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Baccalauréat ES Nouvelle Calédonie novembre

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Niveau: Secondaire, Lycée
Baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie novembre 2003 EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats Jimmy s'entraîne à un jeu électronique. Il arrive à l'entrée A d'un labyrinthe virtuel, schématisé par le dessin ci-dessous, où les doubles flèches représentent des portes s'ouvrant dans les deux sens : ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? F G H D E B A C Son parcours est régi par les règles suivantes : • Il passe au hasard d'une salle à une autre, chaque porte possible étant équipro- bable. • Dès qu'il franchit une porte, elle se referme derrière lui, l'empêchant ainsi de la franchir à nouveau. • La sortie est G. Il gagne la partie dès qu'il arrive en G. • S'il franchit trois portes, l'entrée en A et la sortie en G non comprises, toutes les portes se ferment et la partie est terminée. 1. Jimmy décide de jouer une partie. a. Construire l'arbre pondéré des différents trajets possibles. b. Montrer que la probabilité du trajet ABDF est de 19 . c. Montrer que la probabilité que Jimmy gagne est de 12 . 2. Jimmy joue trois fois de suite. Les trois parties successives sont indépendantes.

points candidats

loi de l'offre et de la demande

axe des abscisses

indice de départ

coordonnées des points d'intersection

prix de vente unitaire

Sujets

Offre et demande

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Publié par	apmep
Publié le	01 novembre 2003
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Extrait

Baccalauréat ES NouvelleCalédonie novembre 2003

EX E R C IC E1 5points Commun à tous les candidats Jimmy s’entraîne à un jeu électronique. Il arrive à l’entrée A d’un labyrinthe virtuel, schématisé par le dessin cidessous, où les doubles ﬂèches représentent des portes s’ouvrant dans les deux sens :

F⇐⇒

⇐⇒

Son parcours est régi par les règles suivantes : •Il passe au hasard d’une salle à une autre, chaque porte possible étant équipro bable. •Dès qu’il franchit une porte, elle se referme derrière lui, l’empêchant ainsi de la franchir à nouveau. •La sortie est G. Il gagne la partie dès qu’il arrive en G. •S’il franchit trois portes, l’entrée en A et la sortie en G non comprises, toutes les portes se ferment et la partie est terminée. 1.Jimmy décide de jouer une partie. a.Construire l’arbre pondéré des différents trajets possibles. 1 b.Montrer que la probabilité du trajet ABDF est de. 9 1 c.Montrer que la probabilité que Jimmy gagne est de. 2 2.Jimmy joue trois fois de suite. Les trois parties successives sont indépendantes. a.Calculer la probabilité qu’il gagne une partie et une seule. b.Calculer la probabilité qu’il gagne au moins une partie.

EX E R C IC E2 4points Candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité La courbe donnée cidessous représente une fonctionFdéﬁnie sur ]0 ;+∞[. On ′ noteFla fonction dérivée deF. ′ 1. a.Par lecture graphique, donner les valeurs de :F(1),F(1),F(4). b.La tangente à la courbe au point A(4 ; 4 ln 4−4) passe par le point B(0,−4). Déterminer par lecture graphique la valeur de son coefﬁcient directeur. ′ En déduireF(4). c.On notefla fonction dontFest une primitive. Donner la valeur de : Z 4 f(x) dx. 1

Baccalauréat ES novembre 2003

2.On donne :F(x)=xln(x)−xpourx>0. On appelleale nombre strictement Z a positif tel quef(x) dt=1. 1 a.ExprimerF(a) en fonction dea. −3 b.Calculer la valeur exacte deaet une valeur approchée deaprès.à 10 ′ c.Calculer l’expression deF(x) pourx>0. d.Calculer le coefﬁcient directeur de la tangente à la courbe représentant Fau point d’abscissea.

5 4 3 2 4 ln 4−4 A 1

O −3−2−1 −1 −2 −3 −4 −5

NouvelleCalédonie

1 2 3 4 5 6 7 8 910 11

T.S.V.P.

