (2+ i) et zC = 1 3 (2? i). a. Placer les points A, B et C (on utilisera une des feuilles de papier millimé- tré fournies). b. Calculer les modules suivants : |zB? zA| , |zA? zC| et |zB? zC| ; en déduire que le triangle ABC est rectangle isocèle. 5. Soit C le cercle circonscrit au triangle ABC.

arbre des choix de la feuille annexe avec les mots

courbe représentative

repère

coordonnées du point de la courbe ch

demi-point

cm sur l'axe des ordonnées

feuille de papier millimétré

Sujets

Graphe d'une fonction

Repère

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Publié par	apmep
Publié le	01 juin 2009
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Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat STI Antilles–Guyane juin 2009\ Génie électronique, électrotechnique, optique

EX E R C IC E1 4points π On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d’argument. 2 On considère le polynômePde la variable complexezdéﬁni de la façon suivante : 3 2 P(z)=9z−21z+17z−5. 1.CalculerP(1). ¡ ¢ 2 2.Déterminer les réelsa,betctels queP(z)=(z−1)a z+b z+c. 3.Résoudre dans l’ensemble des complexes l’équation :P(z)=0. ³ ´ −→−→ 4.O,On munit le plan d’un repère direct orthonormalu,vd’unité graphique 6 cm. Soient A, B et C les points d’afﬁxes respectives : 1 1 zA=1,zB=(2+i) etzC=(2−i). 3 3 a.Placer les points A, B et C (on utilisera une des feuilles de papier millimé tré fournies). b.Calculer les modules suivants :|zB−zA|,|zA−zC|et|zB−zC|; en déduire que le triangle ABC est rectangle isocèle. 5.SoitCle cercle circonscrit au triangle ABC. a.Déterminer l’afﬁxe du centreΩdeCet son rayonren cm. b.PlacerΩet tracer le cercleCsur la ﬁgure.

EX E R C IC E2

Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.

5 points

Partie A  Effet de réponses au hasard à un exercice de type vra i/faux. On imagine un exercice vrai/faux à quatre questions dont la règle de notation serait la suivante : chaque réponse correcte rapporte un point. Chaque réponse incorrecte fait perdre un demipoint. Un total négatif pour ce vrai/faux est ramené à zéro. On suppose qu’un élève répond au hasard à chacune des quatre questions par « vrai » ou « faux » et qu’il ne laisse aucune question sans réponse. 1.Indiquer dans un tableau tous les totaux de points possibles en fonction du nombre de réponses correctes fournies. 2.etcorrect »s «Compléter l’arbre des choix de la feuille annexe avec les mot « incorrect », puis indiquer, dans la dernière colonne, le nombre de points ob tenus pour chacune des 16 éventualités. 3.On suppose que chacune des 16 éventualités a la même probabilité d’être ob tenue. SoitXla variable aléatoire qui, à chaque éventualité, associe le nombre de points correspondant.

Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique

a.Quelles sont les valeurs prises parX? b.Présenter dans un tableau la loi de probabilité deX. c.Calculer E(X), l’espérance mathématique deX.

A. P. M. E. P.

Partie B  Un exercice de type vraifaux. Cette partie B est un exercice de type vrai/faux qui doit être traité effectivement par le candidat. La règle de notation est la suivante : à chaque bonne réponse est attribué 0,5 point. Toute réponse incorrecte enlève 0,25 point. L’absence de réponse n’enlève aucun point. En cas de total négatif, la note attribuée à cette partie sera 0. Le texte cidessous comporte quatre afﬁrmations, numérotées de 1 à 4. Pour chacune d’elles, indiquer sur la copie si elle est vraie ou fausse. On ne de mande aucune justiﬁcation. Soitfla fonction déﬁnie sur l’ensembleRdes réels par ³ ´ π f(x)=cos 2x−. 4 Une partie de la courbe représentative de la fonctionfest tracée cidessous :

−1

π 0 8

h i π ′ Afﬁrmation 1 :L’équationf(x)=0 ;.0 admet une seule solution dans 4 Z 3π 1−2 8 Afﬁrmation 2 :f(x) dx=. 04 Soitgla fonction déﬁnie surRpar :g(x)=3 sin(2x). Afﬁrmation 3 :gest une solution de l’équation différentielle :y"+4y=0. h i π12 Afﬁrmation 4 :La valeur moyenne deg; vaut.sur 0 2π

PR O B L È M E11 points Partie I On considère la fonctiongdéﬁnie sur l’ensembleRdes nombres réels par : 2x g(x)=x−1+e . On noteCgla courbe représentative de la fonctiongdans un repère orthogonal ³ ´ −→−→ O,ı,du plan. On prend comme unité graphique 2 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées.

Antilles–Guyane

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Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique

A. P. M. E. P.

1.Calculer les limites degen−∞et en+∞. 2.SoitDla droite d’équationy=x−1. a.Démontrer queDest asymptote àCgen−∞. b.Étudier les positions relatives deDetCg. ′ 3.Soitgla fonction dérivée deg. ′ a.Calculer, pour toutxréel,g(x) et montrer que la fonctiongest stricte ment croissante surR. b.Dresser le tableau de variations deg. 4.Calculerg(0) puis justiﬁer l’afﬁrmation suivante : « six<0, alorsg(x)<si0 ; x>0, alorsg(x)>0 ». ³ ´ −→−→ 5.Construire dans le repèreO,ı,la droiteDet la courbeCg. (On utilisera une feuille de papier millimétré.)

Partie II Soitfla fonction déﬁnie surRpar :

2 2x f(x)=(x−1)+e .

′ ′ 1.Soitfla fonction dérivée def. Démontrer que, pour toutxréel,f(x)=2g(x). 2.on de la fonctionEn utilisant la question I. 4., dresser le tableau de variatif (les limites ne sont pas demandées). 3.En déduire la valeur dexpour laquelle la fonctionfadmet un minimum et déterminer ce minimum.

Partie III Application à un problème de distance minimale On considère la fonctionhdéﬁnie surRpar : x h(x)=e . On donne en annexe la courbe représentativeChde la fonctionhdans un repère or thonormal d’origineΩ. On a également représenté le point P de coordonnées (1 ; 0). On rappelle que, dans un repère orthonormal, le carré de la distance entre les points ¡ ¢¡ ¢¡ ¢ 2 2 2 AxA,yAet BxB,yBest donné par : AB=(xB−xA)+yB−yA. ¡ ¢ −1 1. a.Placer, dans le repère donné en annexe, les points A−B(1 ; e)e et1 ; 2 2 b.Calculer PAet PB. 2.On considère, pour un réelx, le pointMdeChd’abscissex, c’estàdire le x pointM(x; e). 2 a.Montrer que PM=f(x), oùfest la fonction étudiée dans la partie II. b.En déduire les coordonnées du point de la courbeChle plus proche du point P. Dans cette question particulièrement, toute trace de recherche, même in complète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Antilles–Guyane

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Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique

Feuille annexe à rendre agrafée à la copie

A. P. M. E. P.

Question 1Question 2Question 3Question 4 Nombre de points correct 4 points correct

correct

incorrect

correct

incorrect

Problème : partie II

Antilles–Guyane

incorrect 0 point incorrect

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