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Baccalauréat groupe bis groupes I IV juin

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Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat groupe 1 bis (groupes I-IV) juin 1996 \ EXERCICE 1 4 points Un club sportif compte 80 inscrits en natation, 95 en athlétisme et 125 en gymnas- tique. Chaque inscrit pratique un seul sport. N. B- Si E est un évènement, onnoteraP (E) sa probabilité et E l'évènement contraire. Si E et F sont deux évènements, P (E|F) est la probabilité de « E sachant que F est réalisé ». 1. On demande à trois inscrits choisis au hasard de remplir un questionnaire. Calculer les probabilités des évènements suivants : a. A : « les sportifs choisis pratiquent tous l'athlétisme » ; b. B : « les sportifs choisis pratiquent tous le même sport ». 2. Parmi les inscrits en natation, 45% sont des filles. De même 20% des inscrits en atlùétisme et 68% des inscrits en gynmastique sont des filles. a. On choisit un inscrit au hasard. Quelle est la probabilité p1 que l'inscrit choisi soit une fille pratiquant l'athlétisme ? Quelle est la probabilité p2 que ce soit une fille ? b. Si on choisit au hasard une fille, quelle est la probabilité p3 qu'elle pra- tique l'athlétisme ? EXERCICE 2 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE 5 points Dans le plan complexe rapporté au repère orthononnal direct ( O, ??u , ??v ) , unité gra- phique : 4 cm, on considère les points A, B et C d'affixes respectives a, b et c telles que : a = 1

droite ∆ d'équation

inscrits en natation

repère orthononnal direct

point d'affixe z

probabilité

triangle obc

fille pratiquant l'athlétisme

nature du quadrilatère aboc

enseignement de spécialité

u? tan ?2

Sujets

Probabilité

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Publié par	apmep
Publié le	01 juin 1996
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Extrait

[) juin 1996Baccalauréat groupe 1 bis (groupes IIV\

EX E R C IC E1 4points Un club sportif compte 80 inscrits en natation, 95 en athlétisme et 125 en gymnas tique. Chaque inscrit pratique un seul sport. N. B Si E est un évènement, on noteraP(E) sa probabilité et E l’évènement contraire. Si E et F sont deux évènements,P(E|F) est la probabilité de «E sachant que F est réalisé ». 1.On demande à trois inscrits choisis au hasard de remplir un questionnaire. Calculer les probabilités des évènements suivants : a.A : « les sportifs choisis pratiquent tous l’athlétisme » ; b.B : « les sportifs choisis pratiquent tous le même sport ». 2.Parmi les inscrits en natation, 45 % sont des ﬁlles. De même 20 % des inscrits en atlùétisme et 68 % des inscrits en gynmastique sont des ﬁlles. a.On choisit un inscrit au hasard. Quelle est la probabilitép1que l’inscrit choisi soit une ﬁlle pratiquant l’athlétisme? Quelle est la probabilitép2 que ce soit une ﬁlle ? b.Si on choisit au hasard une ﬁlle, quelle est la probabilitép3qu’elle pra tique l’athlétisme ?

EX E R C IC E2O B L IG ATO IR EE N S E IG N E M E N T5 points ³ ´ −→−→ Dans le plan complexe rapporté au repère orthononnal directO,u,v, unité gra phique : 4 cm, on considère les points A, B et C d’afﬁxes respectivesa,betctelles que :

a=1−i,b=1+i,c= −1+i= −a. On noteΓle cercle de diamètre [AB]. 1. a.Placer sur une ﬁgure les points A, B, C etΓ. b.Mettre les nombres complexesa,betcsous forme trigonométrique. c.Soitrla rotation de centre O telle quer(A) = B. Déterminer l’angle deret le pointr(B), image de B parr. ′ ′ d.Déterminer l’imageΓdu cercleΓparr; placerΓsur la ﬁgure. iθ 2.On considèreθ∈]0 ; 2π[ distinct deπ; on noteMle point d’afﬁxez=1+ie . ′ ′′ On désigne parMl’image deMparr, et on appellezl’afﬁxe deM. a.Montrer queMest un point deΓdistinct de A et de B. ′ b.Exprimerzen fonction dez. −−→−−→ ′ ′ Calculer en fonction deθles afﬁxesuetudes vecteurs BMet BM. θ ′ c.Établir la relationu=utan . 2 ′ d.Prouver que les points B,MetMsont alignés. Placer sur la même ﬁgure ′ un pointMet son transforméM

EX E R C IC E2E N S E IG N E M E N TD ES P É C IA L IT É5 points Dans le plan orienté, on considère un triangle isocèle ABC tel que AB = AC et µ ¶ −→á−→π AB ; AC=. 4 µ ¶ −→á−→π Soit I le point tel que le triangle CAI soit isocèle et rectangle avecCA ; CI= −. 2 Pour la ﬁgure, que l’on complétera en traitant les questions, on prendra AB = 5 cm.

