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Baccalauréat S Pondichéry avril

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Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S Pondichéry 3 avril 2006 \ EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats Dix affirmations, réparties en trois thèmes et numérotées de 1. a à 3. d sont propo- sées ci-dessous. Le candidat portera sur sa copie, en regard du numéro de l'affirma- tion, et avec le plus grand soin, la mention VRAI ou FAUX. Chaque réponse convenable rapporte 0,4 point. Chaque réponse erronée enlève 0,1 point. Il n'est pas tenu compte de l'absence de réponse. Un éventuel total négatif est ramené à 0. 1. Pour tout réel x, ex désigne l'image de x par la fonction exponentielle. Affirmation 1. a Pour tous les réels a et b : (ea )b = e ( ab ) . Affirmation 1. b Pour tous les réels a et b : ea?b = ea eb . Affirmation 1. c La droite d'équation y = x+1 est la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle en son point d'abscisse 1. 2. Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert I et soit a un élément de I. Affirmation 2. a Si f est dérivable en a, alors f est continue en a. Affirmation 2. b Si f est continue en a, alors f est dérivable en a.

effec- tif initial

système d'équations paramétriques de la droite ∆

laboratoire de recherchemet au point

système d'équation

nature du triangle oanan

affixe zn

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Publié par	apmep
Publié le	01 avril 2006
Nombre de lectures	24

Extrait

[Baccalauréat S Pondichéry 3 avril 2006\

EX E R C IC E1 4points Commun à tous les candidats Dix afﬁrmations, réparties en trois thèmes et numérotées de 1. a à 3. d sont propo sées cidessous. Le candidat portera sur sa copie, en regard du numéro de l’afﬁrma tion, et avec le plus grand soin, la mention VRAI ou FAUX. Chaque réponse convenable rapporte 0,4 point. Chaque réponse erronée enlève 0,1 point. Il n’est pas tenu compte de l’absence de réponse. Un éventuel total négatif est ramené à 0. x 1.Pour tout réelxdésigne l’image de, expar la fonction exponentielle. ¡ ¢ b a ba Afﬁrmation 1. aPour tous les réelsaetb): (e=e . a e a−b Afﬁrmation 1. bPour tous les réelsaetb: e=. b e Afﬁrmation 1. cLa droite d’équationy=x+1 est la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle en son point d’abscisse 1. 2.Soitfune fonction numérique déﬁnie sur un intervalle ouvert I et soitaun élément de I. Afﬁrmation 2. aSifest dérivable ena, alorsfest continue ena. Afﬁrmation 2. bSifest continue ena, alorsfest dérivable ena. Afﬁrmation 2. cSifest dérivable ena, alors la fonction f(a+h)−f(a) h7→admet une limite ﬁnie en 0. h 3.On considère deux suites (un) et (vn) déﬁnies surN. Afﬁrmation 3. aSi limun= +∞et si limvn= −∞alors lim (un+vn)=0. Afﬁrmation 3. bSi (un) converge vers un réel non nul et si limvn= +∞, ¡ ¢ alors la suiteun,×vnne converge pas. Afﬁrmation 3. cSi (un) converge vers un réel non nul, si (vn) est positive µ ¶ un et si limvn=0, alors la suitene converge pas. v µ ¶ un Afﬁrmation 3. dSi (un) et (vn) convergent alors la suiteconverge. v

EX E R C IC E2 5points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité ³ ´ −→−→ Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal directO,u,v. On prendra pour unité graphique 5 cm. 1+i On posez0=2 et, pour tout entier natureln,zn+1=zn. On noteAnle point du 2 plan d’afﬁxezn. 1.Calculerz1,z2,z3,z4et vériﬁer quez4est un nombre réel. Placer les points A0, A1, A2, A3et A4sur une ﬁgure.

A. P. M. E. P.

Baccalauréat S

2.Pour tout entier natureln, on poseun= |zn|. Justiﬁer que la suite (un) est une suite géométrique puis établir que, pour tout entier natureln, µ ¶ n 1 un=2p. 2 3.À partir de quel rangn0tous les pointsAnappartiennentils au disque de centre O et de rayon 0,1 ? zn+1−zn 4. a.Établir que, pour tout entier natureln,=i. zn+1 En déduire la nature du triangle OAnAn+1. b.Pour tout entier natureln, on noteℓnla longueur de la ligne brisée A0A1A2. . .An−1An. On a ainsi :ℓn=A0A1+A1A2+. . .+An−1An. Exprimerℓnen fonction den. Quelle est la limite de la suite (ℓn) ?

