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Baccalauréat ES Polynésie juin

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Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat ES Polynésie juin 2009 \ Exercice 1 4 points Commun à tous les candidats. 1. La droite d'équation x = 2 est asymptote verticale à la courbe C . 2. ln(4ex )= ln4+ ln(ex )= ln4+ x. 3. La fonction est sous la forme eu dont la dérivée est ?u?eu ; ici, u(x)=?x2 d'où u?(x)=?2x et donc f ?(x)=?2xe?x2 . 4. est égale à : On a une fonction composée : lim x?+∞ lnx = +∞, donc lim x?+∞ 1? lnx = ?∞ et lim x??∞ ex = 0, donc lim x?+∞ e1?lnx = 0. Exercice 2 5 points Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité 1. a. On calcule 253 220 = 1,15 ce qui correspond à une augmentation de 15 %. b. En 2010, on aurait avec ce rythme 253? 1,153 ≈ 384,781 soit environ 384781 m2 ; l'objectif ne serait donc pas atteint 2. a.

produit de limites lim

rang d'année

asymptotes verticales

question précédente

souris performante

calculatrice livre

enseignement de spécialité

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Publié par	apmep
Publié le	01 juin 2009
Nombre de lectures	15

Extrait

[BaccalauréatESPolynésiejuin2009\
Exercice1 4points
Communàtouslescandidats.
1. Ladroited’équationx=2estasymptoteverticaleàlacourbeC.
x x2. ln 4e =ln4+ln e =ln4+x.( ) ( )
u ′ u 23. Lafonctionestsouslaformee dontladérivéeest?u e ;ici,u(x)=−x d’où
2′ ′ −xu (x)=−2x etdonc f (x)=−2xe .
4. estégaleà:
On a une fonction composée : lim lnx=+∞, donc lim 1−lnx=−∞ et
x→+∞ x→+∞
x 1−lnxlim e =0,donc lim e =0.
x→−∞ x→+∞
Exercice2 5points
Pourlescandidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
253
1. a. Oncalcule =1,15cequicorrespondàuneaugmentationde15%.
220
3b. En 2010, on aurait avec ce rythme 253×1,15 ≈ 384,781 soit environ
2384781m ;l’objectif neseraitdoncpasatteint
2. a.CorrigédubaccalauréatES A.P.M.E.P.
260
240
220
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Rang de l’année : 0 1 2 3 4 5 6 7
x , 16i68b. i ? ?
z =ln y , 16i68 1,79 2,89 3,14 3,66 3,95 4,8 5,39 5,53i i
c. Lacalculatricelivre:z=0,52x+2,06.
7,26d. Pour x=10, z=7,26; or z=ln(y), donc y=e ≈1422,257 : l’objectif
estatteint.
Exercice2 5points
Pourlescandidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
1. a.
Polynésie 2 juin2009
bbbbbbbbCorrigédubaccalauréatES A.P.M.E.P.
u u u u0 1 2 3 120 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
b. Voirlaﬁgureci-dessus.
c. Legraphiquemontrequelalimitedelasuiteestvoisinede12.
2. a. v =u −12⇒ v =u −12= 0,85u +1,8−12= 0,85u −11,2=n n n+1 n+1 n n
0,85(u −12)=0,85v .n n
Conclusion :v =0,85v cequi montre quelasuite (v )est une suiten+1 n n
géométrique deraison 0,85etdepremierterme:v =u −12=8−12=0 0
−4
n nb. On a donc : v =v ×0,85 =−4×0,85 . De v =u −12 il résulte quen 0 n n
nu =v +12=12−4×0,85 .n n
c. Onav −v =0,85v −v =−0,15v .Comme v <0et0,85>0,tousn+1 n n n n 0