Baccalauréat C

A. P. M. E. P.

1.On appellerAla rotation de centre A qui transforme B en C etrCla rotation de π centre C et d’angle−. 2 On posef=rC◦rA. a.Déterminer les images parfde A et de B. b.Démontrer quefest une rotation dont on précisera l’angle et le centre O. Placer O sur la ﬁgure. c.Quelle est la nature du quadrilatère ABOC ? 2.Soitsla similitude directe de centre O qui transforme A en B. ′ ′ On appelle Cl’image de C parsson image, H le milieu du segment [BC] et H pars. a.Déterminer un mesure de l’angle des. ′ Montrer que Cappartient à la droite (OA). ′ b.Donner l’image parsest le milieu dedu segment [OA] et montrer que H [OB]. ′ ′ c.Montrer que (C H ) est perpendiculaire à (OB). ′ En déduire que Cest le centre du cercle circonscrit au triangle OBC.

PR O B L È M E11 points L’objet de ce problème est : – d’étudierla fonctionfdéﬁnie sur l’intervalle [0 ;+∞[ par : x e−1 f(x)=; x e−x – dejustiﬁer rigoureusement le tracé de sa courbe représentativeCdans un re ³ ´ −→−→ père orthonormalO,ı,, unité graphique 3 cm. – dedétailler enﬁn certaines propriétés d’une suite de nombres réels construite à partir def.

Partie A . Questions préliminaires

1.Soitgla fonction déﬁnie sur [0 ;+∞[ par

x g(x)=e−x−1. ′ a.Montrer que pour toutx>0, on ag(x)>0. En déduire le sens de varia tion degsur [0 ;+∞[. b.Calculerg(0). En déduire que, pour toutx>0, on ag(x)>0. 2.Soithla fonction déﬁnie sur [0 ;+∞[ par

x h(x)=(2−x)e−1. a.Étudier la fonctionhet dresser son tableau de variations. b.Montrer que l’équationh(x)=0 admet une solution et une seule,α, et queα>1. c.84Vériﬁer la double inégalité 1,<α<1, 83. d.Préciser, suivant les valeurs du nombre réelx>0, le signe deh(x). Partie B Étude de la fonctionfet tracé de la courbeC 1. a.Justiﬁer quefest bien déﬁnie en tout point dex∈[0 ;+∞[.

Aix–Marseille–Nice

juin 1996

Baccalauréat C

A. P. M. E. P.

b.Montrer que, pour toutx>0, on peut écrire, −x 1−e f(x)=. −x 1−xe En déduirelimf(xgéométriquement, relativement à) ; interpréterC, x→+∞ le résultat obtenu. h(x) ′ c.Montrer que, pour toutx>0,f(x)=. x2 (e−x) d.Étudier la fonctionfet dresser sonn tableau de variations. (1−x)g(x) 2. a.Montrer que, pour toutx>0,f(x)−x=. x e−x b.En déduire, suivant les valeurs du nombre réelx>0, la position de la courbeCpar rapport à la droiteDd’équationy=x. 3. a.Préciser la tangente au point deCd’abscisse 0. b.TracerC, en faisant ﬁgurer sur le dessin la droiteΔd’équationy=1 et tous les éléments obtenus au cours de l’étude. Z n Partie C  Étude de la suiteun=[f(x)−1]dx 0 1.Déterminer une primitive de la fonctionf. En déduire l’expression deun, en fonction den. 2.Interpréter géométriquement le nombre réel−u1. n 3.Déterminer limun(on pourra utiliser l’égalitén=ln (e). n→+∞ 4.Interpréter géométriquement le nombre réelun−u1, puis le résultat obtenu dans la question précédente.

Aix–Marseille–Nice

juin 1996

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