Baccalaureat 2003 mathematiques specialite scientifique liban

BaccalauréatsérieSLibanmai2003EXERCICE1 4pointsCommunàtouslescandidatsUneurnecontientquatreboulesnoiresetdeuxboulesblanches.Soit n unentiernaturelsupérieurouégalà2.Onrépète n foisl’épreuvequiconsisteàtireruneboulepuis laremettredansl’urne;onsupposequetouteslesboulesontlamêmeprobabilitéd’êtretiréesetquelestiragessontindépendants.Onnote p ,laprobabilitédetirerexactementunebouleblanchelorsdes n−1pre-nmierstiragesetunebouleblanchelorsdu n-ièmetirage.1. Calculer lesprobabilités p , p et p .2 3 42. Onconsidèrelesévènements suivants:B :«Ontireunebouleblanchelorsdun-ièmetirage»,nU :«Ontireunebouleblancheetuneseulelorsdesn−1premierstirages».na. Calculerlaprobabilitédel’évènement B .nb. Exprimerlaprobabilitédel U enfonctionde n.nc. Endéduirel’expressionde p enfonctionde n etvérifierl’égalité:n nn−1 2p = × .n4 33. Onpose: S = p +p +···+p .n 2 3 na. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n supérieur ouégalà2,ona: nn 2S =1− +1 × .n2 3).b. Déterminerlalimitedelasuite(SnEXERCICE2 5pointsCandidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité1. RésoudredansCl’équation:24z −12z+153=0. →− →−2. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé O, u , v , d’unité graphique31 cm on considère les points A, B, C, P d’affixes respectives: z = +6i, z =A B23 1 5−→−6i; z =−3− i, z =3+2ietlevecteur w d’affixe z−→=−1+ i.C P w2 4 2a. Déterminerl’affixe z dupointQ,imagedupointBdanslatranslation tQ−→devecteur w .b. Déterminer l’affixe z du point R ...