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Baccalauréat C Toulouse juin

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Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Toulouse juin 1984 \ EXERCICE 1 4 POINTS Soit, dans un repère orthonormé ( O, ??ı , ??? ) , la courbe (E) d'équation 4x2+y2?4= 0 et les points A(1 ; 0) et B(0 ; 2). 1. Reconnaître (E) et en donner les éléments caractéristiques (centre, sommets, foyers, directrices). Tracer (E). 2. M étant unpoint quelconquede (E),montrer que l'isobarycentreM ? des points A, B et M est l'image de M par une transformation que l'on précisera. 3. Quel est l'ensemble (F) des points M ? quand M décrit (E). Préciser ses éléments caractéristiques. Tracer (F). N.B. : Toute solution, analytique ou non, sera acceptée. EXERCICE 2 4 POINTS Dans le plan affine euclidien P rapporté au repère orthonormé direct ( O, ??u , ??v ) , on considère l'application S qui, au point M d'affixe z fait correspondre le point M ? d'affixe z ? telle que z ? = (1+ i)z+2. 1. Reconnaître cette application ; montrer qu'elle a un point invariant I. Donner une construction géométrique du point M ? image de M par S.

construction géométrique des images des points d'intersection dec1

point moyen du nuage

droite dans le repère orthonormé

tangente au point d'abscisse

équation de la droite

repère orthonormé

Sujets

Base orthonormale

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Publié par	apmep
Publié le	01 juin 1984
Nombre de lectures	22

Extrait

[Baccalauréat C Toulouse juin 1984\

EX E R C IC E1 4P O IN TS ³ ´ −→−→ 2 2 Soit, dans un repère orthonorméO,ı,, la courbe (E) d’équation 4x+y−4=0 et les points A(1 ; 0) et B(0 ; 2).

1.Reconnaître (E) et en donner les éléments caractéristiques (centre, sommets, foyers, directrices). Tracer (E). ′ 2.Métant un point quelconque de (E), montrer que l’isobarycentreMdes points A, B etMest l’image deMpar une transformation que l’on précisera. ′ 3.Quel est l’ensemble (F) des pointsMquandMdécrit (E). Préciser ses éléments caractéristiques. Tracer (F). N.B. : Toute solution, analytique ou non, sera acceptée.

EX E R C IC E2 4P O IN TS ³ ´ −→−→ Dans le plan afﬁne euclidien P rapporté au repère orthonormé directO,u,v, on ′ considère l’applicationSqui, au pointMd’afﬁxezfait correspondre le pointM ′ d’afﬁxeztelle que ′ z=(1+i)z+2. 1.Reconnaître cette application ; montrer qu’elle a un point invariant I. ′ Donner une construction géométrique du pointMimage deMparS. ′ Quelle est la nature du triangle (I,M,M) ? 2.Quel est l’ensembleC1des pointsMde P tels que −−−→ −−→ ′ °OM°=°OM°? 3.Quel est l’ensembleC2des pointsMde P tels que −−−→−−−→ ′ OM∙OM=0 ? 4.Déduire des questions précédentes une construction géométrique des images des points d’intersection deC1etC2.

PR O B L È M E

Partie A 1.En étudiant le sens de variation de la fonction deRversRtelle que

12P O IN TS

t−7→t−lnt−1 montrer que, pour tout réeltstrictement positif on a lnt6t−1. 2.Soitfla fonction deRversRtelle que x f(x)=. x−lnx a.Étudier le sens de variation def, les limites aux bornes de l’ensemble de déﬁnition.

Le baccalauréat de 1984

A. P. M. E. P.

b.Soitf1la fonction déﬁnie parf1(x)=f(x) six>0 etf1(0)=0. Montrer quef1est le prolongement par continuité defen zéro. Construire la représentation graphique def1dans un repère orthonormé (unité de longueur : 2 cm). On précisera la demitangente au point d’abs cisse zéro ainsi que la tangente au point d’abscisse 1. c.Dans cette questionxest un réel ﬁxé de l’intervalle [1 ;+∞[. Calculer, en justiﬁant son existence, la limite de la suite déﬁnie par 2n lnx(lnx) (lnx) ⋆ ∀n∈N,un=1+ ∙ ∙ ∙ ++ +. 2n x xx Partie B ⋆ On se propose d’étudier la fonctionFdéﬁnie surR=]0 ;+∞[ par + Z x t F(x)=dt. 1t−lnt 1.Justiﬁer l’existence et la dérivabilité deFsurR. Étudier le sens de variation de F. (On n’étudiera pas les limites deFdans cette question). 2.Déterminer le signe deF(x) suivant les valeurs dex. Quelle signiﬁcation géo métrique peuton donner du réelF(x) ? 3.Étude de la limite deFen zéro. Démontrer que, pourxappartenant à ]0 ; 1] on a x 6x. x−lnx En déduire que, pourxappartenant à ]0 ; 1] on a 2 x−1 6F(x)60. 2 1 En déduire queF(x) admet une limiteλcomprise entre−et 0 quandxtend 2 vers 0. (On ne cherchera pas à calculerλ). 4.Étude delimF(x). x→+∞ Montrer que, pour toutxde [1 ;+∞[,f(x)>1. En déduire quelimF(x)= +∞. x→+∞ 5.On se propose d’encadrer la fonctionFpar deux fonctions, lorsquexest su périeur à 1. Z x ⋆ a.Calculer (1+lnt) dtpourxappartenant àR. + 1 Montrer que sitest supérieur à 1 alors

t 61+lnt. t−lnt En déduire que, pourxsupérieur à 1, on a

F(x)6xlnx. Z µ¶ x lnt ⋆ b.Calculer 1+dtpourxappartenant àR. + 1t Montrer que, pour toutxsupérieur à 1, on a

Toulouse

1 2 x+(lnx)−16F(x). 2

juin 1984

Le baccalauréat de 1984

A. P. M. E. P.

c.Écrire l’encadrement deF(x) pourxsupérieur à 1. Partie C Pour chaque réeliede l’ensemble {1, 2, 3, 4, 5}, prendre pour valeur approchée d F(i), la moyenne arithmétique des deux valeurs qui encadrentF(i). On noteyicette valeur approchée, que l’on donnera avec deux chiffres après la virgule. Présenter les résultats obtenus dans un tableau et placer, dans un repère ortho ¡ ¢ normé, les pointsMide coordonnéesi;yiaveciappartenant à {1, 2, 3, 4, 5}. Déterminer le point moyen du nuage et donner une équation de la droite d’ajuste ment en utilisant la méthode des moindres carrés. Tracer cette droite dans le repère orthonormé.

Toulouse

juin 1984