Baccalauréat C Paris septembre 1975
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Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Paris septembre 1975 \ EXERCICE 1 On désigne par n un entier naturel non nul, par n! le produit des n premiers entiers naturels non nuls, et par an le produit 1 · 3 · 5 · . . . · (2n?1) des n premiers entiers naturels impairs. Démontrer l'égalité an n! · 2n = (2n)! En déduire que le produit (n+1)(n+2) . . . (2n?1)2n est divisible par 2n et que, pour tout entier naturel p tel que ce produit soit divisible par 2p , on a p 6n. EXERCICE 2 Le plan P est rapporté à un repère orthonormé ( O, ??u , ??v ) d'axes Ox, Oy . On considère l'application f du plan P dans lui-même qui associe à un point m de P d'affixe z = x + iy le point M dont l'affixe Z est égale à z2. Exprimer en fonction des coordonnées x, y de m les coordonnées X , Y de M . Trouver et dessiner l'image f (d) de la droite d'équation x = 32 ; préciser les élémentscaractéristiques de la courbe f (d) permettant d'en donner une définition géomé- trique simple,. Montrer qu'il existe une autre droite, notée d ?, telle que f (d ?)= f (d).
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Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Paris septembre 1975 \ EXERCICE 1 On désigne par n un entier naturel non nul, par n! le produit des n premiers entiers naturels non nuls, et par an le produit 1 · 3 · 5 · . . . · (2n?1) des n premiers entiers naturels impairs. Démontrer l'égalité an n! · 2n = (2n)! En déduire que le produit (n+1)(n+2) . . . (2n?1)2n est divisible par 2n et que, pour tout entier naturel p tel que ce produit soit divisible par 2p , on a p 6n. EXERCICE 2 Le plan P est rapporté à un repère orthonormé ( O, ??u , ??v ) d'axes Ox, Oy . On considère l'application f du plan P dans lui-même qui associe à un point m de P d'affixe z = x + iy le point M dont l'affixe Z est égale à z2. Exprimer en fonction des coordonnées x, y de m les coordonnées X , Y de M . Trouver et dessiner l'image f (d) de la droite d'équation x = 32 ; préciser les élémentscaractéristiques de la courbe f (d) permettant d'en donner une définition géomé- trique simple,. Montrer qu'il existe une autre droite, notée d ?, telle que f (d ?)= f (d).
- diviseurs de zéro
- composition des applications
- image ?
- courbe?deπd'équa- tion
- addition
- vecteurs ?
- application linéaire
Durée : 4 heures
[Baccalauréat C Paris septembre 1975\
EX E R C IC E1 On désigne parnun entier naturel non nul, parn! le produit desnpremiers entiers naturels non nuls, et paranle produit 1∙3∙5∙. . .∙(2n−1) desnpremiers entiers naturels impairs. Démontrer l’égalité
n ann!∙2=(2n)! n En déduire que le produit (n+1)(n+2) . . . (2n−1)2net que, pourest divisible par 2 p tout entier naturelptel que ce produit soit divisible par 2, on ap6n.
EX E R C IC E2 ³ ´ −→−→ Le plan P est rapporté à un repère orthonorméO,u,vd’axes Ox, Oy. On considère l’applicationfdu plan P dans luimême qui associe à un pointmde 2 P d’affixez=x+iyle pointMdont l’affixeZest égale àz. Exprimer en fonction des coordonnéesx,ydemles coordonnéesX,YdeM. 3 Trouver et dessiner l’imagef(d) de la droite d’équationx=; préciser les éléments 2 caractéristiques de la courbef(d) permettant d’en donner une définition géomé trique simple,. ¡ ¢ ′ ′ Montrer qu’il existe une autre droite, notéed, telle quef d=f(d).
PR O B L È M E On considère un espace vectorielEsurR, et l’on désigne paril’application iden tique deEdans luimême, et parθl’application nulle, dans laquelle tout vecteur de −→ E0 , dea pour image le vecteur nul, notéE. ′ On rappelle que, siϕetϕsont deux applications linéaires deEdans luimême, −→ ′ ϕ+ϕest l’application linéaire dans laquelle tout vecteurxdeEa pour image le ′ vecteurϕ(x)+ϕ(x), et que siλest un nombre réel,λ.ϕest l’application linéaire −→ dans laquellexa pour imageλ.ϕ(x). 2 32 On convient de noterϕl’application composéeϕ◦ϕ,ϕl’applicationϕ◦ϕ, et de n n−1 façon généraleϕl’applicationϕ◦ϕ(nentier supérieur à 1).
