Baccalauréat S Asie juin 2003 - épreuve de mathématiques
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01 juin 2003
Niveau: Secondaire, Lycée[ Baccalauréat S Asie juin 2003 \ EXERCICE 1 5 points Commun tous les candidats L'espace E est rapporté au repère orthonormal ( O, ?? ı , ?? ? , ?? k ) . Les points A, B et C ont pour coordonnées respectives : A(3 ; ?2 ; 2) ; B(6 ; 1 ; 5) ; C(6 ; ?2 ; ?1). A B D C O?? ı ?? ? ?? k Partie A 1. Montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle. 2. Soit P le plan d'équation cartésienne x+ y + z?3= 0. Montrer que P est orthogonal à la droite (AB) et passe par le point A. 3. Soit P? le plan orthogonal la droite (AC) et passant par le point A. Déterminer une équation cartésienne de P?. 4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite∆, droite d'intersec- tion des plans P et P?. Partie B 1. Soit D le point de coordonnées (0 ; 4 ; ?1). Montrer que la droite (AD) est perpendiculaire au plan (ABC). 2. Calculer le volume du tétraèdre ABDC. 3. Montrer que l'angle géométrique BDC a pour mesure π 4 radian.triangle rectangle équation cartésienne de p? solution unique dans cha- cun des intervalles représentation graphique
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[Baccalauréat S Asie juin 2003\
EX E R C IC E1 Commun tousles candidats ³ ´ −→−→−→ L’espace E est rapporté au repère orthonormalO,ı,,k. Les points A, B et C ont pour coordonnées respectives :
A(3 ;−;; 5); C(62) ; B(6; 12 ;−2 ;−1).
A
B
−→ k O −→ ı −→
D
5 points
C Partie A 1.Montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle. 2.Soit P le plan d’équation cartésiennex+y+z−3=0. Montrer que P est orthogonal à la droite (AB) et passe par le point A. ′ 3.Soit Ple plan orthogonalla droite (AC) et passant par le point A. ′ Déterminer une équation cartésienne de P . 4.Déterminer une représentation paramétrique de la droiteΔ, droite d’intersec ′ tion des plans P et P . Partie B 1.Soit D le point de coordonnées (0 ; 4 ;−1). Montrer que la droite (AD) est perpendiculaire au plan (ABC). 2.Calculer le volume du tétraèdre ABDC. π 3.Montrer que l’angle géométrique BDC a pour mesureradian. 4 4. a.Calculer l’aire du triangle BDC. b.En déduire la distance du point A au plan (BDC).
EX E R C IC E2 4points Enseignement obligatoire Γest le cercle de centre O et de rayon 22. ³ ´ −→−→ Le plan est rapporté à un repère orthonormalO,u,v. ′ ′ 1.À tout pointMd’affixez, on associe le pointMd’affixeztelle que :
′2 z=z−2(1+i)z.
′ ′′ ′′ On posez=x+iyetz=x+iy, oùx,y,xetysont des nombres réels.
Baccalauréat S
A. P. M. E. P.
′ ′ a.Exprimerxetyen fonction dexety. ′ b.SoitHl’ensemble des pointsMtels quezsoit un nombre réel. Montrer queHest la représentation graphique d’une fonctionhque l’on déter minera (l’étude de la ronctionhn’est pas demandée).Hest tracée sur ie graphique cidessous.
2.Montrer que le point A d’affixea=2(1+i) appartientàΓetH. 2π 3.. On note B et C les points tels queSoit R la rotation de centre O et d’angle 3 R(A) = B et R(C) = A.
a.oméMontrer que R(B) = C et que les triangles OAB, OBC et OCA sont is triques. b.Quelle est la nature du triangle ABC ? c.Montrer que B et C appartiennent àΓetH. d.TracerΓet placer A, B et C sur le graphique cidessous.
EX E R C IC E2 Enseignement de spécialité
−→ v −→ O u
4 points
3 1. a.Montrer que, pour tout entier natureln, 3n−11n+48 est divisible par n+3. 2 b.Montrer que, pour tout entier natureln, 3n−9n+16 est un entier naturel non nul. 2.Montrer que, pour tous les entiers naturels non nulsa,betc, l’égalité suivante est vraie :
PGCD(a;b)=PGCD(bc−a;b). 3.Montrer que, pour tout entier natureln, supérieur ou égal à 2, l’égalité sui vante est vraie : ¡ ¢ 3 PGCD 3n−11n;n+3=PGCD(48 ;n+3). 4. a.Déterminer l’ensemble des diviseurs entiers naturels de 48. 3 3n−11n b.En déduire l’ensemble des entiers naturelsntels quesoit un n+3 entier naturel.
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Baccalauréat S
PR O B L È M E ³ ´ −→−→ Le plan P est rapporté àun repère orthonormalO,ı,.
A. P. M. E. P.
11 points
Partie A Soitfla fonction définie sur ]0 ;+∞[ par 1+2 lnx f(x)=. 2 x ′ Soit (C) la courbe représentative defet soit (C) celle de la fonctionhdéfinie sur 1 ]0 ;+∞[ parh(x)=. x 1.Déterminer les limites defen 0 et en+∞. En déduire que (C) a deux asymp totes que l’on déterminera. ′ 2.Calculer la dérivéefdefet étudier les variations def. 3.Soit I le point d’intersection de (C) avec l’axe des abscisses. Déterminer les coordonnées de I. 4.Pour toutxde ]0 ;+∞[, on poseg(x)=1−x+2 lnx. a.Étudier les variations de la fonctiong. b.Montrer que l’équationg(x)=0 admet une solution unique dans cha cun des intervalles ]0 ; 2[ et ]2 ; 4[. Soitα4[.la solution appartenant]2 ; −2 Donner un encadrement deα.d’amplitude 10 1g(x) ′ 5. a.Montrer quef(x)− =et en déduire que (C) et (C) se coupent en 2 x x deux points. b.Montrer que, pour tout réelxsupérieur ou égal à 4, la double inégalité suivante est vraie : 1 0<f(x)6. x ′ 6.Tracer (C) et (C).
Partie B
1.SoitDla partie du plan définie par les inégalités suivantes : ½ 16x6α(αest le réel défini dans la partie A) 06y6f(x) a.Déterminer l’aire deD, notéeA(α), en unités d’aire (on utilisera une intégration par parties). 2 −2 b.Montrer queA(α)=2−et donner une valeur approchée deA(α) 10 α prs. 2.Soit la suite (In) définie pournsupérieur ou égal à 1 par : Z n+1 In=f(x) dx. n a.Montrer que, pour toutnsupérieur ou égal à 4, la double inégalité sui vante est vraie : µ ¶ n+1 06In6ln . n b.En déduire que la suite (In) converge et déterminer sa limite.
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Baccalauréat S
A. P. M. E. P.
c.SoitSn=I1+I2+I3+ ∙ ∙ ∙ +In. CalculerSnpuis la limite de la suite (Sn).
Partie C On considère, pour toutnsupérieur ou égal à 1, la fonctionfn, définie sur ]0 ;+∞[ par 1+2 lnx fn(x)=. 2n x ′ 1.Calculer la dérivéefde la fonctionfn. n ′ 2.Résoudre l’équationa solution de cette fn(x)=0. Soitxnl équation. 3.Déterminer la limite de la suite (xn).
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