les termesdelasuite (v )sont négatifs, donc−0,15v >0etﬁnalementn n
v −v >0,cequisigniﬁequelasuite(v )estcroissante.n+1 n n
Commeu −u =v +12− v +12 =v +12−v −12=v −v >( )n+1 n n+1 n n+1 n n+1 n
0,commeonvientdelevoir.
Lasuite(u )estcroissante.n
nd. Comme−1<0,85<1, on a lim 0,85 =0, donc lim u =12, ce quin
n→+∞ n→+∞
conﬁrmelaconjectureprécédente.
3. a. Enmilliersd’abonnéssoitw lasuitedunombred’abonnésl’année2008+n
n.
Onaw =8etw =(1−0,15)w +1,8=0,85w +1,8.0 n+1 n n
Onadoncw =u pourtoutnatureln.n n
b. D’aprèslaquestion 2.b.lenombred’abonnésen2014=2008+6est:
6u =12−4×0,85 ≈10,4914.6
En2014ilyauraenviron10491abonnés.
Polynésie 3 juin2009CorrigédubaccalauréatES A.P.M.E.P.
Exercice3 4points
Communàtouslescandidats.
1. a. Onap(C)=0,48, p(E)=1−0,48−0,16=0,36.
? ? 2
p P =0,2etp (P)= .D E
3
b.
0,6
P
C
0,48
P0,4
0,8
P
D
0,16
P0,2
2
3 P0,36
E
P1
3
2. Laprobabilitécherchéeest:p(C∩P)=0,48×0,6=0,288.
3. D’aprèslaloidesprobabilitéstotales:
2
p(P)=p(C∩P)+p(D∩P)+p(E∩P)=0,288+0,16×0,8+0,36× =0,656.
3
p(P∩D) 0,128
4. Oncherchep (D)= = ≈0,195.P
p(D) 0,656
5. OnreconnaîtunschémadeBernoulli.
L’évènement contraire de «au moins une souris est performante» est «les
quatre souris ne sont pas performantes», la probabilité de ce dernier évène-
mentest:
h ? ?i4
4 4p P =(1−0,656) =0,344 ≈0,986.
Laprobabilitéd’obteniraumoinsunesourisperformanteestd’environ0,986.
Exercice4 6points
Communàtouslescandidats.
1. a. • En+∞:ona lim −lnx=−∞ainsique lim 1−lnx=−∞et lim 2x=
x→+∞ x→+∞ x→+∞
+∞d’oùﬁnalementparproduitdelimites lim 2x(1−lnx)=−∞.
x→+∞
• En 0 : On a f(x)=2x−2×xlnx : comme chaque terme a pour limite
zéro,ona lim f(x)=0.
x→0
b. Ona f(x)=u(x)×v(x),avecu(x)=2x etv(x)=1−lnx.
? ?
1′ ′ ′Donc f (x)=u (x)×v(x)+u(x)×v (x)=2(1−lnx)+2x× − =2−2lnx−
x
2=−2lnx.
′c. Onsaitquesi0<x<1, lnx<0,donc f (x)>0;
′Si1<x, lnx>,donc f (x)<0.D’oùletableaudevariations:
Polynésie 4 juin2009CorrigédubaccalauréatES A.P.M.E.P.
x 0 1 +∞
′ −f (x) + 0
2
f(x)
0 −∞
2. f(x)=0⇐⇒ 2x(1−lnx)=0 ⇐⇒ 1−lnx=0,carsur]0;+∞[, 2x>0.
Donc f(x)=0 ⇐⇒ 1=lnx ⇐⇒ lne=lnx ⇐⇒ e=x.
La courbeC admet un unique point d’intersection Aavec l’axe des abscisses
etA(e; 0).
3. a. Sur]0;+∞[, f(x)>0 ⇐⇒ 2x(1−lnx)>0.
Unproduitdefacteursestpositifsilesdeuxfacteurssontdemêmesigne;
or sur ]0 ; +∞[, 2x>0 : les deux facteurs ne peuvent être tous les deux
négatifs.

2x > 0
etDonc f(x)>0 ⇐⇒ ⇐⇒ 1>lnx ⇐⇒ lne>lnx ⇐⇒

1−lnx > 0
x<e.
Conclusion f(x)>0⇐⇒ 0<x<eGéométriquementcecisigniﬁequela
courbeC estaudessusdel’axedesabscissesentreOetA.
b. Sur]0;+∞[,lafonctionF estdérivableet:
? ? ? ?
3 1′ 2F (x)=2x −lnx +x − =3x−2xlnx−x=2x−2xknx=2x(1−lnx).
2 x
DoncFestbienuneprimitivede f sur]0;+∞[.
c. Onavuàlaquestion précédentequepourx<e, f(x)>0,doncl’airede
lasurfaceD estégale(enunitéd’aire)àl’intégrale:
? ? ? ?Z 2e 3 3 e 3e 2f(x)dx=[F(x] =F(e)−F(1)=e −lne −1 −ln1 = − =1 2 2 2 21
2e −3
.
2
D
A
O
1 2 3
OnaA(D)≈2,19u.a.(cequeconﬁrmeapproximativement laﬁgure).
Polynésie 5 juin2009

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