BaccalauréatSAntilles–Guyanejuin2005EXERCICE1 5pointsCandidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité →− →−O, u , v estunrepèreorthonormalduplanP.SoitAlepointd’affixe1;soitBlepointd’affixe−1.Soit F l’application deP privédeOdansP quiàtoutpoint M d’affixe z distinctde−1 OassocielepointM =F(M)d’affixez = .zπi 31. a. SoitElepointd’affixee ; on appelle E son image par F. Déterminerl’affixede E sousformeexponentielle, puissousformealgébrique.b. OnnoteC lecercledecentreOetderayon1.Déterminerl’imagedeC1 1parl’application F.5πi 62. a. SoitKlepointd’affixe2e et K l’imagedeKpar F.Calculer l’affixede K .b. SoitC lecercledecentreOetderayon2.Déterminerl’imagedeC par2 2l’application F.iθ3. OndésigneparR unpointd’affixe1+e oùθ∈]−π; π[.R appartientaucercleC decentreAetderayon1.3z−1a. Montrerque z +1= .z Endéduireque: z +1 = z .iθb. Sionconsidèremaintenantlespointsd’affixe1+e oùθ∈]−π; π[,mon-trer que leurs images sont situées sur une droite. On pourra utiliser lerésultatdua..EXERCICE1 5pointsCandidatsayantsuivil’enseignementdespécialité1. a. Déterminersuivantlesvaleursdel’entiernaturelnonnuln lerestedansnladivisioneuclidiennepar9de7 .2005b. Démontreralorsque(2005) ≡7(9).n2. a. Démontrerquepourtoutentiernaturelnonnul n : (10) ≡1(9).b. On désigne par N un entier naturel écrit en base dix, on appelle S lasommedeseschiffres.Démontrerlarelationsuivante: N ≡S (9).c. Endéduireque N estdivisible par9sietseulement si S est divisible par9 ...
EXERCICE15 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité −→−→ O,u,vest un repère orthonormal du planP. Soit A le point d’affixe 1 ; soit B le point d’affixe−1. SoitFl’application dePprivé de O dansPqui à tout pointMd’affixezdistinct de −1 O associe le pointM=F(M) d’affixez=. z π i 1. a.; on appelleSoit E le point d’affixe eEson image parF. Déterminer 3 l’affixe deEsous forme exponentielle, puis sous forme algébrique. b.On noteC1le cercle de centre O et de rayon 1. Déterminer l’image deC1 par l’applicationF. 5π i 6 2. a.Soit K le point d’affixe 2eetKl’image de K parF. Calculer l’affixe deK. b.SoitC2le cercle de centre O et de rayon 2. Déterminer l’image deC2par l’applicationF. iθ 3.On désigne parRun point d’affixe 1+e oùθ∈]−π;π[.Rappartient au cercle C3de centre A et de rayon 1. z−1 a.Montrer quez+1=. z En déduire que :z+1=z. iθ b.Si on considère maintenant les points d’affixe 1+e oùθ∈]−π;π[, mon trer que leurs images sont situées sur une droite. On pourra utiliser le résultat dua.. EXERCICE15 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité 1. a.Déterminer suivant les valeurs de l’entier naturel non nulnle reste dans n la division euclidienne par 9 de 7. 2005 b.Démontrer alors que (2005)≡7 (9). n 2. a.Démontrer que pour tout entier naturel non nuln: (10)≡1 (9). b.On désigne parNun entier naturel écrit en base dix, on appelleSla somme de ses chiffres. Démontrer la relation suivante :N≡S(9). c.En déduire queNest divisible par 9 si et seulement siSest divisible par 9. 2005 3.On suppose queA=on désigne par :(2005) ; –Bla somme des chiffres deA; –Cla somme des chiffres deB; –Dla somme des chiffres deC. a.Démontrer la relation suivante :A≡D(9). b.Sachant que 2005<10 000,démontrer queAs’écrit en numération déci male avec au plus 8020 chiffres. En déduire queB72 180. c.Démontrer queC45. d.En étudiant la liste des entiers inférieurs à 45, déterminer un majorant deDplus petit que 15. e.Démontrer queD=7.