EX E R C IC E2 4points Candidat ayant suivi l’enseignement de spécialité ³ ´ −→−→ Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal directO,u,v. On prendra 5 cm pour unité graphique. ′ ′ Soitfla transformation qui, à tout pointMd’afﬁxez, associe le pointMd’afﬁxez déﬁnie par : µ ¶ 1 1 ′ z= +iz+1. 2 2 1.Justiﬁer quefest une similitude directe dont on précisera le centreΩ(d’afﬁxe ω), le rapportket l’angleθ. 2.On noteA0le point O et, pour tout entier natureln, on poseAn+1=f(An). a.Déterminer les afﬁxes des pointsA1A2,A3puis placer les pointsA0,A1,A2 etA3. b.Pour tout entier natureln, on poseun=ΩAn. Justiﬁer que la suite (un) est une suite géométrique puis établir que, pour tout entier natureln, µ ¶ n 1 un=2 . 2 c.À partir de quel rangn0tous les pointsAnappartiennentils au disque de centreΩet de rayon 0,1 ? 3. a.Quelle est la nature du triangleΩA0A1? En déduire, pour tout entier natureln, la nature du triangleΩAnAn+1. b.Pour tout entier natureln, on noteℓnla longueur de la ligne brisée A0A1A2. . .An−1An. On a ainsi :ℓn=A0A1+A1A2+. . .+An−1An. Exprimer ℓnen fonction den. Quelle est la limite de la suite (ℓn) ?

EX E R C IC E3 Commun à tous les candidats ³ ´ −→−→−→ L’espace est muni d’un repère orthonormalO,ı,,k.

Partie A (cette partie constitue une restitution organisée de connaissances)

Pondichéry

4 points

3 avril 2006

A. P. M. E. P.

Baccalauréat S

Soita,b,cetddes réels tels que (a,b,c)6=(0, 0, 0). SoitPle plan d’équationa x+b y+c z+d=0. ¡ ¢ −→ On considère le pointIde coordonnéesxI,yI,zIet le vecteurnde coordonnées (a,b,c). Le but de cette partie est de démontrer que la distance deIau planPest égale à ¯ ¯ a xI+b yI+c zI+d . 2 2 2 a+b+c 1.SoitΔla droite passant parIet orthogonale au planP. Déterminer, en fonction dea,b,c,xI,yIetzI, un système d’équations para métriques deΔ. 2.On noteHle point d’intersection deΔetP. −→→− a.Justiﬁer qu’il existe un réelktel queI H=k n. b.Déterminer l’expression deken fonction dea,b,c,d,xI,yIetzI. ¯ ¯ a xI+b yI+c zI+d c.En déduire queI H=. 2 2 2 a+b+c

Partie B Le planQd’équationx−y+z−11=0 est tangent à une sphèreSde centre le point Ωde coordonnées (1,−1, 3). 1.Déterminer le rayon de la sphèreS. 2.Déterminer un système d’équations paramétriques de la droiteΔpassant par Ωet orthogonale au planQ 3.En déduire les coordonnées du point d’intersection de la sphèreSet du plan Q.

EX E R C IC Epoints4 7 Commun à tous les candidats Les parties A et B sont indépendantes. Un laboratoire de recherche étudie l’évolution d’une population animale qui semble en voie de disparition. Partie A En 2000, une étude est effectuée sur un échantillon de cette population dont l’effec tif initial est égal à mille. Cet échantillon évolue et son effectif, exprimé en milliers d’individus, est approché par une fonctionfdu tempst(exprimé en années à partir de l’origine 2000). D’après le modèle d’évolution choisi, la fonctionfest dérivable, strictement posi tive sur [0 ;+∞[, et satisfait l’équation différentielle : 1 ′ (E)y= −y(3−lny). 20 1.Démontrer l’équivalence suivante : Une fonctionf, dérivable, strictement po 1¡ ¢ ′ sitive sur [0 ;+∞[, vériﬁe, pour touttde [0 ;+∞[,f(t)= −f(t)[3−lnf(t) ] 20 si et seulement si la fonctiong=ln(f) vériﬁe, pour touttde [0 ;+∞[, 1 3 ′ g(t)=g(t)−. 20 20 2.Donner la solution générale de l’équation différentielle : 1 3 ′ (H)z=z−. 20 20

Pondichéry

3 avril 2006

A. P. M. E. P.

Baccalauréat S

3.En déduire qu’il existe un réelCtel que, pour touttde [0 ;+∞[ · µ¶¸ t f(t)=exp 3+Cexp . 20 x (la notation exp désigne la fonction exponentielle naturellex7→e ). 4.La condition initiale conduit donc à considérer la fonctionfdéﬁnie par : · µ¶¸ t f(t)=exp 3−3exp . 20 a.Déterminer la limite de la fonctionfen+∞. b.Déterminer le sens de variation defsur [0 ;+∞[. c.Résoudre dans [0 ;+∞[ l’inéquationf(t)<0, 02. Au bout de combien d’années, selon ce modèle, la taille de l’échantillon seratelle inférieure à vingt individus ?

Partie B En 2005, ce laboratoire de recherche met au point un test de dépistage de la maladie responsable de cette disparition et fournit les renseignements suivants : « La popu lation testée comporte 50 % d’animaux malades. Si un animal est malade, le test est positif dans 99 % des cas ; si un animal n’est pas malade, le test est positif dans 0,1 % des cas ». On noteMl’évènement « l’animal est malade »,Ml’évènement contraire etTl’évè nement « le test est positif ». 1.DéterminerP(M),PM(T),P(T). M 2.En déduireP(T). 3.ictive, c’estàdireLe laboratoire estime qu’un test est ﬁable, si sa valeur préd la probabilité qu’un animal soit malade sachant que le test est positif, est su périeure à 0,999. Ce test estil ﬁable ?

Pondichéry

3 avril 2006