Durée:4heuresBaccalauréatSCentresétrangersjuin2006EXERCICE1 3pointsCommunàtouslescandidatsPartieA. RestitutionorganiséedeconnaissancesPrérequis:Onrappellelesdeuxrésultatssuivants:i.Si z estunnombrecomplexenonnul,onal’équivalencesuivante: |z|= r z = r(cosθ+isinθ)⇐⇒arg z = θà2πprès r > 0ii.Pourtousnombresréels a et b :cos(a+b) = cosacosb−sinasinbsin(a+b) = sinacosb+sinbcosaSoient z et z deuxnombrescomplexes nonnuls.1 2Démontrerlesrelations: |z z |=|z ||z | etarg(z z )=arg z )+arg(z à2πprès1 2 1 2 1 2 1 2PartieB.Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une dé-monstration pour la réponse indiquée. Dansle cas d’une proposition fausse, la dé-ationconsisteraàfourniruncontre-exemple. Uneréponsesansdémonstra-tionnerapportepasdepoint.On rappelle que si z est un nombre complexe, zdésigneleconjuguédez et |z|dé-signelemodulede z.1 1 41. Si z=− + i,alors z estunnombreréel.2 22. Si z+z =0,alors z =0.13. Si z+ =0,alors z =iouz=−i.z 4. Si|z|=1etsi|z+z |=1,alors z =0.EXERCICE2 5pointsRéservéauxcandidatsn’ayantpaschoisil’enseignementdespécialitéOnlanceundététraédriquedontlesquatrefacesportentlesnombres1,2,3et4.Onlitlenombresurlafacecachée.Pour k ∈{1;2;3;4),onnotep la probabilité d’obtenr le nombre k sur lafaceicachée.Ledéestdéséquilibrédetellesortequelesnombres p , p , p et p danscetordre,1 2 3 4formentuneprogressionarithmétique.1. Sachantque p =0,4démontrerque p =0,1, p =0,2et p =0,3.4 1 2 32. ...
Partie A.Restitution organisée de connaissances Prérequis : On rappelle les deux résultats suivants : i. Sizest un nombre complexe non nul, on a l’équivalence suivante : |z| =r z=r(cosθ+i sinθ) ⇐⇒ argz=θà 2πprèsr>0 ii. Pour tous nombres réelsaetb: cos(a+b)=cosacosb−sinasinb sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa Soientz1etz2deux nombres complexes non nuls. Démontrer les relations : |z1z2| = |z1| |z2|(et argz1z2)=argz1)+arg(z2à 2πprès
3 points
Partie B. Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une dé monstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d’une proposition fausse, la dé monstration consistera à fournir un contreexemple. Une réponse sans démonstra tion ne rapporte pas de point. On rappelle que sizest un nombre complexe,zdésigne le conjugué dezet|z|dé signe le module dez. 1 1 4 1.Siz+= −i, alorszest un nombre réel. 2 2 2.Siz+z=0, alorsz=0. 1 3.Siz+ =0, alorsz=i ouz= −i. z 4.Si|z| =1 et si|z+z| =1, alorsz=0.
EXERCICE25 points Réservé aux candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité On lance un dé tétraédrique dont les quatre faces portent les nombres 1, 2, 3 et 4. On lit le nombre sur la face cachée. Pourk∈{1 ; 2 ; 3 ; 4), on notepila probabilité d’obtenr le nombreksur laface cachée. Le dé est déséquilibré de telle sorte que les nombresp1,p2,p3etp4dans cet ordre, forment une progression arithmétique. 1.Sachant quep4=démontrer que0, 4p1=0, 1,p2=et0, 2p3=0, 3. 2.On lance le dé trois lois de suite. On suppose que les lancers sont deux à deux indépendants. a.Quelle est la probabilité d’obtenir dans l’ordre les nombres 1, 2, 4 ? b.Quelle est la probabilité d’obtenir trois nombres distincts rangés dans l’ordre croissant ?