1.On désigne parjune application linéaire deEdansE, distincte deθet telle 2 quej=θ(on admettra l’existence de telles applications, qui sera prouvée au 4. pour un espace vectorielEde dimension 3). À tout couple (a;b) de nombres réels on associe l’application linéaireai+b j, notéef, deEdansE. SoitFl’ensemble de ces applicationsf. a.Montrer queF, muni de l’addition des applications et de la multiplica tion par un nombre réel, est un espace vectoriel surR, dont (i,j) est une base. ′ ′ b.Quelle est l’application linéaire composée deai+b jet dea i+b j? Déduire du résultat queF, muni de l’addition et de la composition des applications, est un anneau commutatif. Quels sont ses «div iseursde zéro » ? 2.Soitfune application donnée deF, de coordonnéesa,bdans la base (i,j), et soitnun nombre entier supérieur à 1.
Baccalauréat C
A. P. M. E. P.
n a.Déterminer les coordonnées defdans la base (i,j). b.À quelle conditionfadmetelle dansF?une application réciproque −1 (On la noteraf). ¡ ¢ n 0−n−1 On pose alorsf=ietf=f. −n Préciser les coordonnées defdans la base (i,j). Vérifier que, pour tout entier relatifm,
m pm−1 f=a mi+mb aj. 3.On appelleΠun plan affine, rapporté à un repèreRd’axes Ox, Oy, et l’on considère l’applicationpdeZdansΠpar laquelle l’entier relatifma pour image le pointp(m) deΠdont les coordonnées dans le repèreRsont ½ m xm=aet m−1 ym=mb a. On se propose d’étudier cette application lorsqueaest donné, différent de 0, etb=aLog|a|(le symbole Log désignant le logarithme népérien). a.Montrer que tous les pointsp(m) appartiennent à la courbeΓdeΠd’équa tiony=xLog|x|. (On pourra étudier successivement les casa>0 et a<0). b.Etudier la fonction numériquehdéfinie surR−{0} parh(x)=xLog|x|, et tracer la courbeΓ, en supposant le repère orthonormé et en prenant pour unité de longueur 5 cm. c.Comparer les demidroitesΔmetΔ−md’origine O contenant respective ment les pointsp(m) etp(−m). Rechercher sixmetymadmettent des limites lorsquemtend vers+∞, ou vers−∞. Marquer surΓles pointsp(m) correspondant aux valeurs−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3 de l’entierm, en prenant successivement : 5 a=[on notera alorsPmles pointsp(m)], 4 4 ′ a=[on notera alorsPles pointsp(m)] m 5 5 a= −[on notera alorsQmles pointsp(m)] 4 4.On suppose dans cette question que l’espace vectorielEest de dimension 3. ³ ´ −→−→−→ a.Soitu,v,wune base deE, et soitgl’application linéaire deEdans Edéfinie par : −→−→−→ g(u)=2u+v−w, −→−→−→ g(v)= −2u−v+w, −→→−→− g(w)=2u+v−w.
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2 2 22 Calculer g(u) ,g(v) ,g(w), et préciser ce qu’est l’applicationg. b.On désigne (comme au 1.) parjune application linéaire deEdansE, 2 distincte de l’application nulleθ, et telle quej=θ. On noteNle noyau dej. Montrer successivement que : –Eest différent deE, –Nest différent deθ,
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A. P. M. E. P.
–En’est pas une droite vectorielle deE; (on pourra, à cet effet, par tir de l’hypothèse queNest une droite vectorielleD, prendre une ³ ´ −→ −→ −→−→ baseα,β,γdeEavecγ∈D, étudier alors le noyau dejet aboutir à une contradiction). −→ Conclure, en prenant un vecteurUdeEn’appartenant pas àN, qu’il ³ ´ −→−→−→ existe une baseU,V,WdeEtelle quejsoit définie par ³ ´³ ´³ ´ −→ −→ −→−→ j U=V,j V=θ,j W=θ.
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