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Baccalauréat C Nancy Metz juin

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Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Nancy-Metz juin 1981 \ EXERCICE 1 Soit f (z)= z3+ (2+2i)z2+az+b oùa,b ?C. 1. Déterminer les nombres complexes a et b pour que l'on ait f (3i)= 0 et f (?1)= 110?30i. 2. Montrer qu'il existe deux nombres ? et ? tels que z3+ (2+2i)z2+ (14+35i)z+123+3i= (z?3i)(z2+?z+?) et calculer ? et ?. 3. Résoudre complètement dans C l'équation z3+ (2+2i)z2+ (14+35i)z+123+3i= 0 et calculer la somme et le produit des racines. (On remarquera que 1452 = 21025). EXERCICE 2 Soit P le plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé ( O, ??u , ??v ) . Si A et B sont deux points de P , on notera d(A, B) la distance euclidienne de ces deux points. Soit ? l'ensemble des points M de P vérifiant la condition d(M , F)+d(M , F?)= 4 où F désigne le point de coordonnées (1 ; 0) et F' le point de coordonnées (?1 ; 0).

riations de g0 dans le plan rapporté

courbe c0

équation cartésienne de ? dans le repère

repère ortho

repère orthonormé

Sujets

Base orthonormale

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Publié par	apmep
Publié le	01 juin 1981
Nombre de lectures	29

Extrait

[Baccalauréat C NancyMetzjuin 1981\

EX E R C IC E1 3 2 Soitf(z)=z+(2+2i)z+a z+boùa,b∈C. 1.Déterminer les nombres complexesaetbpour que l’on ait

f(3i)=0 etf(−1)=110−30i. 2.Montrer qu’il existe deux nombresαetβtels que ¡ ¢ 3 22 z+(2+2i)z+(14+35i)z+123+3i=(z−3i)z+αz+β et calculerαetβ. 3.Résoudre complètement dansCl’équation

3 2 z+(2+2i)z+(14+35i)z+123+3i=0

et calculer la somme et le produit des racines. (On remarquera que 2 145=21 025).

EX E R C IC E2 ³ ´ −→−→ SoitPle plan afﬁne euclidien rapporté à un repère orthonorméO,u,v. Si A et B sont deux points deP, on noterad(A, B) la distance euclidienne de ces deux points. SoitΓl’ensemble des pointsMdePvériﬁant la condition

′ d(M, F)+d(M, F )=4

où F désigne le point de coordonnées (1 ; 0) et F’ le point de coordonnées (−1 ;0).

1.Vériﬁer queΓcontient les points A, B, C, D et E de coordonnées respectives µ ¶µ ¶ µ¶ 3 33 (−2 ; 0)(2 ;0)−1 ;1 ;et−1 ;− 2 22 2.Quelle est la nature deΓ? Montrer qu’une équation cartésienne deΓdans le ³ ´ −→−→ repère O,u,vest

2 2 x y + =1 4 3 3.Représenter la courbeΓet les points A, B, C, D et E (on prendra 3 cm commune unité de longueur). ¡ ¢ SoitM0un point dePde coordonnéesx0;y0qui n’appartient ni à la droite BC ni à la tangente en B àΓ. Déterminer les coordonnées du point P d’intersection des droites DE et BM0 ainsi que les coordonnées du point Q d’intersection des droites AE et CM0. En déduire que le pointM0appartient àΓsi, et seulement si, les points P et Q ont la même ordonnée.

Le baccalauréat de 1981

A. P. M. E. P.

PR O B L È M E Dans tout le problème on considère les trois fonctions numériques de la variable réellexdéﬁnies par  2 f1(x)=x+1+x  2 f2(x)=x+1−x ³ ´³ ´ p p  2 2 f3(x)=x+1+xLogx+1+x où Log désigne la fonction logarithme népérien. Partie A Dans cette partie, on note E l’espace vectoriel surRengendré par les fonctionsf1,f2 etf3c’estàdire l’ensemble des fonctions numériquesftelles qu’il existe trois nombres réelsa,betcvériﬁantf=a f1+b f2+c f3 1.Montrer quef1,f2etf3sont déﬁnies pour toutxréel (il pourra être utile de calculerf1etf2). ¡ ¢ 2.Montrer que B=f1,f2,f3est une base de E. 3.Montrer quef1,f2etf3sont des fonctions dérivables surRet calculer leurs dérivées. 4.Pour toutfde E, on poseϕ(f)=F, où

′ 2 ∀x∈R,F(x)=x+1f(x), ′ (fdésigne la dérivée def). Montrer queϕest une application linéaire de E dans luimême et déterminer l’expression analytique deϕdans la base B. −1 5.Montrer queϕest inversible et calculer les composantes deϕ(f) en fonc tion des composantes defdans la base B. Utiliser ce résultat pour résoudre dans E l’équation 1¡ ¢ ϕ(f)=f1−f2 2 En déduire les fonctionsfde E qui vériﬁent x ′ ∀x∈Rf(x)=. 2 x+1 6.Soit I l’application identique deRdansR. On note

1 2 ϕ0=I,ϕ=ϕ,ϕ=ϕ◦ϕ,

n+1n ∀n∈N,ϕ=ϕ◦ϕ. ¡ ¢¡ ¢ Déterminer dans la base B, les composantes deϕf1,ϕf2. Partie B On note go la fonction numérique de la variable réellexdéﬁnie par ³ ´ 2 g0(x)=Logx+1+x.

1.Donner une relation simple entre les fonctionsg0,f2etf3; montrer que la fonctiong0est impaire.

NancyMetz

juin 1981

Le baccalauréat de 1981

A. P. M. E. P.

2.Étudier les variations deg0et construire la courbeC0représentative des va ³ ´ −→−→ riations deg0dans le plan rapporté à un repère orthonorméO,ı,. 3.En utilisant une intégration par parties, calculer l’aire du domaine plan limité par la courbeC0l’axe des abscisses, et les deux droites d’équationsx=0 et x=3/4. ¡ ¢ n 4.Pour tout entier natureln,n>1, on déﬁnitgn=ϕf3∙f2. Calculergn(x), pour un réelxquelconque et montrer que la courbeCnrepré sentative des variations degnse déduit de la courbeC0par une transforma tion géométrique simple. Partie C Dans cette partie, on considère un plan afﬁne euclidien rapporté à un repère ortho ³ ´ −→−→ normé A,e1,e2. On noteΓ1la courbe d’équationy=f1(x) etΓ2la courbe d’équa ³ ´ −→−→ tiony= −f2(x) dans le repèreA,e1,e2.

1.Montrer que la courbeΓ2est symétrique de la courbeΓ1par la symétrie de centre A. 2.SoitMun point de coordonnées (x;y). Montrer que

2 M∈Γ1∪Γ2⇐⇒y−2x y=1. −→−→−→−→−→ 3.On poseu= −e1etv=e1+2e2. ³ ´ −→−→ Calculer les coordonnées (x;y) deMdans le repèreA,e1,e2en fonction ³ ´ −→−→ des coordonnées (X;Y) du même pointMdans le repèreA,u,v. ³ ´ −→−→ En déduire une équation deΓ1∪Γ2dans le repèreA,u,v, puis la nature de Γ1∪Γ2.

NancyMetz

juin 1981