Baccalauréat ES novembre 2003

EX E R C IC E2 4points Candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité Un magasin de logiciels de jeux décide de lancer la commercialisation d’un nou veau produit. Pour cela, il planiﬁe sur trois ans ses objectifs trimestriels de prix de vente en se basant sur la loi de l’offre et de la demande. nétant un entier naturel, on désigne parvnl’indice du prix de vente lors dunième 4 trimestre. L’indice de départ est notév0. On a :v0=100 etvn+1=vn+28. 5 1.On pose :un=vn−140. 4 a.Montrer que (unde premier terme) est une suite géométrique de raison 5 (−40). b.Exprimerunen fonction den, puisvnen fonction den. 2.On désigne pardnl’indice de la demande lors dunième trimestre. 750 5 Sachant que :dn= −vn, calculerd0et exprimerdnen fonction den. 7 7 3.Calculer les valeurs des deux indices au bout des trois ans.

PR O B L È M E11 points Partie A : Fonction offre Dans un magasin, pour le marché d’un produit audiovisuel, l’offre hebdoma daire, exprimée en dizaines d’articles de ce produit, est déﬁnie sur [0 ;+∞[ par : ax e−1 f(x)= 4 oùaest un nombre réel positif et oùxreprésente le prix de vente unitaire de ce produit exprimé en centaines d’euros. 1.Sachant qu’un prix de vente unitaire de 400((qui se traduit parx=4) cor respond à une offre de 745 dizaines d’articles, déterminer la valeur exacte de a. Dans la suite du problème, on prendra :a=2. 2x e−1 2.Étude de la fonctionfdéﬁnie sur [0 ;+∞[ par :f(x)=. 4 a.Déterminer la limite defen+∞. ′ ′ b.Calculer l’expression def(x), oùfdésigne la dérivée defen déduire le sens de variations defsur [0 ;+∞[. c.Tracer la courbeCfreprésentative def(unites graphiques : 5 cm sur l’axe des abscisses et 2 cm sur l’axe des ordonnées)

Partie B : Fonction demande Dans ce même magasin pour le même article la demande hebdomadaire, expri mée en dizaines d’articles, est donnée en fonction du prix unitairex, exprimé en centaines d’euros par une fonctiongdéﬁnie sur [0 ;+∞[ par :

12 g(x)= 2x e+1 1.Déterminer la limite degen+∞. ′ ′ 2.Calculer l’expression deg(x), oùgdésigne la dérivée deg; en déduire le sens de variations degsur [0 ;+∞[ . 3.Tracer la courbeCg, représentative degsur le même graphique queCf.

Partie C : Prix d’équilibre On note (p,q) les coordonnées du point d’intersection des deux courbesCfet Cg.

NouvelleCalédonie

Baccalauréat ES novembre 2003

−1 1.Par lecture graphique, donner un encadrement depprès.à 10 ln 7 2.Par le calcul, on résolvant l’équationf(p)=g(p), vériﬁer que :p=. 2 3.Calculer la valeur exacte deq. 4.Le nombrepcorrespond, selon la loi de l’offre et de la demande, au prix d’équi libre. Donner ce prix d’équilibre en euro au centime près par excès ainsi que le nombre d’articles offerts assurant l’équilibre du marché.

Partie D : Équilibre, offre et demande Z Z p p On considère R1=p q−f(x) dxet R2=g(x) dx−p q. 0 0 1.Calculer la valeur exacte de R1. £ ¡¢¤ 2x 2.Soit la fonctionGdéﬁnie sur [0 ;+∞[ par :G(x)=6 2x−ln e+1 . a.Vériﬁer queGest une primitive degsur [0 ;+∞[. b.Calculer R2, et vériﬁer que 1,898 en est une valeur approchée. 3.Interpréter économiquement les quantitésp q, R1et R2.

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